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Modélisation, analyse, et simulation d’écoulements en
thermohydraulique par modèles 6 équations
Lei Zhang
To cite this version:
Lei Zhang. Modélisation, analyse, et simulation d’écoulements en thermohydraulique par modèles 6 équations. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris Saclay (COmUE), 2017. Français. �NNT : 2017SACLN020�. �tel-01558981�
NNT : 2017SACLN020
Th`
ese de doctorat
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erieure de Cachan
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Ecole normale sup´
erieure Paris-Saclay)
Ecole doctorale n
◦574
Ecole doctorale de math´ematiques Hadamard
Sp´ecialit´e de doctorat : Math´ematiques appliqu´ees
par
M. Lei Zhang
Mod´elisation, analyse, et simulation d’´ecoulements en thermohydraulique
par mod`eles 6 ´equations
Th`ese pr´esent´ee et soutenue `a Cachan, le 7 juin 2017. Composition du Jury :
M. Alain Trouv´e Professeur (Pr´esident du jury)
ENS Paris-Saclay
M. Roland Masson Professeur (Rapporteur)
Universit´e de Nice - Sophia Antipolis
M. Rapha¨el Loub`ere Directeur de recherche (Rapporteur)
Universit´e de Bordeaux
M. Jean-Michel Rovarch Ing´enieur R&D (Examinateur)
Gaztransport & Technigaz (GTT)
M. Imad Toumi Directeur de recherche (Examinateur)
ManagemGroup
Mme. Anela Kumbaro Ing´enieur chercheur (Directrice de th`ese)
CEA Saclay
M. Jean-Michel Ghidaglia Professeur (Directeur de th`ese)
Remerciement
Tout d’abord, je tiens `a adresser des remerciements chaleureux `a mes deux directeurs de th`ese Jean-Michel Ghidaglia et Anela Kumbaro pour leur encadrement et leurs conseils qui m’ont permis de mener ce travail. Je connais Jean-Michel depuis un cours en deuxi`eme ann´ee `a mon ´ecole d’ing´enieur en 2012, et je suis toujours impressionn´e par ses comp´etences scientifiques et son enthousiasme pour le sujet de la simulation num´erique. Je le remercie de m’avoir orient´e vers cette discipline passionnante, et de m’avoir constamment encourag´e et soutenu durant cette th`ese. Mes discussion avec lui sont toujours fructueuses. J’ai effectu´e mon stage de fin d’´etudes encadr´e par Anela. Durant mon stage et tout au long de ma th`ese, elle m’a toujours donn´e des conseils tr`es pertinents pour avancer mon travail. Je la remercie pour sa gentillesse, sa patience et surtout son soutien scientifique.
Je remercie Roland Masson et Rapha¨el Loub`ere, rapporteurs de ce travail pour le temps qu’ils ont consacr´e `a la lecture de mon manuscrit. Merci ´egalement `a Alain Trouv´e et Jean-Michel Rovarch pour leur participation `a mon jury de th`ese.
Au CMLA, je remercie l’ensemble des personnels du laboratoire, notamment Christophe Labourdette qui m’a aid´e beaucoup de fois `a r´esoudre des probl`emes informatiques, et V´eronique, Micheline, Virginie et Alina pour leur grande disponibilit´e ainsi que Atman pour son aide vis-`a-vis du mˆur d’image. Je remercie Laurent Desvillettes de son aide `a ma pr´esentation devant la comit´e scientifique de l’´ecole pour obtenir le financement.
Je remercie aussi tous les coll`egues de bureau que j’ai cˆotoy´e pendant ces trois ann´ees de th`ese : Joris, Matthieu, John, Micha¨el, Bruno, Alexandre, Christina, Mohammed, Thibault, Marie, Suzanne, Vivien et ceux qui sont pass´es vite au LRC. Je ne peux pas citer tous leurs noms, et je demande de m’excuser si je les oublie dans cette liste. Merci `a toute l’´equipe d’Eurobios, les ´echanges avec qui sont toujours int´eressants.
Je remercie les membres de ma famille et les amis qui m’ont accompagn´e pendant cette th`ese. Je remercie notamment mes parents de m’avoir toujours soutenu pendant mes ´etudes en France. Merci `a Chen Yang, Huang He, Ren Zhen et Benjamin de m’avoir aid´e `a pr´eparer le pot. Merci `a Chen Liang de m’avoir mont´e le moral quand je rencontrais des difficult´e. Merci `a Chen Jiawan d’avoir organis´e de belles randonn´ees. Merci `a Ren Zhen de son accompagnement permanent. `A mes grands parents, je d´edie ce travail.
Table des mati`
eres
1 Introduction 1
2 Mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations 8
2.1 Lois de conservation pour l’´ecoulement monophasique . . . 8
2.2 Equations moyenn´ees´ . . . 9
2.3 Relations constitutives . . . 17
2.4 Concentration d’aire interfaciale . . . 18
2.5 Loi d’´etat . . . 20
2.6 Hyperbolicit´e du mod`ele bi-fluide . . . 24
2.7 Mod`eles hyperboliques . . . 28
3 M´ethodes num´eriques 31 3.1 M´ethode semi-implicite . . . 33
3.2 Disparition de phase . . . 53
3.3 Application du sch´ema semi-implicite au mod`ele homog`ene ´equilibr´e . . . 59
3.4 M´ethode semi-implicite en une ´etape . . . 66
3.5 M´ethode quasi-implicite (nearly implicit scheme) . . . 69
3.6 Sch´emas conservatifs . . . 75
3.7 Analyse de stabilit´e pour le mod`ele d’Euler . . . 76
3.8 Analyse de stabilit´e pour le mod`ele bi-fluide . . . 87
3.9 Pr´eservation asymptotique (asymptotic preserving) . . . 102
4 Application `a des cas tests benchmarks 114 4.1 Tube `a choc de Sod. . . 114
4.2 Tube `a choc diphasique . . . 116
4.3 Tube `a choc de Saurel . . . 122
4.4 Robinet de Ransom . . . 124 4.5 D´es´equilibre cin´ematique. . . 127 4.6 S´edimentation. . . 131 4.7 Manom`etre oscillant . . . 132 4.8 Colonne bouillante . . . 134 4.9 Jonction en T . . . 137 4.10 ASTAR Nozzle . . . 141
5 Application `a des cas tests avec donn´ees exp´erimentales 144 5.1 Marteau d’eau (water hammer) . . . 144
5.2 Moby Dick . . . 147
5.3 D´epressurisation rapide (Super Canon). . . 151
6 Diffusion num´erique et ´equation ´equivalente 161 6.1 Probl`eme . . . 161 6.2 Equation ´equivalente´ . . . 162 6.3 Equation de Burgers´ . . . 164 6.4 Sch´ema de Roe . . . 166 6.5 Corrections d’entropie . . . 167 6.6 Sch´ema de HLLE . . . 171 6.7 R´esultats num´eriques. . . 173
6.8 Probl`eme de la verrue (carbuncle en anglais) . . . 175
7 Conclusion g´en´erale 192
A D´eriv´ee par rapport aux variables thermodynamiques arbitraires 195
B Mod`ele d’Euler 197
Table des figures
1.1 Un maillage structur´e avec les variables d´ecal´ees. . . 3
1.2 Un maillage structur´e avec les variables colocalis´ees. . . 4
2.1 R´egions et ´equations de la formulation IAPWS-IF97 . . . 23
2.2 Diagramme de l’hyperbolicit´e du mod`ele bi-fluide [59] . . . 30
3.1 Le volume de contrˆole c0 et les vecteurs g´eom´etriques utilis´es pour la m´ethode des volumes finis : ~dr01 repr´esente le vecteur pointant du centre de la cellule c0 vers celui de la cellule c1, ~Sf = Af · ~nf avec Af la surface de la face commune de la cellule c0 et la cellule c1, ~nf vecteur unitaire perpendiculaire `a la face commune et se dirigeant vers l’ext´erieur de la cellule c0. . . 32
3.2 Illustration pour le calcul du gradient de pression dans la cellule 1 . . . 38
3.3 Illustration pour la reconstruction du gradient par la m´ethode des moindres carr´es. 39 3.4 Sch´ema explicatif de la m´ethode semi-implicite. . . 47
3.5 Illustration pour la condition aux limites. . . 48
3.6 Pression `a t = 0.3 s pour le test de Ransom avec l’utilisation de l’´equation (3.85). . 49
3.7 Pression `a t = 0.3 s pour le test de Ransom avec l’utilisation de l’´equation (3.86). . 50
3.8 Amortissement du mode en ´echiquier avec et sans Rhie et Chow. . . 84
3.9 R´esultats num´eriques `a t = 1 s avec CFL = 0.1. . . 85
3.10 Repr´esentation graphique de g dans le plan complexe avec K = = 0. . . 88
3.11 Repr´esentation graphique de g dans le plan complexe avec 6= 0. . . . 88
3.12 Rayon spectral de la matrice d’amplification pour k2 2c2−→ ∞ avec θ = π6, ε = 1. . 91
3.13 Rayon spectral de la matrice d’amplification avec θ = π 6, ε = 1, αv = 0.5, c = 10 4 pour diff´erents coefficients de la force de traˆın´ee. . . 94
3.14 Rayon spectral de la matrice d’amplification avec θ = π6, ε = 1, αv = 0.5, ˙cv = 103, ˙cl= 104, f∆P = u2− ¯u2 1 + ε2.. . . . 96
3.15 Rayon spectral de la matrice d’amplification avec θ = π 6, ε = 1, αv = 0.5, ˙cv = 10 3, ˙cl= 104, f∆P = u2− ¯u2 1 + ε2.. . . . 97
3.16 Rayon spectral de la matrice d’amplification avec θ = π 6, ε = 1, αv = 0.5, ˙cv = 10 3, ˙cl= 104 en utilisant le mod`ele interm´ediaire avec δ = 1.1. . . 98
3.17 Rayon spectral de la matrice d’amplification avec θ = π6, ε = 1, αv = 0.5, ˙cv = 103, ˙cl= 104 en utilisant le mod`ele interm´ediaire avec δ = 1.5. . . 99
3.18 Rayon spectral de la matrice d’amplification avec θ = π 6, ε = 1, αv = 0.5, ˙cv = 10 3, ˙cl= 104, f∆P = u2− ¯u2 1 + ε2.. . . 100
3.19 Rayon spectral de la matrice d’amplification avec θ = π 6, ε = 1, αv = 0.5, ˙cv = 10 3, ˙cl= 104 en utilisant le mod`ele interm´ediaire avec δ = 1.5. . . 101
3.20 Profil de la pression `a 2 temps diff´erents.. . . 109
3.21 Sch´ema pour le test channel with bump. . . 110
3.22 Iso-valeurs du nombre de Mach au r´egime permanent pour diff´erents nombres de Mach `a l’entr´ee (la courbe verte pour le sch´ema conservatif, et la courbe bleue pour le sch´ema non conservatif). . . 111
3.23 La variation de pression en fonction du nombre de Mach. . . 112
3.24 Numerical results for two-phase flow in a channel with bump. . . 113
4.1 Comparaison des pressions `a t = 0.2 s. . . 115
4.2 Comparaison des vitesses `a t = 0.2 s. . . 116
4.3 Comparaison des masses volumiques `a t = 0.2 s. . . 116
4.4 Tube `a choc diphasique avec diff´erents maillages : le taux de vide. . . 118
4.5 Tube `a choc diphasique avec diff´erents maillages : la pression. . . 118
4.6 Tube `a choc diphasique avec diff´erents maillages : la vitesse du gaz.. . . 118
4.7 Tube `a choc diphasique avec diff´erents maillages : la vitesse du liquide.. . . 119
4.8 Tube `a choc diphasique avec diff´erents maillages : la temp´erature du gaz. . . 119
