MATHEMATIQUES TES 2016-2017 Sujets des devoirs

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MATHEMATIQUES TES 2016-2017 Sujets des devoirs

DS1 13 /09/2016 page2 DV 30/09/2016 page 5 DS 11/10/2016 page 6 DV 03/11/2016 page 9 DV 02/12/2016 page 11 DS 02/12/216 page 12

Bac Blanc 10/02/2017 page 17 DV 27/01/2017 page 23 DS 21/03/2017 page 24 DS 02/05/2017 page 29 DV 19/05/2017 page 34

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 13/09/2016 2 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Inscrivez le nom de votre enseignant.

La page 3 est à rendre avec votre devoir.

EXERCICE I : (6 points)

Dans cet exercice, toutes les justifications demandées se feront par lecture du graphique.

On donne la courbe C représentation graphique d’une fonction définie sur 7 ; 7 . 1° Etude de la courbe de la fonction

a) Dresser sans justifier le tableau de variation de la fonction . Faire apparaître le signe de la dérivée.

b) Enoncer sans justifier le sens de variation de la fonction . c) Donner le tableau de signe de la fonction .

d) Résoudre l’équation 3. Justifier.

e) Résoudre l’inéquation 3. Justifier.

f) Déterminer l’intervalle image de 1 ; 2 et de 4 ; 7 Justifier.

. 2° a) La droite D a une équation de la forme . Déterminer et

b) Déterminer le nombre de solutions de l’équation dans 7 ; 7 . Justifier.

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EXERCICE II : (4 points)

On considère une fonction définie sur 5 ; 10] , et on donne son tableau de variation.

−5 −4 −3 −1 0 10 Variations

de

8 3 0 0

−2 2 1° Donner le tableau de signe de la fonction

2° Les affirmations suivantes sont –elles vraies ou fausses. Justifier vos réponses.

Affirmation 1 : 2 > 8

Affirmation 2 : L’équation = 9 a une unique solution dans [−5 ; 10]

Affirmation 3 : Pour tout de [−3 ; 10], on a : ∈ [−2 ; 2]

EXERCICE III : (10 points)

Un parc d’attraction reçoit des visiteurs dans la limite de 3500 visiteurs par jour au maximum pour des raisons de sécurité.

1° On appelle le coût d’exploitation quotidien du parc en fonction du nombre de visiteurs par jour.

On donne : exprimé en euros par = 0,002 ² + 2 + 3500. La courbe représentative de la fonction est donnée en annexe.

Calculer ′ pour ∈ [0 ; 3 500], puis dresser le tableau de variation de la fonction . 2° On suppose que le prix d’entrée au parc est de 10 € par visiteur.

Exprimer la recette quotidienne en euros # en fonction du nombre de visiteurs par jour.

Tracer la représentation graphique de la fonction # dans le même repère que la courbe du coût d’exploitation.

3° Montrer que le bénéfice, exprimé en euros, peut s’écrire :

$ = −0,002 ² + 8 − 3500 pour ∈ [0 ; 3500]

4° Combien de visiteurs faut-il accueillir pour que le parc réalise un bénéfice journalier égal à 4420 € ? 5° a) Calculer $′ . En déduire le tableau de variation de la fonction B.

b) Déduire le nombre de visiteurs journalier permettant de réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal ?

6° a) Résoudre l’équation $ = 0

b) Déterminer la plage de rentabilité du parc d’attraction.

7° L’étude précédente porte sur l’année 2016, durant laquelle le parc sera ouvert 365 jours.

a) Montrer que le bénéfice maximal annuel que l’on peut espérer est de 1 642 500€

b) Il est prévu la répartition suivante de ce bénéfice maximal annuel : 40% pour les actionnaires, 50 % pour les travaux d’aménagement, et le reste placé pour constituer une réserve d’argent.

Quel sera le montant de cette réserve après un placement de 1 an à 3% d’intérêt ? On donnera le résultat arrondi à la centaine d’euros.

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Annexe

NOM :

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 30/09/2016 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

On considère la fonction définie sur [0 ;5 par ^& 3 ^' 1. 1° Calculer ′ et ′′ .

2° Etudier la convexité de la fonction . 3° a) Etudier le signe de ′

b) Dresser le tableau de variations de la fonction .

4° a) Montrer que l’équation 0 admet une unique solution dans 2; 5 , que l’on notera (. b) Donner un encadrement de ( d’amplitude 0,01.

c) En déduire le signe de sur 0 ; 5 .

On donne la courbe représentative d’une fonction définie sur 2 ; 11 .

Aucune justification n’est demandée.

1° Donner les valeurs suivantes : 3 ⁾ 3 5 ⁾ 5 9 ⁾ 9

2° Déterminer une équation de la tangente en A.

