4.1 (10,5 points). 1. Déterminer la mesure principale d’un angle dont une mesure est :

Un corrigé du devoir surveillé n°4 – Sujet A

E

4.1 (10,5 points). 1. Déterminer la mesure principale d’un angle dont une mesure est :

(a)

:

7π4

∉ ] − π ; π] donc ce n’est pas la mesure principale, cependant nous sommes proches de cet intervalle et en enlevant 2π nous obtenons celle-ci :

7π 4 ≡ 7π

4 − 2π (mod 2π) ≡ 7π 4 − 8π

4 (mod 2π) ≡ − π

4 (mod 2π) Comme −

∈ ] − π; π] c’est la mesure principale de

.

(b)

:

38π3

∉ ] − π; π] donc ce n’est pas la mesure principale; regardons combien de fois 2π =

nous pouvons enlever et combien il res- tera en effectuant la divsion euclidienne de 38 par 6 :

38 = 6 × 6 + 2

⇔

= 6 ×

+

= 6 × 2π +

≡

(mod 2π) Comme

∈ ] − π; π] c’est la mesure principale de

(c)

:

131π6

∉ ] − π ; π] donc ce n’est pas la mesure principale; regardons combien de fois 2π =

nous pouvons enlever et combien il res- tera en effectuant la divsion euclidienne de 131 par 12 :

131 = 10 × 12 + 11

⇔

= 10 ×

+

=

= 10 × 2π +

≡

(mod 2π) ∉ ] − π; π]

≡

− 2π (mod 2π) ≡

−

(mod 2π)

≡ −

(mod 2π) ∈ ] − π; π]

La mesure principale de

est donc −

. 2. Simplifier les expressions suivantes :

(a) A = sin(π − x) + sin( − x) + cos ¡

2

− x ¢

+ sin(π + x)

A = sin(π − x) + sin( − x) + cos ¡

2

− x ¢

+ sin(π + x)

= sin(x) − sin(x) + sin(x) − sin(x)

= 0

(b) B = cos ¡

2

+ x ¢

− sin ¡

2

− x ¢

+ cos( − x) B = cos ¡

2

+ x ¢

− sin ¡

2

− x ¢

+ cos( − x)

= − sin(x) − cos(x) + cos(x)

= − sin(x) 3. Calculer :

(a) C = sin ¡

6

¢ + sin ¡

6

¢ − sin ¡

6

¢ + sin ¡

6

¢

C = sin ¡

6

¢ + sin ¡

6

¢ − sin ¡

6

¢ + sin ¡

6

¢

=

+

− ¡

−

¢

−

= 1 (b) D = cos ¡

4

¢ + cos ¡

4

¢ − cos ¡

4

¢ + cos ¡

4

¢

D = cos ¡

4

¢ + cos ¡

4

¢ − cos ¡

4

¢ + cos ¡

4

¢

=

p2

2

−

p2

2

− ³

−

p2 2

´ +

p2 2

= p 2 E

4.2 (3 points).

La fonction f est définie pour tout réel x par f : x 7−→ 2x

− x + 1.

1. Déterminer si f est dérivable en 1 et, si oui, donner son nombre dérivé en 1.

f (1 + h) − f (1)

h = 2(1 + h)

− (1 + h) + 1 − 2

h = 2(1 + 2h + h

) − 1 − h + 1 − 2 h

= 2 + 4h + 2h

− 1 − h + 1 − 2

h = 3h + 2h

h = h(3 + 2h) h

= 3 + 2h quand h 6= 0

h→0

lim

f(1+h)−f(1)

h

= lim

h→0

3 + 2h = 3 donc f est dérivable en 1 et f

(1) = 3.

2. Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1.

Pour obtenir l’équation réduite on peut, entre autre, utiliser la formule : y = f

(1)(x − 1) + f (1) = 3(x − 1) + 2 = 3x − 1

E

4.3 (6,5 points).

La suite (u

) est telle que u

= 3 et, pour tout entier naturel n, u

= 2u

− 1.

1. Déterminer u

, u

et u

.

u

= 2u

− 1 = 2 × 3 − 1 = 5, u

= 2u

− 1 = 2 × 5 − 1 = 9 et u

= 2u

− 1 = 2 × 9 − 1 = 17.

2. On donne l’algorithme suivant, écrit en « langage courant » :

Entrée n

Initialisation u ← 3 s ← 3 Traitement

Pour k allant de 1 à n u ← 2 × u − 1 s ← s + u Fin pour Sortie

s

(a) Le faire tourner « à la main » si n vaut 3 en in- diquant vos résultats suc- cessifs dans le tableau ci- dessous et indiquer le ré- sultat qu’il renvoie :

k u s

3 3

1 5 8

2 9 17

3 17 34

L’algorithme renvoie 34 (b) Que fait cet algorithme

dans le cas général?

Cet algorithme calcule et affiche la somme des u

de u

jusqu’à u

.

(c) En donner une traduction sous la forme d’une fonc- tion écrite en Python.

def somme(n) : u = 3 s = 3

for k in range(n) : u = 2 ∗ u − 1 s = s + u return s

Remarque. On peut rem- placer « range(n) » par

« range(1, n + 1) ».