4.9 Tube `a choc diphasique avec diff´erents maillages : la temp´erature du liquide. . . . 119
4.10 Comparaison entre les r´esultats obtenus avec solveurs de pression et la solution de r´ef´erence pour tube `a choc diphasique : le taux de vide. . . 120
4.11 Comparaison entre les r´esultats obtenus avec solveurs de pression et la solution de r´ef´erence pour tube `a choc diphasique : la pression. . . 120
4.12 Comparaison entre les r´esultats obtenus avec solveurs de pression et la solution de r´ef´erence pour tube `a choc diphasique : la vitesse du gaz. . . 120
4.13 Comparaison entre les r´esultats obtenus avec solveurs de pression et la solution de r´ef´erence pour tube `a choc diphasique : la vitesse du liquide.. . . 121
4.14 Comparaison entre les r´esultats obtenus avec solveurs de pression et la solution de r´ef´erence pour tube `a choc diphasique : la temp´erature du gaz. . . 121
4.15 Comparaison entre les r´esultats obtenus avec solveurs de pression et la solution de r´ef´erence pour tube `a choc diphasique : la temp´erature du liquide. . . 121
4.16 Tube `a choc de Saurel : taux de vide `a t = 2.29× 10−4s. . . . 123
4.17 Tube `a choc de Saurel : pression `a t = 2.29× 10−4s. . . . 123
4.18 Tube `a choc de Saurel : vitesse du m´elange `a t = 2.29× 10−4s. . . 124
4.19 Tube `a choc de Saurel : masse volumique du m´elange `a t = 2.29× 10−4s. . . . 124
4.20 Robinet de Ransom `a t = 0, 0 < t < tconverge et t = tconverge (le temps pour atteindre le r´egime permanent). . . 125
4.21 Robinet de Ransom : le taux de vide `a t = 0.6 s.. . . 126
4.22 Robinet de Ransom : la pression `a t = 0.6 s. . . 126
4.23 Robinet de Ransom : la vitesse du gaz `a t = 0.6 s. . . 126
4.24 Robinet de Ransom : la vitesse du liquide `a t = 0.6 s. . . 127
4.25 Robinet de Ransom : le taux de vide `a t = 2 s.. . . 127
4.26 D´es´equilibre cin´ematique : comparaison entre les r´esultats num´eriques et les solutions analytiques pour Cd= 0.05.. . . 129
4.27 D´es´equilibre cin´ematique : comparaison entre les r´esultats num´eriques et les solutions analytiques pour Cd= 0.5. . . 130
4.28 D´es´equilibre cin´ematique : le taux de vide `a t = 3 s.. . . 131
4.29 Illustration du cas test s´edimentation. . . 131
4.30 S´edimentation : les profils de taux de vide `a diff´erents instants. . . 132
4.31 Illustration sch´ematique pour le cas test manom`etre oscillant. . . 133
4.32 Manom`etre oscillant : le profil des taux de vide aux diff´erents instants. . . 134
4.33 Manom`etre oscillant : la comparaison entre la vitesse du liquide calcul´ee `a x = 10 m avec la solution analytique. . . 134
4.34 Illustration sch´ematique pour le cas test colonne bouillante. . . 135
4.35 La fraction volumique en r´egime permanent pour le cas test colonne bouillante. . . 137
4.36 Colonne bouillante : le taux de vide `a t = 10 s. . . 137
4.37 G´eom´etrie du cas test Jonction en T, dimension en [m]. . . 138
4.38 Jonction en T : le taux de vide. . . 139
4.40 Jonction en T : la vitesse du gaz. . . 140
4.41 Jonction en T : la vitesse du liquide. . . 141
4.42 G´eom´etrie du cas test ASTAR nozzle, toutes les dimensions en [m]. . . 141
4.43 ASTAR nozzle : la comparaison entre les r´esultats num´eriques et les solutions de r´ef´erence dans [86]. . . 143
4.44 ASTAR nozzle : la fraction volumique du liquide calcul´ee avec un maillage structur´e 2D. . . 143
5.1 Illustration du probl`eme water hammer, la figure n’est pas `a l’´echelle. . . 144
5.2 Water hammer monophasique : pression `a la vanne en fonction du temps. . . 146
5.3 Water hammer diphasique. . . 147
5.4 G´eom´etrie du cas test Moby-Dick, toutes les dimensions en [mm]. . . 147
5.5 Moby-Dick ∆Tsub= 2 K : comparaison entre les r´esultats num´eriques et les donn´ees exp´erimentales. . . 149
5.6 Moby-Dick ∆Tsub= 2 K : la vitesse des 2 fluides. . . 149
5.7 Moby-Dick ∆Tsub= 25 K : nombre de Mach `a diff´erentes pressions de sortie.. . . . 150
5.8 Moby-Dick ∆Tsub= 25 K : comparaison entre les solutions num´eriques `a diff´erentes pressions de sortie avec les donn´ees exp´erimentales pour la pression. . . 150
5.9 Moby-Dick ∆Tsub= 25 K : taux de vide `a diff´erentes pressions de sortie. . . 150
5.10 G´eom´etrie du cas test Super Canon, toutes les dimensions en [mm].. . . 151
5.11 Super Canon : ´evolution temporelle de la pression aux diff´erents points de mesure Pi, i = 1,· · · , 6. . . 153
5.12 Super Canon : ´evolution temporelle du taux de vide au point de mesure α. . . 154
5.13 G´eom´etrie du cas test Super Canon en 2D, dimension en [m]. . . 154
5.14 Super Canon 2D : `a t = 0.00174 s. . . 155
5.15 Super Canon 2D : `a t = 0.00262 s. . . 155
5.16 Super Canon 2D : `a t = 0.02 s. . . 156
5.17 Super Canon 2D : `a t = 0.04 s. . . 156
5.18 Super Canon 2D : `a t = 0.04 s. . . 157
5.19 Colonne `a bulles : comparaison de la concentration volumique d’aire interfaciale. . 159
5.20 Colonne `a bulles : comparaison du taux de vide. . . 159
5.21 Colonne `a bulles : comparaison de la pression. . . 160
6.1 Comparaison entre la solution exacte et la solution num´erique obtenue du sch´ema de flux pour l’´equation de Burgers `a t = 1 s. . . 165
6.2 R´esultats num´eriques de l’´equation de Burgers avec diff´erents choix de ε.. . . 166
6.3 Une rar´efaction transsonique est repr´esent´ee par une discontinuit´e pour le sch´ema de Roe. . . 168
6.4 Une rar´efaction transsonique est repr´esent´ee par 2 discontinuit´e pour la correction d’entropie de Harten et Hyman.. . . 169
6.5 Tube `a choc de Sod avec le sch´ema de VFFC al´eatoire.. . . 171
6.6 La solution du probl`eme de Riemann avec le sch´ema HLLE. . . 171
6.7 Comparaison des masses volumiques `a t = 0.4 s. . . 174
6.8 La masse volumique calcul´ee avec le sch´ema de VFFC sans la correction d’entropie sur diff´erents maillages. . . 174
6.9 Comparaison des masses volumiques `a t = 1.4 s. . . 175
6.10 Comparaison des masses volumiques `a t = 10 s. . . 175
6.11 G´eom´etrie pour le probl`eme du carbuncle. . . 176
6.12 Profil de la masse volumique pour le probl`eme du carbuncle. . . 176
6.13 Iso-valeur de la masse volumique pour le probl`eme du carbuncle. . . 177
6.14 Iso-valeurs de la masse volumique `a diff´erents nombres de pas pour un choc non stationnaire calcul´e avec le sch´ema de VFFC. . . 178
6.15 Sch´ema illustratif pour la correction H.. . . 181
6.16 Iso-valeurs de la masse volumique `a diff´erents nombres de pas pour un choc non stationnaire calcul´e avec le sch´ema de VFFC avec la correction H. . . 182
6.17 R´esultats num´eriques pour le probl`eme du carbuncle en utilisant le sch´ema de VFFC avec la correction H. . . 183
6.18 Les valeurs propres de la matrice de stabilit´e S sur le plan complexe pour le sch´ema de VFFC, M0 = 3. . . 187
6.19 Les valeurs propres de la matrice de stabilit´e S sur le plan complexe pour le sch´ema de VFFC, M0 = 7. . . 188
6.20 Les valeurs propres de la matrice de stabilit´e S sur le plan complexe sans le terme |B(T )|, M0 = 7. . . 189
6.21 Les valeurs propres de la matrice de stabilit´e S sur le plan complexe, M0 = 7 avec
la correction H. . . 189
6.22 Les valeurs propres de la matrice de stabilit´e S sur le plan complexe pour le sch´ema de HLLE, M0 = 3. . . 190
6.23 Les valeurs propres de la matrice de stabilit´e S sur le plan complexe pour le sch´ema de HLLE, M0 = 7. . . 191
Liste des tableaux
2.1 Expressions pour les variables thermodynamiques calcul´ees directement `a partir de
l’´energie libre sp´ecifique de Gibbs. . . 23
3.1 D´etermination des variables primitives pour diff´erents types de condition aux limites. 48 3.2 D´etermination des autres variables n´ecessit´ees sur la face. . . 49
3.3 Conditions initiales pour le cas test channel with bump diphasique. . . 112
4.1 Conditions initiales pour le cas test tube `a choc de Sod. . . 114
4.2 Conditions initiales pour le cas test tube `a choc diphasique. . . 116
4.3 Caract´eristiques des deux fluides pour le cas test tube `a choc diphasique. . . 117
4.4 Conditions initiales pour le cas test tube `a choc de Saurel. . . 122
4.5 Caract´eristiques des deux fluides pour le cas test de Saurel. . . 122
4.6 Conditions initiales pour le cas test Robinet de Ransom. . . 125
4.7 Conditions initiales pour le cas test d´es´equilibre cin´ematique. . . 127
4.8 Conditions initiales pour le cas test s´edimentation. . . 131
4.9 Conditions initiales pour le cas test colonne bouillante. . . 135
4.10 Conditions initiales pour le cas test Jonction en T. . . 138
4.11 Conditions initiales pour le cas test ASTAR nozzle. . . 142
5.1 Conditions initiales pour le cas test water hammer. . . 145
5.2 Conditions initiales pour le cas test Moby-Dick. . . 148
5.3 Conditions initiales pour le cas test d´epressurisation rapide. . . 151
5.4 Conditions initiales pour le cas test colonne `a bulles. . . 157
6.1 Donn´ees initiales pour le cas test 1. . . 173
6.2 Donn´ees initiales pour le cas test 2. . . 173
6.3 Donn´ees initiales pour le cas test 3. . . 174
Chapitre 1
Introduction
Les ´ecoulements diphasiques se rencontrent dans une grande vari´et´e de situations allant de l’industrie aux ph´enom`enes naturels. Par exemple, dans l’industrie chimique, des colonnes `a bulles sont utilis´ees pour augmenter les surfaces d’´echange, soit pour favoriser les ´echanges de chaleur, soit pour favoriser les r´eactions chimiques ; dans le g´enie p´etrolier, du gaz est inject´e dans un champs de p´etrole pour augmenter le taux d’extraction du p´etrole ; dans la m´et´eorologie, les ´ecoulement diphasiques sont pr´esents naturellement dans les ´echanges oc´ean-atmosph`eres et la formation des a´erosols ; etc.