3° Déterminer une équation de la tangente en S.

On considère une fonction définie et dérivable sur 1 ; 8 .

On donne, ci-contre, la courbe de sa fonction dérivée ′

1° a) Déterminer le signe de ′ .

b) Que pouvez-en déduire pour la fonction ? 2° a) Déterminer les variations de la fonction ⁾. b) En déduire la convexité de la fonction . c) La courbe _* admet-elle un point d’inflexion ?

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche - TL Rouge

11/10/2016 3 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

Les deux parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

La fonction est définie pour tout réel x élément de l’intervalle [1 ; 7] par : = 1,5 ^&− 9 ^'+ 24 + 48

On note ⁾ la fonction dérivée de la fonction et ′′ sa dérivée seconde sur [1 ; 7].

1. Pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 7] : a. Calculer ′ .

b. Calculer ′′ .

2. Déterminer sur quel intervalle la fonction est convexe.

Partie B

Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre 1 000 et 7 000 articles par semaine.

On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euros, par la fonction définie dans la partie A où x désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués.

On note c la fonction définie sur [1 ; 7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros.

On a, par conséquent, pour tout x de [1 ; 7] : + = = 1,5 ² − 9 + 24 +48

On admet que la fonction c est dérivable sur [1 ; 7]. On note c′ sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour tout x de l’intervalle [1 ; 7], on a : +⁾ = 3 − 4 ^' + + 4

'

2. a. Étudier les variations de la fonction c sur l’intervalle [1 ; 7].

2. b. Déterminer, en milliers, le nombre d’articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal.

On considère la fonction définie sur [0 ; 20] = − ^& + 6 ^' + 180 − 185.

On donne son tableau de variations

0 10 20 Variations

de

10)

0 20

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation par les méthodes habituelles et calculer les trois images.

2.a. Monter que l’équation = 0 admet une unique solution dans ,10 ; 20-, on la notera (.

2. b. Déterminer un encadrement de ( d’amplitude 0,01 ; puis la valeur arrondie à 0,01 près 3. a. Calculer 1

3. b. Déterminer le signe de sur [0 ; 20].

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On considère une fonction f définie sur et deux fois dérivable.On donne ci-dessousla courbe représentative de la fonction ⁾⁾ dérivée seconde de la fonction , dans unrepère orthonormé.

Les points suivants appartiennent à la courbe : _{. 2 ; 0} ; _{$ 0 ; 0,5} et _{3 ; 0 .} Courbe représentative de la fonction _′′

Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d’arguments graphiques.

1. a. Dresser le tableau de signe de ′′

1. b. La courbe représentative de admet-elle des points d’inflexion?

1. c. Dresser le tableau de variations de la fonction ′

2. Sur 2 ; 3 , la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

3. Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction et l'autre celle de ′. Déterminer la courbe qui représente la fonction et celle qui représente la dérivée ′. Justifier la réponse.

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EXERCICE IV : (6 points)

L’énergie photovoltaïque voit son coût baisser de façon importante depuis plusieurs années, ce qui engendre une croissance forte de ce secteur. L’évolution de la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde entre fin 2004 et fin 2015 est résumée dans le graphique ci-dessous :

1. Calculer les pourcentages d’augmentation annuels entre 2013 et 2014 ainsi qu’entre 2014 et 2015.

Arrondir à 10^/0.

2. On se propose d’estimer la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dans les 15 ans à venir, si le taux de croissance annuel reste constant et égal à 30%.

On note 1₂ la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde, en GW, à la fin de l’année 2015+n.

On a ainsi 1₃ 233

2. a. Calculer 1₀ puis 1_' . Arrondir à 10^/0. 2. b. Exprimer 1₂₄₀ en fonction de 1₂.

2. c. En déduire la nature de la suite 1₂ et donner ses éléments caractéristiques.

2. d. Exprimer 1₂ en fonction de 5.

3.a. Déterminer le sens de variation de la suite 1₂

3.b. En quelle année la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dépassera-t-elle le triple de celle de 2015 ?

4. a. Calculer la puissance solaire photovoltaïque, en GW, installée dans le monde fin 2025 (arrondir à l’unité).

4. b. Quel est le pourcentage global d’augmentation de cette puissance solaire mondiale entre 2015 et 2025 (arrondir à l’unité) ?

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 03/11/2016 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01 près de :

6 1 + 0,8 + 0,8^'+ 0,8^&+ ⋯ + 0,8^'3

Partie A : 13,5 points - Partie B : 4,5 points

À l’Île de La Réunion, la variété d’ananas la plus cultivée est l’ananas Victoria.

