Devoir de Devoir de Devoir de Devoir de SynthèseSynthèseSynthèseSynthèse N° N° N° N° 1111 ::::

(1)

Devoir Devoir Devoir

Devoir synthèse synthèse synthèse synthèse N°1N°1N°1N°1 de mathématiquesde mathématiquesde mathématiquesde mathématiques 1

Le sujet comporte 5 pages Le sujet comporte 5 pagesLe sujet comporte 5 pages Le sujet comporte 5 pages

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C dans un repère orthonormé _f

( )

^{O ,}^,ⁱ ^j d’une fonction f définie sur ℝ \

{ }

⁻¹ On sait que :

− La droite ∆ d’équation y=x+5 est asymptote à la courbe C en _f −∞.

− La droite d’équation x=−1 est asymptote à la courbe C . _f

− La droite d’équation y=1 est asymptote à la courbe C en . _f

− La droite T est la tangente à C au point A . _f

− La courbe C admet une tangente horizontale au point B et deux demi tangentes au point C. _f

À partir du graphique et des renseignements fournis : 1) Déterminer ^f

( )

^x

xlim→+∞ ; ^f

( )

^x

xlim→−∞ ;

( ) ^f

( )

^x

x→ −1⁻

lim ;

( ) ^f

( )

^x

x→ −1⁺

lim et ^lim

[ ( )

⁻ ⁻⁵

]

−∞

→ f x x

x .

2) a – Déterminer 



 



 2 ' 1

f et ^f^'

( )

³ ^.

b – Donner une approximation affine du réel ^f

(

³^,⁰⁰⁴

)

Exercice N°1 : ⁵^points^points^points^points

3333^ème^ème^ème^èmeMathsMaths : MMathsMaths 1-2-3 Date : le 8 / 12 / 2010

Devoir de Devoir de Devoir de

Devoir de Synthèse Synthèse Synthèse Synthèse N° N° N° N° 1111 ::::

Ma Ma Ma

Mathématiques thématiques thématiques thématiques

Enseignants :

Belkacem - Ghadhab - Machta

Durée : 2heures Coefficient : 4

T A B

C

∆

i j Cf

T

1,25 1 0,5

(2)

Devoir synthèse synthèse synthèse synthèse N°1N°1N°1N°1 de mathématiquesde mathématiquesde mathématiquesde mathématiques 2 3) a – f est elle dérivable à gauche en 3− ? Déterminer

( )

( ) ( )

3 lim 3

3 +

−

− −

→ x

f x f

x

. b – Déterminer

( )

3 5 , lim 5

3 +

−

− +

→ x

x f

x

.

4) Soit g la fonction définie sur

[

⁰^,^+∞

[

^{par :}

( ) ( )

2 + 3

= f x x

g .

a – Montrer que

( ) ( )

8 1 3

lim 3

3

= −

−

→ x

g x g

x .

b – Ecrire une équation cartésienne de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 3.

I – Soit h une fonction définie sur ℝ \

{ }

^{2 par :}

( )

2 3 2

2 − − −

= x x

x

h ; et C sa courbe représentative dans _h un repère orthonormé

( )

^{O ,}^;ⁱ ^j ^.

1) a – Calculer ^h

( )

^x

x→2⁻

lim et ^h

( )

^x

x→2⁺

lim . Interpréter graphiquement le résultat.

b – Calculer ^h

( )

^x

xlim→−∞ et ^h

( )

^x

xlim→+∞ .

c – Montrer que C admet une asymptote oblique _h ∆ d’équation cartésienne y=2x−3. d – Etudier la position relative de C par rapport à _h ∆.

2) Soit a_∈ ℝ \

{ }

^{2 .}

a – Montrer que h est dérivable en a et que :

( )

(

²²

)

²

2

' = + −

a a

h

b – Existe-t-il des tangentes à C _h qui sont parallèles à la droite D d’équation 5x−2y+6=0.