Dans une centrale thermique, les ´ecoulements diphasiques sont pr´esents dans plusieurs composants de la centrale : l’´echangeur de chaleur, le condenseur, etc. Il est donc essentiel de comprendre et d’anticiper le comportement des ´ecoulements diphasiques pour la conception, l’optimisation, le contrˆole de ces ´equipements. De plus dans les sc´enarios incidentels ou accidentels, une bonne connaissance des ´ecoulements diphasiques est importante pour trouver une solution ad´equate en vue de traiter le probl`eme rencontr´e et ainsi garantir la sˆuret´e de ces installations. Un sc´enario accidentel largement ´etudi´e est la br`eche dans le circuit primaire d’une centrale nucl´eaire `a eau pressuris´ee (REP). La chaleur produite dans le cœur du r´eacteur par les crayons de combustible est ´evacu´ee par de l’eau pressuris´ee. Une chute accidentelle de la pression du fluide dans le cœur caus´ee par la br`eche va entraˆıner la vaporisation d’une partie de l’eau liquide et la formation de bulles de vapeur autour des crayons. La vapeur n’´evacuant pas la chaleur avec la mˆeme efficacit´e que l’eau liquide, ce sc´enario peut mener `a la fusion des barres de combustibles. La compr´ehension des ´ecoulements diphasiques est importante pour de nombreuses industries. Cependant beaucoup de difficult´es et probl´ematiques existent dans : la mod´elisation math´ematique des ´ecoulements diphasiques, l’analyse math´ematique des mod`eles ´etablis et des m´ethodes num´eriques, et aussi dans la r´esolution num´erique de ces mod`eles math´ematiques.
Contexte de la mod´
elisation des ´
ecoulements diphasiques
Les ´ecoulements liquide-gaz peuvent se pr´esenter sous une grande vari´et´e de configurations : gouttelettes, bulles, bouchons, a´erosols, phases s´epar´ees, etc. avec des transitions possibles entre ces diff´erentes configurations [37]. Deux approches sont possibles pour le suivi et la mod´elisation des interfaces entre le gaz et le liquide pr´esents dans ces r´egimes d’´ecoulements. La premi`ere approche consiste `a consid´erer chaque r´egion compos´ee d’une phase pure s´epar´ement, et ensuite de prendre en compte les conditions de saut appropri´ees aux interfaces.
Cependant `a cause de la complexit´e importante des interfaces en mouvement et d´eformables, la simulation num´erique avec cette approche n´ecessite des ressources informatiques ´enormes qui d´epassent la capacit´e de calcul des machines actuelles. Par cons´equent cette approche n’est pas
encore adapt´ee `a la simulation dans un contexte industriel. D’autre part, souvent les probl`emes d’ing´enierie n’exigent pas une mod´elisation aussi fine de ces interfaces, mais plutˆot une bonne repr´esentation des aspects macroscopiques. Ceci conduit `a la seconde approche, dite bi-fluide. Dans cette approche, on suppose que les deux phases sont pr´esentes en tout point de l’espace.
`
A chaque endroit du domaine, on a une vitesse, une pression, une fraction volumique et une temp´erature associ´ees `a chaque phase. Cette approche consiste `a d´ecrire l’´ecoulement `a une ´echelle sup´erieure `a celle des interfaces et moyenner les ´equations de conservation pour chaque phase en temps [37], ou en espace [16] ou d’autres mani`eres [19]. Les informations concernant les interfaces ´etant perdues au cours des op´erations de moyenne, il est important d’´etablir une mod´elisation des ´echanges entre les deux phases au niveau des interfaces : ´echanges de masse, de quantit´e de mouvement et d’´energie. La validit´e et la pr´ecision du mod`ele d´ependent alors largement de la description de ces ´echanges.
Dans l’approche bi-fluide, il n’existe pas de mod`ele unifi´e capable de d´ecrire efficacement tous les types d’´ecoulements car de nombreuses consid´erations ph´enom´enologiques interviennent dans l’´etablissement de ces mod`eles. On introduit ici quelques mod`eles [59] selon diff´erentes hypoth`eses simplificatrices dans l’ordre de complexit´e croissante du mod`ele.
Mod`ele homog`ene ´equilibr´e : il s’agit du mod`ele le plus simple qui consid`ere le m´elange comme un fluide unique, les phases ayant les mˆemes vitesses, pressions et temp´eratures [15]. Le mod`ele est alors constitu´e de trois ´equations de conservations : conservation de la masse, de la quantit´e de mouvement et de l’´energie totale du m´elange. En r´esolvant les ´equations, on peut obtenir la densit´e, la vitesse et la temp´erature du m´elange. Les deux fluides ´etant suppos´es `a saturation, il est possible d’en d´eduire la composition du m´elange. Mod`ele Drift-flux: ce mod`ele `a quatre ´equations suppose que les phases ´evoluent `a des vitesses diff´erentes, reli´ees par une loi de fermeture alg´ebrique postul´ee a priori [51][91]. On ne suppose plus les fluides `a saturation et une nouvelle ´equation portant sur le bilan de masse de la vapeur permet d’obtenir la composition du m´elange et de prendre en compte le d´es´equilibre thermique entre les phases.
Mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations : ce mod`ele comporte 3 ´equations pour chacune des phases et permet de d´eterminer la vitesse, la temp´erature et la fraction volumique pour chaque phase en supposant une relation de fermeture entre les pressions [27][74]. Le mod`ele le plus simple suppose l’´equilibre des pressions : la pression du gaz est ´egale `a celle du liquide. Mod`eles multichamps: ces mod`eles s’obtiennent en ´ecrivant les ´equations de bilan de masse,
de quantit´e de mouvement et d’´energie de chaque champ s´epar´ement. Ces mod`eles peuvent ˆetre vus comme des extensions du mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations. Au sein d’une mˆeme phase, les propri´et´es physiques sont susceptibles d’ˆetre tr`es inhomog`enes, donc il est raisonnable de consid´erer que dans une phase, plusieurs champs sont pr´esents. `A titre d’exemple, dans le code CUPID [39], il existe deux champs pour la phase liquide : liquide continu et gouttelettes.
D’autre mod`eles sont objets de recherches actuels, notamment les mod`eles `a deux pressions [70][76]. Toute fois ces mod`eles n’ont pas d´emontr´e `a ce jour qu’ils permettaient de r´esoudre des probl`emes industriels.
Contexte de la simulation num´
erique
Les ´etudes de sˆuret´e, de rendement et la conception des installations industrielles exigent de se doter de codes de calcul performants et capables de reproduire num´eriquement le comportement des fluides dans diverses situations avec un coˆut de calcul raisonnable.