L’exportation de cette variété d’ananas vers la métropole est en plein essor. Une coopérative réunionnaise se consacre exclusivement à l’exportation d’ananas Victoria vers la métropole. Entre 2012 et 2015, la coopérative a augmenté ses exportations de 10,5% par an.

En 2015, les exportations ont atteint 1 100 tonnes.

Partie A : Dans cette partie, on s’intéresse à une première modélisation.

1. On suppose qu’après 2015, les exportations vont continuer à progresser de 10,5% par an. Ainsi, la situation peut être modélisée par une suite

8₂

où pour tout entier naturel n,

8₂ est une estimation

de la quantité, en tonnes, d’ananas exportés en

2015 + 5

.

On a :

8₃ = 1100

.

a. Déterminer la quantité, arrondie à la tonne, d’ananas que la coopérative peut prévoir d’exporter en 2016.

b. Montrer que la suite

8₂

est géométrique.

c. Exprimer

8₂

en fonction de

5

.

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite

8₂

2. b. Déterminer en quelle année on peut prévoir que la quantité d’ananas exportés par cette coopérative dépassera 2 000 tonnes.

2. c. Compléter (ci-dessous) l’algorithme pour que l’affichage obtenu soit la réponse à la q.2.b.

Variables : U prend la valeur 1 100 N prend la valeur 0 Traitement :

Tant que ….

U prend la valeur …

N prend la valeur … Fin pour

Sortie :

Afficher …

3. Déterminer la limite de la suite

8₂ . Interpréter.

4. Déterminer la quantité totale d’ananas exportée par cette coopérative du 1

^er

janvier 2015 au 31 décembre 2025. On arrondira à la centaine de tonnes.

NOM :

(10)

Partie B : Dans cette partie, on envisage une deuxième modélisation :

1. L’exportation des ananas est modélisée par la suite

9₂

, de premier terme

9₃ 1100

où

9₂ est

une estimation de la quantité, en tonnes, d’ananas exportés en 2015+n.

L’algorithme ci- dessous permet de calculer les termes de la suite

9₂ . Variables : V nombre réel,

N, K entiers

Initialisation :

Saisir N

Traitement : V prend la valeur 1 100

Pour K variant de 1 à N

V prend la valeur 0,7×V +477

Fin pour

Sortie :

Afficher V

1. a. On saisit N = 3.

Compléter le tableau ci-dessous :

:

1 ….

;

1100 …

Quelle valeur, arrondie à l’unité, est affichée par cet algorithme en sortie ?

Interpréter ce résultat en termes d’exportation d’ananas.

1. b. On dispose du tableau de valeurs suivant :

5

5 10 15 20 25 30

9₂

1508 1576 1588 1589 1590 1590

Que peut-on conjecturer sur la limite de la suite

9₂

?

2. Entre la modélisation proposée dans la partie A et celle proposée dans la partie B, laquelle

privilégier ? Pourquoi ?

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 02/12/2016 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

Les parties A et B sont indépendantes l’une de l’autre.

Si besoin, les probabilités seront arrondies au millième.

Le comité d’entreprise d’une société parisienne souhaite organiser un week-end en province.

Une enquête est faite auprès des 1 200 employés de cette entreprise afin de connaître leur choix en matière de moyen de transport (les seuls moyens de transport proposés sont le train, l’avion ou l’autocar).

PARTIE A :

Les résultats de l’enquête auprès des employés de l’entreprise sont répertoriés dans le tableau suivant :

Train Avion Autocar Total

Femme 468 196 56 720

Homme 150 266 64 480

Total 618 462 120 1200

On interroge au hasard un employé de cette entreprise (on suppose que tous les employés ont la même chance d’être interrogés).

On note : F l’évènement : « l’employé est une femme» ; T l’évènement : « l’employé choisit le train ».

1. Calculer les probabilités p(F), p(T)

2. a. Calculer la probabilité de l’évènement < ∩ >

2. b. Les évènements T et F sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

3. L’employé interrogé au hasard est une femme. Calculer la probabilité que cette employée choisisse le train.

PARTIE B :

Après l’étude des résultats de l’enquête, le comité d’entreprise choisit le train comme moyen de transport.

Pour les employés inscrits à ce voyage, deux formules sont proposées : la formule n^o 1 : voyage en 1^e classe plus hôtel pour un coût de 150 €;

la formule n^o 2 : voyage en 2^e classe plus hôtel pour un coût de 100 €.

40 % des employés inscrits choisissent la formule n^o 1.

Le comité d’entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30 €.

Parmi les employés ayant choisi la formule n°1, 80 % choisissent l’excursion facultative.

Parmi les employés ayant choisi la formule n°2, 40 % ne choisissent pas l’excursion facultative.