II – Soit la fonction f définie sur_ℝ\

{ }

²^{par :}

On désigne par C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé

( )

^{O ,}^,ⁱ ^j ^.

1) a – Montrer que pour tout^x^∈

]

⁻^∞^,⁰

[

^,

( )

2 1 1 3

3 2

2 − +

−

+

= −

x x x x

f

b – En déduire ^f

( )

^x

xlim→−∞ . Interpréter graphiquement le résultat.

2) a – Montrer que f est continue en 1.

b – Etudier la dérivabilité de f à gauche en 1. Interpréter graphiquement le résultat.

Exercice N°2 : ⁶^points^points^points^points

( ) ] ]

( ) ] [ { }







+∞

− ∈

−

=

∞

−

∈ +

+

−

=

2 , 1 si 2 3 2

2

1 ,

si 2

2 3 x x x

x f

x x

x x x f

0,5 0,5

0,75 0,5

0,75 0,5 0,5 0,5

0,75 0,5

0,75 0,5 0,5 0,75

(3)

Devoir synthèse synthèse synthèse synthèse N°1N°1N°1N°1 de mathématiquesde mathématiquesde mathématiquesde mathématiques 3 Dans le plan orienté dans le sens direct , on considère un rectangleABCD de centre O et tels que :

=6

AB et π

[ ]

π

6 2 , ≡









 ^∧

AC

AB . (figure page 4).

On désigne par ζ le cercle circonscrit au rectangle ABCD et par

[

At la demi droite tel que :

)

( )

^π

^{[ ]}

²^π

, ≡ 6

∧

At

AD .

On considère le point E de la demi droite

[

At tel que

)

AE = AC 1) Compléter la figure. (page 4)

2) Montrer que la demi droite

[

At est tangente à

)

ζ ^. 3) a – Montrer que AC=4 3.

b – Montrer que OAD est équilatéral.

c – Calculer OA.OD.

4) Calculer ^dét

(

^AB^,^DC

)

^et^dét

(

^AC^,^AD

)

^.

5) Soit M un point variable sur l’arc orienté tel que M ≠ A et ^M ≠ ^B et N le symétrique de^M par rapport àO . La droite (^AM) coupe ( )^DN en F.

a – Déterminer la mesure principale de l’angle orienté

(

^NA,^NB

)

^.

b – Déterminer la mesure principale de l’angle orienté

(

^MA,^MB

)

^.

c – Montrer que

( )

^π

^{[ ]}

²^π

, ≡ 3

∧

DN

AM . En déduire une mesure de

(

^FA,^FD

)

^.

d – Déduire que F appartient à un cercle Γ, caractériser et construire Γ. AB

Exercice N°3 : ⁶^points^points^points^points

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1

0,5 0,5 0,75 0,75

(4)

Devoir synthèse synthèse synthèse synthèse N°1N°1N°1N°1 de mathématiquesde mathématiquesde mathématiquesde mathématiques 4 Feuille à rendre avec la copie

Dans le plan orienté dans le sens direct, On désigne par C cercle de diamètre

[ ]

^{AB et}^D la droite qui passe par A et perpendiculaire à la droite

( )

^AB

Cochez la case correspondante à la bonne réponse :

E ensemble des points M du plan

tels que

Nature de l’ensemble E

[

^AB

)

^\

{ }

^A

[ ]

^AB ^\

{ }

^A,^B

[

^AB

)

^\

{ }

^A,^B ^ζ ^\

{ }

^A,^B ^D

0 .AB = MA

AB AM AB

AM. = ×

(

^AM^.^AB

)

^≡⁰

^{[ ]}

²^π

(

^MA^,^∧^MB

)

^≡^π

^{[ ]}

²^π

(

^MA^,^∧^MB

)

^≡^π₂

^{[ ]}

²^π

(

^MA^∧^MB

)

⁼^π ⁺^k^π

, 2 ;

∈ k ℤ

Exercice N°4 : ³^points^points^points^points

A B

C

O D

ζ

6 π

BA