D’une mani`ere g´en´erale, Il existe deux cat´egories de m´ethodes num´eriques pour la simulation num´erique des ´ecoulements diphasiques. La premi`ere dite density-based methods , o`u entrent
tous les sch´emas de type solveur de Riemann [27][92], c’est-`a-dire que la masse volumique est une inconnue principale et la pression se d´eduit `a partir de la masse volumique phasique et d’autres grandeurs thermodynamiques au travers des lois d’´etat. Cette cat´egorie de m´ethodes num´eriques est utilis´ee g´en´eralement sur maillages non structur´es avec variables colocalis´ees, elle est robuste mais pr´esente des probl`emes de pr´ecision [97][29] si l’´ecoulement est `a faible nombre de Mach, ce qui est souvent le cas dans les ´ecoulements diphasiques en raison de l’existence du m´elange de gaz et de liquide. La condition CFL pour ce type de m´ethode num´erique est typiquement
∆t = ∆x
max|u ± c|, (1.1)
avec ∆t le pas de temps, ∆x le pas d’espace, u la vitesse des fluides et c la vitesse du son. Avec l’introduction du nombre de Mach M = uc, nous avons
∆t = M ∆x
max|Mu ± u|, (1.2)
donc le pas de temps est approximativement proportionnel au nombre de Mach lorsque M est petit devant 1 et le pas de temps va subir une r´eduction tr`es importante `a faible nombre de Mach. La deuxi`eme cat´egorie de m´ethode num´erique est celle des solveurs de pression ( pressure-based methods ), o`u la pression est une variable calcul´ee directement en tant que
variable principale. Ceci est le cas du code CATHARE [5] au CEA, qui est un code syst`eme de thermohydraulique tr`es reconnu `a l’´echelle internationale. Ce type de sch´ema se comporte bien `
a faible nombre de Mach, mais s’appuie sur des maillages structur´es avec des variables dont le support est d´ecal´e comme illustr´e sur la Figure 1.1 (la pression et la temp´erature au centre des cellules, la vitesse aux faces des cellules), ce qui empˆeche en pratique le traitement des g´eom´etries complexes. uy uy uy uy uy uy uy uy uy uy uy uy ux ux ux ux ux ux ux ux ux ux ux ux Pj Pj+1 Pj−1
Figure 1.1 – Un maillage structur´e avec les variables d´ecal´ees.
Cet localisation des variables a pour but d’´eviter le probl`eme du mode en ´echiquier (en anglais : checkerboard problem) qui est susceptible d’ˆetre pr´esent si les variables sont stock´ees au mˆeme endroit d’un maillage, comme l’indique la Figure 1.2, avec les nombres (5, 20) repr´esentant la
valeur des pressions. Pour un solveur de pression, ce champ de pression non physique peut ˆetre vu comme uniforme donc physique. En effet, nous avons besoin d’´evaluer le gradient de pression ~
∇P qui intervient dans l’´equation de quantit´e de mouvement. Pour les solveurs de pression, typiquement un sch´ema centr´e est employ´e pour d´eterminer ce gradient num´eriquement. Par exemple, pour la composante dans la direction x du gradient de pression dans la cellule i, nous avons
(∇xP )i=
Pi+1− Pi−1
2∆x , (1.3)
o`u ∆x est le pas d’espace dans la direction x. Nous pouvons alors remarquer que pour le champ de pression indiqu´e sur la Figure1.2, cette formule (1.3) donne lieu `a
(∇xP )i = 0, (1.4)
ce qui n’est pas acceptable. De ce fait la m´ethode avec les variables stock´ees `a diff´erents endroits d’un maillage a ´et´e initialement propos´ee dans [31] et depuis lors est utilis´ee par de nombreux auteurs [63][51]. uy uy uy uy uy uy uy uy uy ux ux ux ux ux ux ux ux ux Pj Pj+1 Pj−1 20 Pj+1 Pj−1 5 5 5 5 20 20 20 20
Figure 1.2 – Un maillage structur´e avec les variables colocalis´ees.
Cependant la localisation des variables d´ecal´ees a plusieurs inconv´enients par rapport `a la localisation des variables colocalis´ees [65][25]. Tout d’abord les variables partagent les locations diff´erentes donc les volumes de contrˆole diff´erents, ceci complique largement l’algorithme de la m´ethode num´erique ainsi que son impl´ementation informatique. De plus pour les g´eom´etries complexes, il est difficile pour cet arrangement de s’ajuster avec les fronti`eres du domaine, etc.
L’objectif de ce travail est de combiner les m´erites de ces deux cat´egories de sch´emas num´eriques, et de d´evelopper un solveur de pression sur maillage non structur´e avec variables colocalis´ees. Le choix du solveur de pression nous permet de simuler les ´ecoulements diphasiques qui sont souvent caract´eris´es par une grande vari´et´e de nombre de Mach, tandis que le choix du maillage non structur´e avec variables colocalis´ees nous permet de traiter les g´eom´etries complexes. De plus l’interpolation de Rhie et Chow [71] est utilis´ee afin d’´eviter le probl`eme du mode en ´echiquier expliqu´e ci-dessus, qui est fr´equemment pr´esent dans les solveurs de pression si les variables sont colocalis´ees.
Une ´etude de l’´etat de l’art sur les solveurs de pression indique qu’il existe plusieurs m´ethodes num´eriques selon le nombre de variables d´etermin´ees implicitement [36].
M´ethode explicite
La d´eriv´ee en temps est discr´etis´ee par la m´ethode d’Euler alors que les autres termes sont ´evalu´es explicitement. La condition de stabilit´e impose un tout petit pas de temps, car les termes correspondant `a la propagation des informations `a la vitesse du son sont d´etermin´es explicitement (voir l’´equation (1.1)). Cette m´ethode est int´eressante pour r´esoudre des situations o`u l’´echelle du temps est de l’ordre de la vitesse du son. Cependant pour ´etudier les ´ecoulements thermohydrauliques dans les centrales thermiques, cette restriction est trop limit´ee.
M´ethode semi-implicite
L’origine de cette m´ethode est la m´ethode Implicit Continuous Eulerian (ICE) propos´ee dans [30]. Puis dans [51], l’am´elioration et l’adaptation pour les ´ecoulements thermohydrauliques dans les centrales thermiques ont ´et´e propos´ees. Cette m´ethode semi-implicite est ensuite utilis´ee dans plusieurs codes industriels (e.g., RELAP [79], CUPID [39]). Comme son nom l’indique, dans cette m´ethode plusieurs termes sont ´evalu´es implicitement, permettant d’´eliminer la limite de stabilit´e sur le pas de temps impos´ee par la vitesse du son. Une bonne propri´et´e de cette m´ethode est que les ´equations discr´etis´ees peuvent se r´eduire `a un syst`eme lin´eaire de taille N×N (N est le nombre de cellules du maillage) o`u la pression est la seule inconnue, donc elle est tr`es efficace en terme de temps de calcul.
M´ethode implicite
Dans cette m´ethode, tous les termes sont trait´es implicitement dans l’espoir d’obtenir une meilleure stabilit´e. Le surcoˆut de cette m´ethode est qu’un syst`eme non lin´eaire est `a r´esoudre `a chaque it´eration. Cette m´ethode est utilis´ee dans le code CATHARE [5].
M´ethode quasi-implicite (nearly implicit method)
Cette m´ethode, d´ecrite dans [94][79], est un compromis entre la m´ethode semi-implicite et la m´ethode implicite. Cette m´ethode permet de r´esoudre num´eriquement les ´equations avec un grand pas de temps. Elle est n´eanmoins moins coˆuteuse par rapport `a la m´ethode implicite en terme de temps de calcul. Cette m´ethode fait intervenir 2 ´etapes : dans la premi`ere, le syst`eme est r´esolu comme dans la m´ethode semi-implicite mis `a part le fait que l’´equation de quantit´e de mouvement est ´evalu´ee implicitement ; ensuite dans la seconde ´etape, les termes convectifs dans les ´equations de masse et d’´energie sont d´etermin´es implicitement pour stabiliser le syst`eme. M´ethode SETS (stability-enhancing two-step method)
Cette m´ethode est utilis´ee dans le code TRAC [87], qui permet aussi de r´esoudre les ´ecoulements diphasiques avec un grand pas de temps. Les d´etails sur la m´ethode peuvent ˆetre trouv´es dans [56].
C’est l’efficacit´e de la m´ethode semi-implicite dans la r´esolution des ´ecoulements thermohydrauliques des centrales thermiques et son application avec succ`es dans plusieurs codes industriels, qui fait que nous adoptons cette m´ethode num´erique dans nos ´etudes. De plus elle est compl´et´ee par la m´ethode quasi-implicite afin d’ˆetre capable d’effectuer des simulations `a grand pas de temps.
Il est connu que le mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations avec l’´egalit´e des pressions phasiques est non hyperbolique, car il poss`ede des valeurs propres complexes [55][82]. Math´ematiquement
le mod`ele constitue un probl`eme aux valeurs initiales mal pos´e. Il existe principalement deux approches afin de rem´edier `a ce d´efaut du mod`ele. La premi`ere approche consiste `a ajouter des termes r´egularisants pour rendre le probl`eme bien pos´e. Par exemple dans [84][6], une pression interfaciale est introduite dans le mod`ele pour avoir un probl`eme bien pos´e. Dans la seconde approche, c’est l’utilisation de la diffusion num´erique pour amortir les instabilit´es non physiques provenant de la non hyperbolicit´e du mod`ele qui stabilise la m´ethode num´erique. En effet, le succ`es de ce mod`ele non hyperbolique pour simuler num´eriquement des ´ecoulements diphasiques dans de nombreuses situations d’int´erˆet industriel, vient de la diffusion num´erique qui est souvent introduite par la m´ethode num´erique. Ainsi, quand on regarde l’´equation ´equivalente de la m´ethode num´erique, on peut remarquer qu’un nouveau mod`ele avec un terme visqueux est r´esolu en fait par la m´ethode num´erique. Ce nouveau mod`ele constituant un probl`eme bien pos´e, des r´esultats d’int´erˆet physique peuvent alors ˆetre produits. Cependant ce terme visqueux a pour coefficient ∆x, qui est le pas d’espace du maillage. Donc si on raffine trop le maillage, cette diffusion num´erique tend vers z´ero, et le probl`eme redevient mal pos´e. C’est l`a qu’interviennent les termes r´egularisants, tels que la pression interfaciale de Bestion [6]. Dans [81][82], il est indiqu´e que le mod`ele bi-fluide peut ˆetre utilis´e ´etant donn´e que l’instabilit´e du mod`ele est compens´e par l’amortissement physique introduit par la force de traˆın´ee et l’amortissement num´erique introduit par la diffusion num´erique (le calcul s’effectue sur un maillage avec un pas d’espace ∆x suffisamment grand).