On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note :

− U l’évènement : « l’employé inscrit choisit la formule n^o 1 » ;

− D l’évènement : « l’employé inscrit choisit la formule n^o 2 » ;

− E l’évènement : « l’employé inscrit choisit l’excursion facultative ».

1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.

2. a. Calculer la probabilité que l’employé interrogé ait choisi la formule n°1 et l’excursion facultative 2. b. Montrer que : ? @ 0,68.

3. On interroge un client ayant choisi l’excursion facultative.

Quelle est la probabilité qu’il ait la choisi la formule n°1 ?

4. Soit C la variable aléatoire désignant le coût total du voyage (excursion comprise).

4. a. Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre C.

4. b. Déterminer la loi de probabilité de C. Aucune justification n’est demandée.

4. c. Calculer l’espérance de cette loi. Interpréter le résultat.

5. On interroge successivement et de façon indépendante six employés pris au hasard dans le groupe.

Soit A la variable aléatoire désignant le nombre d’employés ayant choisi l’excursion facultative.

5. a. Montrer que la variable aléatoire A suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.

5. b. Quelle est la probabilité qu’exactement un des six employés ait choisi l’excursion facultative ? 5. c. Quelle est la probabilité qu’au moins un employé n’ait pas choisi l’excursion facultative ?

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche - TL Rouge 14/12/2016 3 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

Le sujet est composé de quatre exercices.

Chacun traitera l’exercice II qui le concerne :

TES Spécialité maths à traiter sur une feuille séparée OU TES non spécialité/TL

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ( varie donc dans l’intervalle 0 ; 3,6]).

Le bénéfice hebdomadaire est noté $ , il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction $. Partie A : étude graphique

On a représenté, en annexe page 6, la fonction B dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.

2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? Partie B : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d’euros vaut : $ = −5 + 4 − B^C .

1. a. On note B′ la fonction dérivée de la fonction B.

Montrer que pour tout réel x de l’intervalle D = [0 ; 3,6], on a : $⁾ = 3 − B^C. b. Déterminer le signe de la fonction dérivée $′ sur l’intervalle I.

c. Dresser le tableau de variation de la fonction $ sur l’intervalle I.

On indiquera les valeurs de la fonction $ aux bornes de l’intervalle.

2. a. Justifier que l’équation $ = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0 ; 3], notée (.

2. b. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,001 près de (. Placer ( dans le repère.

2. c. Déterminer le tableau de signe de $ .

2. d. A partir de combien de poulies, l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?

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TES SPECIALITE

Lors d’une campagne électorale, un homme

politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe G ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée et les tronçons d’autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d’autoroute par une arête).

Partie A

1. Déterminer, en justifiant, si le graphe G est : a. complet ;

b. connexe.

2. a. Justifier qu’il est possible d’organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d’autoroute.

b. Citer un trajet de ce type.

3. On appelle M la matrice d’adjacence associée au graphe G (les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique).

a. Déterminer la matrice M.

b. On donne la matrice

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H.

Préciser ces chemins.

Partie B

Des contraintes d’organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A. Le graphe G est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d’autoroute.

Déterminer, en utilisant l’algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F.

Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.

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EXERCICE II : (5 points) TES NON SPECIALITE- TL

Un propriétaire d’une salle louant des terrains de squash s’interroge sur le taux d’occupation de ses terrains.

Sachant que la location d’un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).

Dans le cadre de cette répartition, 70% des heures sont creuses.

Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s’apercevoir que :

• lorsque l’heure est creuse, 20% des terrains sont occupés ;

• lorsque l’heure est pleine, 90% des terrains sont occupés.

On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements :

• C : « l’heure est creuse »

• T : « le terrain est occupé »

1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités.

2. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse.

3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé.

4. Montrer que la probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à ^'E

F0. Dans le but d’inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d’un terrain, des tarifs différenciés :

• 10 € pour une heure pleine,

• 6 € pour une heure creuse.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d’un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :

• 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine,

• 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse,

• 0 lorsque le terrain n’est pas occupé.

5. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de X.

6. Déterminer l’espérance de X.

7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine.

Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle.

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Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.

Une réponse juste apporte 1 point.

Une réponse fausse ou une réponse multiple enlève 0,25. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.

Aucune justification n’est demandée.

Partie B

On a tracé la courbe représentative _* d’une fonction définie sur _G ,

et ses tangentes au point . d’abscisse 2, au point $ d’abscisse 2 et au point E d’abscisse 6.

1. a. est convexe sur l’intervalle 6 ; 2 . b. est concave sur l’intervalle 2 ; 2

c. est convexe sur l’intervalle ∞; 2 d. _*est au -dessus de sa tangente au point d’abscisse 2.

