Ts AP 4 : Retour sur la trigonométrie 2012-2013
I cos(x) et sin(x)
M
x cosx sinx
0
−
→j
−
→i
Dans un repère (O;−→i;−→j), on considère le cercle trigonométriqueC de centreO, et un pointM du cercleC tel que (−→i;−−→OM) =x+k×2π, oùk∈Z.
1. Déterminer en fonction de x, les coordonnées du pointM. 2. Recopier et compléter :
(a) . . . .6cos(x)6. . . . (b) . . . .6sin(x)6. . . . (c) cos(x+k×2π) =. . . . (d) sin(x+k×2π) =. . . . (e) sin2(x) + cos2(x) =. . . .
II Mesure principale
1. Donner la mesure principale des angles orientés dont une mesure en radians est donnée : a. 9π
4 b.4π
3 c. 29π
6 d. −7π
2 e. −11π f. −25π 6
III Équations
Résoudre dansR, puis dans ]−π;π] chacune des équations suivantes :
a.2 cos(x) =−1 b.2 cos(x) = 0 c.2 sin(x)−1 = 0 d. sin(x)(sin(x)−√ 3) = 0 e. cos2(x) = 1
2 f. sin2(x) =−1
2 g.(√
3−2 sin(x))(√
3 + 2 cos(x)) = 0
IV Valeurs remarquables
0 π 6 π 4 π 3 π
2
5π 6
3π 4
2π 3
−π
7π 6
5π 4
4π
3 3π
2
11π 6
7π 4 5π
3
1 2
√2 2
√3
0 2
−12
−√22
−√23
1 2
√2 2
√3 2
−12
−√22
−√23
Compléter le tableau :
x(˚) x(rad) cos(x) sin(x) 0
30 45 60 90 120 135 150 180
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V Angles associés
En utilisant les formules des angles associés, simplifier les expressions suivantes :
• A(x) = cos(−x+ 2π) + cos(x+ 5π)−2 cos(3π−x) ;
• B(x) = sin(−x+ 2π) + sin(x+ 5π)−2 sin(3π−x) ;
• C(x) = 3 cosπ 2 −x
−cos
−x+5π 2
+ 2 cos x+π
2 ;
• D(x) = 3 sinπ 2 −x
−sin
−x+5π 2
+ 2 sin x+π
2
VI Formules d’addition et de duplication
1. Exprimer en fonction de cos(x) et de sin(x) :
• cos x+π
6
• sin
x+5π 6
• cos
x−2π 3
• sin
x−3π 4
2. Soitxle réel appartenant à l’intervallehπ 2;πi
tel que sin(x) =1 3. (a) Déterminer une valeur approchée dexà 10−3 près en radians.
(b) Déterminer la valeur exacte de cos(x).
(c) Déterminer la valeur exacte de cos(2x).
(d) Déterminer la valeur exacte de sin(2x).
VII Fonction sin et cos définie sur R
Identifier les fonctions dont on a tracé une partie de la représentation graphique et les compléter.
1
−1
0 π
2
π
1
−1
0 π
2
π
EXERCICE 1 On considère la fonctionf définie sur Rpar : f(x) = 2 sinx
2 +π 3
Déterminer les abscisses des points en lesquels la fonction dérivée def s’annule.
EXERCICE 2 n˚ 52 p 109
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