Organisation du manuscrit
Ce travail vise `a d´evelopper un sch´ema de pression sur maillage colocalis´e qui regroupe les m´erites des deux types de solveurs pr´esent´es ci-dessus. Il se base sur la m´ethode num´erique dans le code CUPID [39][38] qui utilise l’interpolation de Rhie et Chow pour ´eviter le probl`eme du mode en ´echiquier. La version originale du sch´ema dans le code CUPID s’applique aux mod`eles de l’´ecoulement diphasique `a 3 champs, or pour raison de simplicit´e, on d´eveloppe ici le mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations, qui est le plus proche `a celui de 3 champs.
Dans le Chapitre 2, une d´emonstration du mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations est donn´ee en utilisant la distribution de Dirac. Par ailleurs les relations constitutives utilis´ees dans ce travail pour fermer math´ematiquement le mod`ele sont abord´ees.
Le Chapitre 3 se consacre `a expliquer en d´etail les m´ethodes num´eriques utilis´ees dans cette th`ese, y compris la m´ethode semi-implicite et la m´ethode quasi-implicite. Une version conservative du sch´ema num´erique est ´egalement d´evelopp´ee. Puis on aborde les techniques pour traiter la disparition de phase. Finalement on ´etudie les propri´et´es math´ematiques de la m´ethode semi-implicite : la stabilit´e et la propri´et´e de pr´eservation asymptotique.
Dans le Chapitre 4, des cas tests benchmarks sont effectu´es afin de valider le d´eveloppement et ´evaluer le comportement des m´ethodes num´eriques. Les r´esultats num´eriques sont compar´es avec les solutions de r´ef´erence dans la litt´erature ou les solutions analytiques si ces derni`eres existent.
Dans le Chapitre5, on simule des cas tests industriels pour lesquels les donn´ees exp´erimentales sont disponibles.
Dans le Chapitre 6, on ´etudie la diffusion num´erique `a l’aide de la th´eorie de l’´equation ´equivalente. Comme expliqu´e plus haut, c’est la diffusion num´erique qui fait que des r´esultats num´eriques peuvent ˆetre obtenus `a partir du mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations. Cependant pour
raison de simplicit´e, cette ´etude se fait dans le cadre du mod`ele d’Euler, et on utilise la diffusion num´erique pour traiter le probl`eme de la verrue (carbuncle en anglais).
Chapitre 2
Mod`
ele bi-fluide `
a 6 ´
equations
Dans ce chapitre, nous allons donner une d´emonstration du mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations, qui est utilis´e principalement dans notre travail. Des hypoth`eses et des lois constitutives sont ´egalement donn´ees afin de fermer math´ematiquement le mod`ele.
2.1
Lois de conservation pour l’´
ecoulement monophasique
Pour commencer, on se donne les lois de conservation pour l’´ecoulement monophasique. Ces ´equations sont importantes pour deux raisons [37]. D’une part on peut les utiliser directement pour l’´ecoulement s´epar´e, par exemple pour ´etudier l’´evolution d’une bulle dans un liquide. D’autre part elles constituent une base pour obtenir les ´equations moyenn´ees, c’est-`a-dire le mod`ele bi-fluide `a 6 ´equations.
Conservation de la masse
∂ρk
∂t +∇ · (ρk~uk) = 0. (2.1)
Conservation de la quantit´e de mouvement
∂ρk~uk
∂t +∇ · (ρk~uk⊗ ~uk) =∇ · Tk+ ρk~g. (2.2) Conservation de l’´energie totale
∂ρk ek+ |~uk|2 2 ∂t +∇ · " ρk~uk ek+|~u k|2 2 !# =∇ · (Tk· ~uk)− ∇ · ~qk+ ρk~g· ~uk+ rk. (2.3) Ces ´equations sont valables pour chaque phase k ∈ {v, l}, v pour la vapeur et l pour le liquide, o`u ρk, ~uk, ek sont respectivement la masse volumique, la vitesse et l’´energie interne sp´ecifique de la phase k, Tk est le tenseur de contraintes, ~g est la source de gravit´e, ~qk est le flux de chaleur et rk la source de chaleur.
2.2
Equations moyenn´
´
ees
Les lois de conservation pour chaque phase, appel´ees aussi les ´equations locales instantan´ees, sont impossibles `a r´esoudre `a cause de la complexit´e des interfaces entre les phases. De plus la description d´etaill´e des interfaces n’est pas n´ecessaire pour les applications industrielles. Dans la litt´erature, nous pouvons trouver diff´erentes m´ethodes pour moyenner les ´equations locales instantan´ees : les moyennes temporelles [37], les moyennes spatiales et statistiques [16][28], etc. Cependant les diff´erentes moyennes donnent les mˆemes ´equations, mis `a part le fait que l’interpr´etation des termes obtenus peut ˆetre diff´erente. Par exemple αk est la probabilit´e d’existence de la phase k pour la moyenne temporelle, elle est la fraction volumique pour la moyenne spatiale.
Nous d´etaillons maintenant une m´ethode pour obtenir les ´equations moyenn´ees bas´ee sur la distribution de Dirac d´efinie dans [28] (voir aussi [85][19]). La variable γk est d´efinie comme indicateur de la phase k, o`u k = v, l pour la phase vapeur et la phase liquide respectivement :
γk=
1 o`u la phase k est pr´esente,
0 o`u la phase k n’est pas pr´esente. (2.4)
avec la condition suivante
X k=v, l
γk= 1. (2.5)
Pour faire la moyenne, il est pratique de d´efinir un syst`eme de coordonn´ees local (voir [28]), ξ1, ξ2, ξ3, qui a des axes parall`eles `a ceux du syst`eme x1, x2, x3, mais dont l’origine se situe `a la position x.
On d´efinit deux types de moyennes spatiales : le premier est sur le volume total Vξ, l’autre sur le volume occup´e par la phase k : Vξ, k. Pour une grandeur physique ψkde la phase k, la premi`ere moyenne donne : ψk(x, t) = 1 Vξ Z Vξ ψk(x + ξ, t) γk(x + ξ, t) dξ, (2.6) et la deuxi`eme moyenne : ψk(x, t) = 1 Vξ, k Z Vξ, k ψk(x + ξ, t) γk(x + ξ, t) dξ. (2.7) On d´efinit la concentration volumique de la phase k dans le volume Vξ :
αk(x, t) = 1 Vξ Z Vξ γk(x + ξ, t) dξ = Vξ, k Vξ , (2.8)
o`u αv se d´enomme classiquement taux de vide . Alors les deux types de moyenne sont connect´es par la relation
ψk= αkψk. (2.9)
Nous adoptons les notations suivantes pour le gradient d’une variable comme dans [28] : ~
∇x signifie le gradient par rapport aux coordonn´ees x avec ξ1, ξ2, ξ3 constantes ; ~
∇ξ signifie le gradient par rapport aux coordonn´ees ξ avec x1, x2, x3 constantes.
Pour une variable ψ(x + ξ, t) d´ependant de x + ξ, le gradient dans le syst`eme de coordonn´ees x est ´egal au gradient dans le syst`eme de coordonn´ees ξ, donc nous notons tout simplement :
~
Le terme ~∇γk ´etant important dans l’´etablissement des ´equations moyenn´ees, nous donnons ici sa d´efinition au sens des distributions [19]. On consid`ere
Z Vξ φ(x + ξ, t) ~∇γk(x + ξ, t) dξ =− Z Vξ ~ ∇φ(x + ξ, t) γk(x + ξ, t) dξ =− Z Vξ, k ~ ∇φ(x + ξ, t) dξ, (2.11)
o`u φ(x + ξ, t) ∈ C∞ est une fonction test `a support compact dans V
ξ. Par le th´eor`eme de Green-Ostrogradski [4], nous avons
− Z Vξ, k ~ ∇φ(x + ξ, t) dξ = − Z Aξ φ(x + ξ, t) ~nikdξ =− Z Vξ φ(x + ξ, t) ~nikδx(x + ξ− ξi, t) dξ, (2.12) o`u Aξ est l’ensemble des interfaces entre les deux phases, ~nik est la normale unitaire `a l’interface dirig´e de la phase k, ξi indique les coordonn´ees des interfaces, et δx(x+ξ−ξi, t) est la distribution de Dirac qui v´erifie
δx(x + ξ− ξi, t) = 0, si ξ6= ξi, (2.13) Z
Vξ
δx(x + ξ− ξi, t) dξ = Ai(x, t), (2.14)
o`u Ai(x, t) est l’aire interfaciale dans un volume V
ξ. Compte tenu des ´equations (2.11) et (2.12), nous avons la d´efinition
~ ∇γk(x + ξ, t) =−~nikδx(x + ξ− ξi, t), (2.15) et sa norme ~ ∇γk(x + ξ, t) = δx(x + ξ− ξi, t). (2.16)
L’aire interfaciale dans le volume Vξ peut se r´e´ecrire par : Ai(x, t) = Z Aξ ds = Z Vξ ~ ∇γk(x + ξ, t) dξ. (2.17)
La concentration volumique d’aire interfaciale est d´efinie comme ai(x, t) = A i ξ Vξ = 1 Vξ Z Vξ ~ ∇γk(x + ξ, t) dξ. (2.18)
Dans ce qui suit, la moyenne du produit d’une grandeur physique ψk par le gradient de la distribution de phase ~∇γk sera fr´equemment rencontr´ee lors de la d´emonstration du mod`ele bi-fluide : ψk i (x, t) = 1 Vξ Z Vξ ψk∇γ~ k(x + ξ, t) dξ =− 1 Vξ Z Vξ ψk~nik(x + ξ, t) ~ ∇γk(x + ξ, t) dξ. (2.19) Comme ~ ∇γk
= 0 partout sauf `a l’interface, et tenant compte de l’´equation (2.17), nous obtenons ψk i (x, t) =− 1 Vξ Z Aξ ψk~nik(x + ξ, t) ds. (2.20)
Pour un observateur suivant l’interface, la fonction de distribution de phase γk ne change pas avec le temps, nous avons alors
dγk dt = ∂γk ∂t + ~u int · ~∇γk= 0, (2.21)
avec ~uint la vitesse de l’interface. Comme γ
kest constante partout sauf `a l’interface, et en prenant ~uint = 0 partout sauf `a l’interface, cette derni`ere relation est ainsi valable pour tout le domaine. Une autre explication pour l’´equation de transport (2.21) au sens des distributions peut ˆetre trouv´ee dans [19]. L’int´egration de cette ´equation de transport (2.21) sur le volume fix´e Vξ donne
1 Vξ Z Vξ ∂γk(x + ξ, t) ∂t dξ + 1 Vξ Z Vξ ~uint(x + ξ, t)· ~∇γk(x + ξ, t) dξ = 0. (2.22) En sortant la d´eriv´ee temporelle de l’int´egrale, nous avons
∂ ∂t " 1 Vξ Z Vξ γk(x + ξ, t) dξ # + 1 Vξ Z Vξ ~uint(x + ξ, t)· ~∇γk(x + ξ, t) dξ = ∂αk ∂t − 1 Vξ Z Aξ ~uint(x + ξ, t)· ~ni k(x + ξ, t) ds = 0. (2.23) Selon la d´efinition de la fraction volumique (2.8), le gradient de la fraction volumique devient
~ ∇αk(x, t) = ~∇x " 1 Vξ Z Vξ γk(x + ξ, t) dξ # = 1 Vξ Z Vξ ~ ∇γk(x + ξ, t) dξ =− 1 Vξ Z Aξ ~nik(x + ξ, t) ds, (2.24)
o`u la derni`ere ´egalit´e vient de l’´equation (2.20) avec ψk= 1.