2. a. ⁾ 6 ^I,0_J b. ′ 2 5,4 c. ′′ 6 0 d. ′′ 2 0

3. a. ′ 0 pour tout x de l’intervalle ∞ ; 2 . b. ′ est décroissante sur l’intervalle 2 ; 2 . c. 0 si et seulement si 2 d. ⁾⁾ K 0 pour tout x de l’intervalle 2 ; 2 . 4. L’équation de la tangente à _* en $ est :

a. 2 b. 2 c. 4 d. 4

5. Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction ?

(a) (b) (c) (d)

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EXERCICE IV : (5 points)

Les autorités de santé d’une grande ville s’intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d’asthme.

En 2011, on a recensé environ 850 nouveaux cas.

À partir de 2011, le nombre de nouveaux cas déclarés augmente environ de 2,5% par an.

On désire modéliser la situation par une suite 8₂ de premier terme 8₃ 850 Ainsi, 8₂ modélise le nombre de nouveaux cas en 2011 + 5 .

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

1. Calculer le nombre de nouveaux cas en 2012 et en 2013.

2. a. Justifier que 8₂ est une suite géométrique dont on donnera la raison.

2. b. Exprimer 8₂ en fonction de 5.

2. c. En déduire le nombre de nouveaux cas en 2020.

2. d. Déterminer le sens de variation de la suite 8₂ .

3. Déterminer à partir de quelle année on dépassera les 1 400 nouveaux cas.

4. On propose l’algorithme suivant :

Variables : U, S, N

Initialisation : Affecter à U la valeur 850 Affecter à S la valeur U Affecter à N la valeur 0 Traitement : Tant que S < 6000

Affecter à U la valeur U ×1,025 Affecter à S la valeur S + U Affecter à N la valeur N +1 Fin tant que

Sortie : Afficher N

4. a. Que représente S dans cet algorithme ?

4. b. Déterminer la valeur finale obtenue pour N avec cet algorithme.

4. c. Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d’alerte est atteint pour 6 000 nouveaux cas déclarés depuis 2011.

En supposant que le nombre de nouveaux cas évolue de la même manière, déterminer l’année à partir de laquelle cela se produira.

5.a. On considère la somme des termes consécutifs : 6₂ = 8₃+ 8₀+ 8_'+ ⋯ + 8₂

Montrer que : 6₂ = 34000 × 1,025²⁴⁰− 1

5. b. En déduire les valeurs des sommes 6_I et 6_J arrondies à l’entier.

5. c. Comparer avec le résultat obtenu à la question 4. c.

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Annexe exercice I

(à rendre) ^{NOM :}

(18)

BAC BLANC MATHEMATIQUES TERMINALE ES - L 10/01/2017 3 HEURES Une seule calculatrice autorisée - Le prêt est interdit

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le sujet est composé de

4 exercices

et comporte 5 pages.

Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité.

Exercices I – III – IV communs à tous les candidats

Exercice II : TES spécialité Maths ou

TES non spécialité Maths et TL spécialité Maths

EXERCICE I : (6 points) POUR TOUS d’après Antilles Juin 2013

Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes, et d’ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie.

Le responsable constate que 28% des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48% pour un ordinateur portable.

Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu’il peut souscrire ou non une extension de garantie.

Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5% ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 12,5% ont souscrit une extension de garantie.

On choisit au hasard un de ces acheteurs.

On note : > l’événement « l’acheteur a choisi une tablette » ;

M l’événement « l’acheteur a choisi un ordinateur portable » ; < l’événement « l’acheteur a choisi un ordinateur fixe » ;

N l’événement « l’acheteur a souscrit une extension de garantie ».

1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l’énoncé.

2. Calculer ? < la probabilité de l’évènement <, puis ? < ∩ N .

3. On sait de plus que 12% des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie.

Déterminer la probabilité qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie.

4. Montrer que P(G) = 0,164.

5. On interroge 8 clients choisis au hasard, et on admet que leurs réponses sont indépendantes.

On appelle A la variable aléatoire qui désigne le nombre de clients (parmi les 8) qui ont souscrit la garantie.

5. a. Justifier que la variable aléatoire A suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

5. b. Calculer l’espérance mathématique @ A et interpréter la valeur obtenue.

5. c. Quelle est la probabilité, à 0,001 près, qu’au moins une personne ait choisi l’extension de garantie ? 5. d. Le responsable du magasin estime qu’il est impossible que les huit personnes aient choisi l’extension de garantie. Qu’en pensez-vous ? Justifier par un calcul de probabilité.

(19)

TES spécialité Maths

Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre-service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. La ville compte sept stations de location nommées A, B, C, D, E, F et G.

Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-dessous.