Nous allons appliquons les d´efinitions ci-dessus pour aboutir au mod`ele bi-fluide.
2.2.1 Masse
En multipliant l’´equation de masse (2.1) monophasique pour la phase k avec la fonction de distribution correspondante γk, et en faisant l’int´egration sur un volume fix´e Vξ, on obtient
Z Vξ γk(x + ξ, t) ∂ρk(x + ξ, t) ∂t +∇ · (ρk(x + ξ, t)~uk(x + ξ, t)) dξ = 0. (2.25)
L’int´egration par parties donne Z Vξ ∂(γkρk) ∂t +∇x· (γkρk~uk) dξ− Z Vξ ρk ∂γk ∂t + ~uk· ~∇γk dξ = 0. (2.26)
On introduit la vitesse de l’interface ~uint afin de faire apparaˆıtre l’´equation de transport (2.21), l’´equation pr´ec´edente devient :
Z Vξ ∂(γkρk) ∂t +∇x· (γkρk~uk) dξ− Z Vξ ρk ∂γk ∂t + ~u int · ~∇γk dξ + Z Vξ h ρk(~uint− ~uk)· ~∇γk i dξ = 0. (2.27)
On peut sortir les d´eriv´ees de l’int´egrale (car la d´eriv´ee en espace est par rapport `a x, alors que l’int´egration est faite par rapport `a ξ) :
∂ ∂t " 1 Vξ Z Vξ (γkρk) dξ # +∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γkρk~uk) dξ # + 1 Vξ Z Vξ h ρk(~uint− ~uk)· ~∇γk i dξ = 0. (2.28) On d´efinit le transfert de masse entre les deux phases
Γk= 1 Vξ Z Aξ ρk(~uint− ~uk)· ~nik ds = − 1 Vξ Z Vξ h ρk(~uint− ~uk)· ~∇γk i dξ, (2.29)
et selon la d´efinition des moyennes spatiales, nous avons ∂
∂t(αkρk) +∇ · (αkρk~uk) = Γk. (2.30)
2.2.2 Quantit´e de mouvement
En multipliant l’´equation de quantit´e de mouvement (2.2) monophasique pour la phase k avec la fonction de distribution correspondante, et en faisant l’int´egration sur un volume fix´e Vξ, on obtient Z Vξ γk(x + ξ, t) ∂ρk~uk ∂t +∇ · (ρk~uk⊗ ~uk)− ∇ · Tk− ρk~g dξ = 0. (2.31)
L’int´egration par parties donne Z Vξ ∂(γkρk~uk) ∂t +∇x· (γkρk~uk⊗ ~uk)− ∇x· (γkTk)− γkρk~g dξ − Z Vξ ρk~uk ∂γk ∂t + ρk~uk⊗ ~uk· ~∇γk− Tk∇γ~ k dξ = 0, (2.32)
o`u le tenseur de contraintes Tk se divise en deux termes :
Tk=−pkI+ τk, (2.33)
avec pk la pression et τk le tenseur de contraintes visqueuses. Avec l’introduction de la vitesse de l’interface ~uint, on obtient :
Z Vξ ∂(γkρk~uk) ∂t +∇x· (γkρk~uk⊗ ~uk) +∇x· (γkpkI)− ∇x· (γkτk)− γkρk~g dξ − (((( (((( (((( ((((( Z Vξ ρk~uk ∂γk ∂t + ~u int· ~∇γ k dξ + Z Vξ h ρk~uk⊗ (~uint− ~uk)· ~∇γk − pk∇γ~ k+ τk∇γ~ k i dξ = 0. (2.34)
On peut sortir les d´eriv´ees de l’int´egrale : ∂ ∂t " 1 Vξ Z Vξ (γkρk~uk) dξ # +∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γkρk~uk⊗ ~uk) dξ # +∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γkpkI) dξ # − ∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γkτk) dξ # − " 1 Vξ Z Vξ (γkρk~g) dξ # + 1 Vξ Z Vξ h ρk~uk⊗ (~uint − ~uk)· ~∇γk − pk∇γ~ k+ τk∇γ~ k i dξ = 0. (2.35)
On d´efinit la pression moyenne aux interfaces pour la phase k [9][74] pik = 1 Vξ R Vξpk ∇γ~ k dξ 1 Vξ R Vξ ∇γ~ k dξ , (2.36)
et la fluctuation de pression au voisinage des interfaces : p0
k= pk− pik. Le transfert interfacial de quantit´e de mouvement se d´ecompose en la relation :
1 Vξ Z Vξ −pk∇γ~ k+ τk∇γ~ k dξ = 1 Vξ Z Vξ −pik∇γ~ k dξ + 1 Vξ Z Vξ −p0k∇γ~ k+ τk∇γ~ k dξ =−pik∇α~ k− ~Mik, (2.37) o`u ~ Mik =− 1 Vξ Z Vξ −p0k∇γ~ k+ τk∇γ~ k dξ. (2.38)
On d´efinit une vitesse phasique aux interfaces : ~uqdmik = 1 Vξ R Aξρk~uk⊗ (~u int− ~u k)· ~nikds 1 Vξ R Aξρk(~u int− ~u k)· ~nikds =− 1 Vξ R Vξρk~uk⊗ (~u int− ~u k)· ~∇γkdξ Γk . (2.39)
Compte tenu la d´efinition des moyennes spatiales ainsi que la d´efinition de pik, Mik et ~uqdmik , nous avons finalement
∂ ∂t(αkρk~uk) +∇ · (αkρk~uk⊗ ~uk) +∇ · (αkpkI)− ∇ · (αkτk)− αkρk~g− Γk~u qdm ik − pik∇αk− ~Mik= 0. (2.40) 2.2.3 Energie totale´
En multipliant l’´equation d’´energie totale (2.3) monophasique pour la phase k avec la fonction de distribution correspondante, et en faisant l’int´egration sur un volume fix´e Vξ, on obtient
Z Vξ γk(x + ξ, t) ∂ρk ek+|~uk| 2 2 ∂t +∇ · ρk~uk ek+|~uk| 2 2 − ∇ · (Tk~uk) + ∇ · ~qk− ρk~g· ~uk− rk dξ = 0. (2.41)
L’int´egration par parties donne : Z Vξ ∂γkρk ek+|~uk| 2 2 ∂t +∇x· γkρk~uk ek+|~uk| 2 2 +∇x· (γkpk~uk)− ∇x· (γkτk~uk) + ∇x· (γk~qk) dξ− Z Vξ ρk ek+|~uk| 2 2 ∂γk ∂t + ~uk· ~∇γk + pk~uk· ~∇γk − τk~uk· ~∇γk+ ~qk· ~∇γk dξ = Z Vξ (γkρk~g· ~uk+ γkrk) dξ. (2.42)
L’introduction de la vitesse de l’interface ~uint entraˆıne Z Vξ ∂γkρk ek+ |~uk|2 2 ∂t +∇x· γkρk~uk ek+|~uk| 2 2 +∇x· (γkpk~uk)− ∇x· (γkτk~uk) + ∇x· (γk~qk) dξ− Z Vξ " (((( (((( (((( (((( (( ρk ek+|~uk| 2 2 ∂γk ∂t + ~u int· ~∇γ k − ρk ek+|~uk| 2 2 (~uint− ~u k)· ~∇γk # dξ− Z Vξ pk~uk· ~∇γk− τk~uk· ~∇γk+ ~qk· ~∇γk dξ = Z Vξ (γkρk~g· ~uk+ γkrk) dξ. (2.43) En sortant les d´eriv´ees de l’int´egrale, nous avons
∂ ∂t " 1 Vξ Z Vξ (γkρk) ek+|~uk| 2 2 dξ # +∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γkρk~uk) ek+ |~uk| 2 2 dξ # + ∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γkpk~uk) dξ # − ∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γkτk~uk) dξ # +∇x· " 1 Vξ Z Vξ (γk~qk) dξ # + 1 Vξ Z Vξ ρk ek+|~uk| 2 2 (~uint− ~uk)· ~∇γkdξ− 1 Vξ Z Vξ pk~uk· ~∇γk − τk~uk· ~∇γk+ ~qk· ~∇γk dξ = 1 Vξ Z Vξ (γkρk~g· ~uk+ γkrk) dξ. (2.44) Le terme de puissance des contraintes interfaciales Wk est d´ecompos´e de la fa¸con suivante [9][74] en tenant compte de l’´equation (2.23)
Wk=− 1 Vξ Z Vξ −pk~uk· ~∇γk+ τk~uk· ~∇γk dξ =− 1 Vξ Z Vξ h pik ~uint− ~uk · ~∇γk i dξ− 1 Vξ Z Vξ −pik~uint· ~∇γk dξ − 1 Vξ Z Vξ −p0kI+ τk ~uk· ~∇γkdξ = pik Γk ρik − ∂αk ∂t + ~Mik· ~uMik, (2.45) o`u ~uM
ik est une vitesse phasique aux interfaces et ρik symbolise une masse volumique phasique aux interfaces ρik= 1 Vξ R Vξ h ρk ~uint− ~uk · ~∇γk i dξ 1 Vξ R Vξ h (~uint− ~u k)· ~∇γk i dξ . (2.46)
Le transfert interfacial d’´energie interne est li´e au transfert de masse − 1
Vξ Z
Vξ
ρkek(~uint− ~uk)· ~∇γkdξ = Γkeik, (2.47) o`u eik est une ´energie interne sp´ecifique phasique aux interfaces. Le transfet interfacial d’´energie cin´ematique est ´egalement li´e au transfert de masse
−V1 ξ Z Vξ ρk|~uk| 2 2 (~u int − ~uk)· ~∇γkdξ = Γk|~u ec ik|2 2 , (2.48)
o`u ~uec
ik est une vitesse phasique aux interfaces. Finalement nous avons 1 Vξ Z Vξ ~qk· ~∇γkdξ =− 1 Vξ Z Aξ ~qk· ~nikds = Qik, (2.49)
avec Qik le transfert de chaleur entre les deux phases.
En tenant compte de la d´efinition des moyennes spatiales et les d´efinitions ci-dessus, nous obtenons finalement, ∂ ∂t " αkρk ek+|~uk| 2 2 # +∇ · " αkρk~uk ek+|~uk| 2 2 # +∇ ·hαkpk~uk i − ∇ ·hαkτk~uk i +∇ ·hαk~qk i = Γk hik+|~u ec ik|2 2 − pik ∂αk ∂t + ~Mik· ~u M ik + Qik+ αkρk~g· ~uk+ αkrk, (2.50) o`u l’enthalpie sp´ecifique aux interfaces est donn´ee par hik= eik+pρikik.
R´
esum´
e
On donne ici le r´esum´e des ´equations moyenn´ees obtenues dans la section pr´ec´edente en omettant la barre sur les variables moyenn´ees et en supposant que la moyenne d’un produit est ´egale au produit des moyennes [85]. Avant de le faire, nous prenons en compte ´egalement quelques hypoth`eses suivantes.
Hypoth`eses. Au cours des op´erations de moyenne, les informations concernant les caract´eristiques des interfaces sont perdues, or ces informations sont essentielles pour ´etablir des relations des grandeurs physiques aux interfaces, y compris les pressions phasiques et les pressions interfaciales. Comme cons´equence de cette perte de d´etails, il est g´en´eralement suppos´e que les pressions phasiques sont ´egales, ainsi les pressions interfaciales (avec v pour la vapeur et l pour le liquide)[74] :
P = pv = pl, Pint= piv= pil. (2.51)
Pour les vitesses interfaciales [74], nous supposons d’une part que les diff´erentes vitesses interfaciales phasiques sont ´egales
~uik= ~uqdmik = ~uecik = ~uMik, (2.52) et d’autre part, que les vitesses interfaciales phasiques v´erifient les conditions de non glissement :
~ui = ~u
iv= ~uil. (2.53)
On n´eglige la diffusion de chaleur ~qk et le tenseur de contraintes visqueuses τk par rapport aux termes d’´echange interfacial [85]. On n´eglige dans la suite pour simplifier l’´ecriture les sources de chaleur rk.
Le mod`ele bi-fluide s’´ecrit alors : Masse
∂
Quantit´e de mouvement ∂ ∂t(αkρk~uk) +∇ · (αkρk~uk⊗ ~uk) + αk∇P + (P − P~ int)~ ∇αk= αkρk~g + Γk~ui+ ~Mik. (2.55) ´ Energie totale ∂ ∂t αkρk ek+ |~uk| 2 2 +∇ · αkρk~uk ek+ P ρk +|~uk| 2 2 + P∂αk ∂t = Γk hik+|~u i|2 2 + ~Mik· ~ui+ Qik+ αkρk~g· ~uk+ (P − Pint) ∂αk ∂t . (2.56)
Cependant, dans diff´erents code industriels, diff´erents mod`eles bas´es sur le mod`ele ci-dessus sont utilis´es. Par exemple, dans les codes CUPID [39] et RELAP [3], l’´energie interne est utilis´ee pour le bilan d’´energie, alors que dans le code CATHARE [5], l’enthalpie totale est utilis´ee pour le bilan d’´energie. Nous donnons maintenant une d´emonstration du mod`ele `a utiliser dans nos ´etudes, dans lequel, l’enthalpie est utilis´e pour le bilan d’´energie. On r´e´ecrit tout d’abord l’´equation de quantit´e de mouvement en tenant compte de l’´equation de masse :
αkρk ∂
∂t~uk+ αkρk∇~uk· ~uk+ ~ukΓk+ αk∇P + (P − P~
int)~
∇αk = αkρk~g + Γk~ui+ ~Mik. (2.57) Ensuite, en multipliant les deux cˆot´es de l’´equation pr´ec´edente par ~uk, et apr`es simplification nous pouvons obtenir le bilan d’´energie cin´ematique :
∂ ∂t 1 2αkρk|~uk| 2 +∇ · 1 2αkρk|~uk| 2~u k +1 2|~uk| 2Γ k+ αk∇P · ~u~ k+ (P − Pint)~∇αk· ~uk = αkρk~g· ~uk+ Γk~ui· ~uk+ ~Mik· ~uk. (2.58) En combinant les ´equations (2.56) et (2.58), nous obtenons le bilan d’´energie interne :
∂ ∂t(αkρkek) +∇ · (αkρkek~uk) =−P ∂ ∂tαk− P ∇ · (αk~uk) + Qik+ Γkhik+ ~Mik(~u i− ~u k) + 1 2Γk |~u i|2+|~u k|2− 2~uk· ~ui + (P − Pint) ∂αk ∂t + (P − P int)~∇α k· ~uk. (2.59) En supposant que les termes d’´echange Qik + Γkhik sont dominants devant les autres termes d’´echange, nous avons alors le bilan d’´energie interne :
∂
∂t(αkρkek) +∇ · (αkρkek~uk) =−P ∂
∂tαk− P ∇ · (αk~uk) + Qik+ Γkhik. (2.60) Finalement, en tenant compte de la relation thermodynamique hk= ek+ρPk, nous pouvons obtenir finalement le bilan d’´energie `a utiliser dans nos ´etudes :
∂
∂t(αkρkhk) +∇ · (αkρkek~uk) = αk ∂
∂tP − P ∇ · (αk~uk) + Qik+ Γkhik. (2.61) Ce choix de l’enthalpie dans la d´eriv´ee temporelle vient du fait que dans la phase initiale de notre d´eveloppement, nous avons adopt´e une loi d’´etat o`u la pression et l’enthalpie sp´ecifique sont choisies comme les variable ind´ependantes. Il s’agit d’une strat´egie usuelle pour les ´ecoulements
avec changement de phase et lois d’´etat tabul´ees ([5]). Pour bien fermer math´ematiquement le mod`ele bi-fluide ∂ ∂t(αkρk) +∇ · (αkρk~uk) = Γk, ∂ ∂t(αkρk~uk) +∇ · (αkρk~uk⊗ ~uk) + αk∇P + (P − P~ int)~∇α k= αkρk~g + Γk~ui+ ~Mik, ∂ ∂t(αkρkhk) +∇ · (αkρkek~uk) = αk ∂ ∂tP − P ∇ · (αk~uk) + Qik+ Γkhik, (2.62)
on doit se donner les expressions pour les diff´erents termes qui apparaissent `a l’issue de l’op´eration de moyenne. Ceci sera abord´e dans la section suivante.
2.3
Relations constitutives
Dans un premier temps, nous pouvons supposer tout simplement que la pression interfaciale est ´egale `a la pression des deux phases : Pint = P . Nous verrons dans la suite qu’un autre mod`ele sera introduit pour que le mod`ele soit hyperbolique.
`
A propos des termes d’´echange, afin de conserver la masse, la quantit´e de mouvement et l’´energie `a l’interface s´eparant les deux phases, les conditions de saut suivantes doivent ˆetre respect´ees : X k=v, l Γk= 0, (2.63) X k=v, l ~ Mik+ Γk~ui = 0, (2.64) X k=v, l Γkhik+ Qik = 0. (2.65)
Selon [74], un mod`ele pour la vitesse interfaciale est
~ui= αv~uv+ αl~ul, (2.66)
et pour la force de traˆın´ee, nous avons ~ Miv=− ~Mil=− 3 8αvαl(αvρv+ αlρl) Cd Rb|~u r|~ur, (2.67)
o`u ~ur = ~uv − ~ul, Cd est le coefficient de frottement et Rb est le rayon moyen des particules. Par exemple, il s’agit des bulles pour un ´ecoulement dispers´e `a bulles et des gouttelettes pour un ´ecoulement dispers´e `a gouttelettes. Dans le Chapitre 3, nous allons voir que la m´ethode semi-implicite n´ecessite aussi la d´eriv´ee de la force de traˆın´ee par rapport `a la vitesse phasique :
∂ ~Miv ∂~uv =−3 8αvαl(αvρv+ αlρl) Cd Rb ~ur⊗ ~ur |~ur| +|~ur| · I , (2.68) ∂ ~Mil ∂~ul =−3 8αvαl(αvρv+ αlρl) Cd Rb ~ur⊗ ~ur |~ur| +|~ur| · I , (2.69)
o`u I est la matrice d’identit´e.