1. Philippe cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n’empruntant que des pistes cyclables.

a) A-t-il la possibilité d’effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables ? Justifier la réponse.

b) A la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.

2. On appelle M la matrice associée à ce graphe. On donne deux matrices N et T :

4 9 8 5 5 9 2

9 6 10 7 10 6 4

8 10 8 5 10 9 4

5 7 5 2 8 4 5

5 10 10 8 6 11 2

9 6 9 4 11 4 6

2 4 4 5 2 6 0

N

 

 

= 

 

 

et

4 9 8 4 5 9 1

9 6 10 6 10 6 4

8 10 8 4 10 9 4

5 7 5 2 8 4 5

5 8 10 8 6 11 0

9 6 9 4 11 4 6

1 4 4 5 0 6 0

T

 

 

= 

 

 

a) Une des deux matrices N ou T est la matriceM^&. Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M ³ en justifiant la réponse.

b) Philippe a loué une bicyclette à la station F et l’a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.

3. Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A.

A l’aide d’un algorithme, déterminer un tel parcours et donner alors le temps nécessaire pour l’effectuer.

11

7 14

10

13 8

18

16

5

18 9

5 A

B

C

D E

G F

(20)

TES non spécialité Maths et TL spécialité Maths

1. Une entreprise a fabriqué 30 000 objets d’un modèle α en 2015. Elle réduit progressivement cette production de 1 500 pièces par an jusqu’à ce que la production devienne nulle. On note 8₃ la production du modèle α pour l’année 2015 et 8₂ la production du modèle α pour l’année (2015 + n).

1. a. Calculer 8₀ et 8_'.

1. b. Exprimer 8₂₄₀ en fonction de 8₂. Quelle est la nature de la suite 8₂ ? 1. c. Exprimer 8₂ en fonction de 5.

1. d. On admettra que pour une suite arithmétique, la somme des termes consécutifs est donnée par : 6 = 8₃+ 8₀+ 8_'+ ⋯ + 8₂ = 5 + 1

2 8₃+ 8₂

Déterminer le nombre total d’objets de modèle α qui auront été produits du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2023.

2. Dès 2015, cette entreprise lance un nouveau modèle β. 11 000 objets du modèle β ont été produits en 2015. La production du modèle β augmente de 4 % chaque année. On note 9₃la production du modèle β pour l’année 2015 et 9₂ la production du modèle β pour l’année (2015 + n). Les résultats numériques seront arrondis à l’unité près.

2. a. Vérifier que 9₀ = 11440 et calculer 9_'

2. b. Exprimer 9₂₄₀ en fonction de 9₂ . Quelle est la nature de la suite 9₂ ? 2. c. Exprimer 9₂ en fonction de 5 .

2. d. Calculer la production de l’année 2023.

2. e. Déterminer le nombre total d’objets de modèle β qui auront été produits du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2023.

3. a. On veut produire une feuille de calcul EXCEL.

Quelles formules doit-on écrire dans les cellules B3 et C3 ?

3. b. En utilisant au mieux l’extrait de feuille de calcul EXCEL ci-dessus, préciser à partir de quelle année, l’entreprise fabriquera davantage d’objets de modèle O que de modèle (

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A B C

n u_n v_n

0 30000 11000

1 2 3 4 5 6

7 19500 14475

8 18000 15054

9 16500 15656

10 15000 16282

11 13500 16934

12 12000 17611

(21)

EXERCICE III : (4 points) POUR TOUS

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Recopier pour chaque question le numéro de la question et la réponse exacte, on ne demande pas de justification.

1. On considère l’algorithme ci-dessous :

Variables : n est un nombre entier naturel U est un nombre réel

Traitement : Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 50 Tant que U < 120 faire

U prend la valeur 1,2×U n prend la valeur n +1 Fin Tant que

Sortie : Afficher n

En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :

a. 4 b. 124,416 c. 5 d. 96

2. Une augmentation de 20% suivie d’une augmentation de 15% est équivalente à une augmentation globale de :

a. 17,5% b. 30% c. 35% d. 38%

3. La fonction f définie sur R par ^& 6 ² est convexe sur l’intervalle : a. ∞; ∞ b. 2 ; ∞ c. ∞; 2 d. 6 ; ∞

4. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [1 ; 7].

La droite T est tangente à la courbe C au point . 3 ; 3 et passe par le point de coordonnées 5 ; 0 . On note ′ la fonction dérivée de la fonction

a. ′ 3 3 b. ⁾ 3 ^&_' c. ⁾ 3 ^Q_R d. ⁾ 3 ^/&_'

(22)

EXERCICE IV : (5 points) POUR TOUS Amérique du sud novembre 2014 On considère la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par

= 3 − 4 B^/C+ 2

1. On désigne par ′ la dérivée de la fonction .

Montrer que l’on a, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 4], ′ = 7 − 3 B^/C

2. Étudier les variations de sur l’intervalle [0 ; 4] , puis dresser le tableau de variations de sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.