Nous pouvons aussi consid´erer un frottement `a la paroi pour la phase k dans la partie droite de l’´equation de quantit´e de mouvement [14] :
~
Mwk =− f 2Dh
avec f le coefficient de frottement et Dh le diam`etre hydraulique. Et sa d´eriv´ee par rapport `a la vitesse phasique correspondante est
∂ ~Mwk ∂~uk =− f 2Dh αkρk ~uk⊗ ~uk |~uk| +|~uk| · I . (2.71)
Comme dans [24], le terme de transfert interfacial d’´energie est donn´e par Qik=
αvαlρk(hik− hk) τik
, (2.72)
o`u τik est un temps de relaxation. Pour l’eau et sa vapeur τik = τ est de l’ordre 10−3s. Les enthalpies sp´ecifiques `a l’interface entre les deux phases sont les enthalpies sp´ecifiques de saturation :
hik= hsatk . (2.73)
`
A partir des ´equations (2.63) et (2.65), nous obtenons l’expression suivante pour le terme du transfert de masse : Γv=−Γl=− Qiv+ Qil hiv− hil =−αvαlρv(h sat v − hv) + αvαlρl(hsatl − hl) τ (hsat v − hsatl ) . (2.74)
Et le terme source dans l’´equation d’´energie est Γvhiv+ Qiv =− (Γlhil+ Qil) =−
αvαlρv(hsatv − hv)· hsatl + αvαlρl(hsatl − hl)· hsatv τ (hsat
v − hsatl )
. (2.75) De plus, la m´ethode semi-implicite n´ecessite la d´eriv´ee des termes sources par rapport aux variables thermodynamiques ind´ependantes P et hk (voir la Section3.1.5, o`u ces expressions sont d´etaill´ees).
Maintenant nous pouvons compter 14 inconnues pour le mod`ele bi-fluide (2.62) :
(α, ρk, ~uk, P, hk, hsatk ), (2.76)
or nous ne disposons que de 10 ´equations pour ces inconnues. ´Etant donn´e que pour un fluide usuel, deux variables thermodynamiques ind´ependantes sont suffisantes pour d´eterminer les autres variables thermodynamiques, nous avons la loi d’´etat de la forme suivante pour chaque phase :
ρk = ρk(P, hk). (2.77)
L’enthalpie sp´ecifique de saturation est totalement d´etermin´e par la pression hsat
k = hsatk (P ). (2.78)
Nous avons maintenant le nombre d’inconnues ´egal au nombre d’´equations.
2.4
Concentration d’aire interfaciale
Nous avons vu dans la Section 2.2 l’apparition des termes interfaciaux lors de l’op´eration de moyenne qui a pour but d’obtenir le mod`ele bi-fluide `a six ´equations. La validit´e du mod`ele bi-fluide d´epend alors de la mod´elisation r´ealiste de ces termes interfaciaux qui d´ecrivent les ´echanges de masse, de quantit´e de mouvement et d’´energie entre les deux phases. Or ces termes interfaciaux peuvent ˆetre formul´es comme le produit de la concentration d’aire interfaciale par un flux correspondant qui traverse l’interface entre les deux phases [85] :
— le transfert de masse : Γk= ai R Aξρk(~u int− ~u k)· ~nik ds Ai ξ , (2.79)
— le transfet de quantit´e de mouvement ~ Mik = ai R Aξ(−p 0 kI+ τk) ~nikds Ai ξ , (2.80) — le transfet de chaleur Qik=−ai R Aξ~qk· ~n i kds Ai ξ . (2.81)
Donc la concentration d’aire interfaciale, qui d´etermine l’aire de la surface de contact entre les deux phases au sein d’un volume unitaire, est un param`etre important pour mod´eliser le processus de couplage entre les deux phases. Effectivement, la pr´ediction de ce param`etre est un point crucial pour l’application du mod`ele bi-fluide. La difficult´e principale pour d´eterminer la concentration d’aire interfaciale vient du fait que la g´eom´etrie de l’interface est complexe et mˆeme `a taux de vide et pression fix´es, diff´erentes configurations d’´ecoulement, qui se distinguent l’une de l’autre en terme de distribution locale de phase et de concentration d’aire interfaciale, peuvent exister.
Deux approches principales existent pour d´eterminer la concentration d’aire interfaciale. La premi`ere s’agit de l’utilisation des corr´elations alg´ebriques selon le r´egime d’´ecoulement. Par exemple pour un ´ecoulement dispers´e `a bulles, nous avons
ai = 3αv Rb
, (2.82)
o`u Rb est le rayon moyenne des bulles. D’autres mod`eles existent pour l’´ecoulement `a bouchons et l’´ecoulement `a film et gouttelettes [77]. La deuxi`eme approche consiste `a ´etablir une ´equation de transport pour la concentration d’aire interfaciale [37][77] :
∂ai
∂t +∇ · (a
i~uaire) = S
ai, (2.83)
o`u ~uaire d´esigne la vitesse de convection de l’aire interfaciale et S
ai est un terme source tenant
compte des ph´enom`enes pouvant cr´eer ou d´etruire de l’interface (coalescence-fragmentation, nucl´eation-condensation, etc.) Des relations de fermeture doivent alors ˆetre fournies pour ~uaire et Sai. Nous donnons ici le mod`ele de Hibiki et Ishii [33] utilis´e dans nos ´etudes pour le cas des
´ecoulements `a bulles :
∂ai
∂t +∇ · (a
i~uaire) = S
comp+ Scoal+ Sfrag, (2.84)
avec Scomp qui prend en compte la compressibilit´e des bulles, Scoal le terme de coalescence des bulles et Sfrag le terme de fragmentation des bulles. Ces trois termes sources sont calcul´es par :
Scomp= 2ai 3αv ∂αv ∂t +∇ · (αv~uv) , (2.85) Scoal= αv ai 2 ΓCα2/3v ε1/3 D11/3b (αmax v − αv) exp −KC 6 s D5 bρ3lε2 σ3 , (2.86) Sfrag= αv ai 2 ΓBαv(1− αv) ε1/3 D11/3b (αmax v − αv) exp − KBσ ρlD5/3b ε2/3 ! , (2.87)
o`u ΓC = 0.188, KC = 1.29, ΓB = 0.264, KB = 1.37, αmaxv = 0.6, Db est le diam`etre moyen des bulles, ε est la dissipation d’´energie turbulente, σ est la tension de surface, et dans nos ´etudes nous prenons ε = 300 J/(kg·s), σ = 72 × 10−3N/m et ~uaire = ~u
l.
2.5
Loi d’´
etat
Nous donnons dans cette section quelques lois d’´etat utilis´ees dans nos travaux.
2.5.1 Stiffened gaz
Nous pouvons utiliser la loi d’´etat stiffened gaz pour les deux phases, qui s’´ecrit sous forme
suivante :
P + π0= (γ− 1)ρe, (2.88)
e = CvT + π0
γρ, (2.89)
o`u π0 et γ sont des coefficients constants, et Cv est la capacit´e thermique `a volume constant. Nous cherchons `a exprimer la masse volumique ρ en fonction de la pression P et de l’enthalpie sp´ecifique h, compte tenu du fait que
e = h−P ρ, (2.90) nous aboutissons `a : ρ = γP + π0 (γ− 1)h, (2.91) h = γP + π0 (γ− 1)ρ, (2.92) ∂ρ ∂P h = γ (γ− 1)h, (2.93) ∂ρ ∂h P =−γP + π0 (γ− 1) 1 h2. (2.94) 2.5.2 Gaz isentropique
On donne ici une loi d’´etat encore simplifi´ee. Nous avons pour le gaz parfait (stiffened gaz avec π0 = 0)
P = (γ− 1)ρe = (γ − 1)CvρT. (2.95)
Le second principe de la thermodynamique s’´ecrit de = T ds− p d 1 ρ , (2.96) ceci ´equivaut `a ds = de T + p T d 1 ρ = Cv dT T + p T d 1 ρ = Cv dT T − (γ− 1)Cv ρ dρ. (2.97)
La variation d’entropie entre deux ´etats caract´eris´es respectivement par (T0, ρ0) et (T, ρ) devient : s− s0 = Z T T0 ds = Cvln T T0 ρ ρ0 1−γ! . (2.98)
En employant l’´equation (2.95), nous aboutissons `a : s− s0= Cvln p p0 ρ ρ0 −γ! . (2.99)
Nous obtenons alors l’expression pour la loi d’´etat isentropique (s− s0 = 0) : P
ργ = P0
ργ0 = A. (2.100)
Nous pouvons choisir par exemple P0 = 1.013 105 Pa et ρ0 = 1.293 kg/m3 pour l’air `a pression atmosph´erique.
D’apr`es le second principe de la thermodynamique (2.96), nous obtenons : dh =T ds + dP ρ = d(Aργ) ρ = Aγρ γ−2dρ = A γ γ− 1dρ γ−1. (2.101) Ainsi, h = Aγ γ− 1ρ γ−1+ h 0 = Aγ γ− 1 P A γ−1γ + h0, (2.102)
avec h0 une constante.
2.5.3 Liquide incompressible
Le liquide pourrait ˆetre suppos´e incompressible :
ρ = ρ0(constante). (2.103)
Dans ce cas-l`a, nous pouvons supposer que l’´energie interne sp´ecifique ne varie pas (e.g., pour l’eau e0 = 209334 J/kg), et donc :
h = e0+ P ρ0
. (2.104)
Comme pour la loi d’´etat isentropique, ici l’enthalpie sp´ecifique est aussi totalement d´etermin´ee par la pression. Quand nous donnons les conditions initiales pour un calcul, il faut s’assurer que cette relation entre la pression et l’enthalpie sp´ecifique est respect´ee. `A l’issue de chaque it´eration cette relation (2.102) ou (2.104) doit ˆetre satisfaite ´egalement.
Dans ce qui suit, nous cherchons `a retrouver qu’avec la loi d’´etat isentropique ou incompressible, l’´equation d’´energie n’est plus n´ecessaire pour le mod`ele bi-fluide. Pour ce faire, nous n´egligeons les termes d’´echange.
Gaz isentropique. En prenant en compte de la conservation de la masse, nous avons ∂ ∂t(αvρvev) +∇ · (αvρvev~uv) = ev ∂ ∂t(αvρv) +∇ · (αvρv~uv) + αvρv dev dt , (2.105)
avec la d´eriv´ee mat´erielle d(·)dt = ∂
∂t(·) + ~uv · ~∇(·). Compte tenue du second principe de la thermodynamique (2.96) avec ds = 0, nous obtenons
∂ ∂t(αvρvev) +∇ · (αvρvev~uv) = αvρv P ρ2 v dρv dt = P ρv d(αvρv) dt − ρv dαv dt . (2.106)