3. a. Montrer que l’équation = 0 admet une unique solution ( sur l’intervalle [0 ; 4].

b. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de ( à 0,01 près.

4. On admet que la dérivée seconde de la fonction est la fonction ′′ définie sur l’intervalle [0 ; 4] par ′′ = 3 − 10 B^/C

a. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction est convexe.

b. Montrer que la courbe représentative de la fonction possède un point d’inflexion dont on précisera l’abscisse.

(23)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue 27/01/2017 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

D’après Amérique du Sud Novembre 2016 Le gérant d’un hôtel situé dans la ville de Lyon étudie la fréquentation de son établissement afin de prévoir au mieux son budget pour les années futures.

Le 5 décembre 1998, le site historique de Lyon a été inscrit au patrimoine mondial de l’UNESCO et l’hôtel a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l’indique le tableau ci-dessous :

Année 1997 1998 1999 2000

Nombre de clients 950 1105 2103 2470

1. Déterminer le pourcentage d’augmentation du nombre de clients entre 1997 et 2000.

Par ailleurs, depuis le 1er janvier 2000, une étude statistique a permis de mettre en évidence que, chaque année, l’hôtel compte 1 200 nouveaux clients et que 70% des clients de l’année précédente reviennent.

On modélise cette situation par une suite 8₂ où 8₂ représente le nombre total de clients de l’hôtel durant l’année 2000 + 5.

On a ainsi 8₃ = 2470 et, pour tout entier naturel n, on a 8₂₄₀ = 0,78₂+ 1200 2. Déterminer le nombre total de clients durant l’année 2001.

3. Le gérant de l’hôtel souhaite déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3 900.

Indiquer, en justifiant (brièvement), lequel des algorithmes suivants donne l’année correspondante.

Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3

U prend la valeur 2 470 N prend la valeur 0 Tant que U ≤ 3900

U prend la valeur 0,7×U +1200 N prend la valeur N +1

Fin tant que Afficher 2000 + N

U prend la valeur 2 470 N prend la valeur 0 Tant que U > 3900

Fin tant que Afficher 2000 + N

U prend la valeur 2 470 N prend la valeur 0 Tant que U ≤ 3900

Fin tant que Afficher U

4. On considère la suite 9₂ définie pour tout entier naturel n par 9₂ = 8₂ − 4000.

a. Montrer que la suite 9₂ est une suite géométrique de raison = 0,7 et préciser le premier terme.

b. Exprimer 9₂ en fonction de 5, pour tout entier naturel n.

c. Justifier que 8₂ = 4000 − 1530 × 0,7² pour tout entier naturel n.

5. a. Montrer que pour tout 5 de , on a : 8₂₄₀− 8₂ = 459 × 0,7². En déduire le sens de variation de la suite 8₂ .

5. b. Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé 3 900.

6. A l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre total de visiteurs du 1^er janvier 2000 au 31 décembre 2016. On donnera une valeur arrondie à la centaine.

7. À long terme, déterminer le nombre de clients que le gérant de l’hôtel peut espérer avoir chaque année.

(24)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 21/03/2017 3 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

Le sujet est composé de quatre exercices.

Chacun traitera l’exercice II qui le concerne :

TES Spécialité maths à traiter sur une feuille séparée OU TES non spécialité/TL

EXERCICE I : (5 points) POUR TOUS national Septembre 2016

Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1 500 arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5% des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés.

On modélise le nombre d’arbres de cette forêt par une suite 8₂ où, pour tout entier naturel n, 8₂ est le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année 2015 + 5 .

Ainsi 8₃ = 1500. PARTIE A

1. Calculer 8₀ et 8_'

2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : 8₂₄₀ = 0,95 × 8₂+ 50

3. On considère la suite 9₂ définie pour tout entier naturel n, par 9₂ = 8₂− 1000. 3. a. Montrer que la suite 9₂ est géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

3. b. Montrer que pour tout entier naturel n, 8₂ = 1000 + 500 × 0,95²

3. c. En déduire le nombre d’arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030.

4. Montrer que pour tout 5 de ℕ : 8₂₄₀− 8₂ = −25 × 0, 95² En déduire le sens de variation de la suite 8₂ .

PARTIE B

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3%.

Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé ?

(25)

EXERCICE II : (5 points) SPECIALITE Les parties A et B sont indépendantes

Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi, l’entreprise qui comptait 200 agences au 1êr janvier 2010 est passée à 300 agences au 1êr janvier 2012 puis à 500 agences au 1êr janvier 2014.

On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction déﬁnie sur [0; ∞[ par :

= ^' + + + où , BT + sont trois nombres réels.

La variable désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et exprime le nombre d’agences en centaines.

la valeur 0 de correspond donc à l’année 2010. Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction .

PARTIE A

On cherche à déterminer la valeur des coefficients , BT +.

1. a) À partir des données de l’énoncé, écrire un système d’équations traduisant cette situation.

1. b) En déduire que le système précédent est équivalent à : MA = # avec M = U0 0 1

4 2 1

16 4 1V et A = W

+X BT # une matrice colonne que l’on précisera.

2. On admet que M^/0= U0,125 −0,25 0,125

−0,75 1 −0,25

1 0 0 V.

À l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients , BT +, en détaillant les calculs.

3. Suivant ce modèle, déterminer le nombre d’agences que l’entreprise possédera au 1^er janvier 2016.

PARTIE B

Le responsable d’une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu’il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

1. a) Déterminer si le graphe est connexe.

b) Déterminer si le graphe est complet.

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

2. Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants : a) Le point d’arrivée est le même que le point de départ.

b) Le point d’arrivée n’est pas le même que le point de départ.

(26)

EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE d’après Nouvelle Calédonie mars 2009

Un club de natation propose à ses adhérents trois types d’activité : la compétition, le loisir ou l’aquagym.

Chaque adhérent ne peut pratiquer qu’une seule des trois activités.

30 % des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20 % des adhérents au club pratiquent l’aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.

Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20 % des adhérents de la section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30 % des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.

On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants : A « La personne interrogée pratique l’aquagym»,

C « La personne interrogée pratique la natation en compétition », L « La personne interrogée pratique la natation en loisir »,

# « La personne interrogée participe à la rencontre » et #Y son évènenement contraire.

1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu’elle participe à la rencontre.

2. b. Le président du club déplore que plus de la moitié des adhérents ne participent pas à la rencontre. Justifier son affirmation par un calcul.

3. On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu’elle soit dans la section compétition. Donner une valeur approchée du résultat arrondie à 10^/' près.

4. Les tarifs du club pour l’année sont les suivants : l’adhésion à la section compétition est de 100€ et l’adhésion à la section loisir ou à l’aquagym est de 60€.

De plus, une somme de 15€ est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.

On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre).

a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S :

6_Z 60 75 100 115

?_Z 0,11 0,35

b. Calculer l’espérance mathématique de S et interpréter ce nombre.

5. On interroge 10 adhérents de ce club et on suppose que leurs réponses sont indépendantes.

Soit A la variable aléatoire désignant le nombre d’adhérents dans ce groupe de 10 qui ont payé 115€.

5. a. Montrer que la variable aléatoire A suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.

5. b. Calculer la valeur arrondie à 10^/'près de la probabilité qu’au moins 1 adhérent ait payé 115€.

(27)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère [ la fonction définie sur G par : [ 5B^C 3.

La tangente à la courbe représentative de [ au point d’abscisse 0 passe par le point : a. . 1 ; 5B 3 b. $ 1 ; 5 c. 1 ; 13 d. \ 0 ; 3 2. On considère le nombre D ] 2B₃⁰ ^'C 3 ^

a. D B² 3 b. D B² 2 c. D 2B² 3 d. D 2B² 2

3. La courbe _* ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6].

On pose :

D _ ^

F

'

Un encadrement de I est :

a. 0 D 2 b. 2 D 4 c. ` D 6 d. a D 8

4. Soit [ la fonction définie sur G par : [ 2B^C 3 ^' .

La courbe représentative de [ admet un point d’inflexion qui a pour abscisse : a. 1 b. 0 c. ln3 d. ln2

(28)

EXERCICE IV : (6 points) POUR TOUS d’après Nouvelle Calédonie novembre 2016 Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

La fonction f est définie sur l’intervalle 0,5 ; 10 par :

2 b5

où a et b sont deux nombres réels.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

— la courbe représentative Γ de la fonction ;

— la droite ^ tangente à la courbe Γ au point A de coordonnées 1 ; 1 ;

— la droite ^′ tangente à la courbe Γ au point B d’abscisse 3.

On sait de plus que : la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (0 ; −1).

la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

Partie A

1. Donner par lecture graphique la valeur de ′ 1 , puis celle de ′ 3 . 2. Calculer ′ .

3. En déduire les valeurs des nombres et . Partie B

On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle 0,5 ; 10 par : 2 3 ln

1. Montrer que pour x dans 0,5 ; 10 , ⁾ 3

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point A d’abscisse 1.

3. Étudier le signe de ′ sur l’intervalle 0,5 ; 10 , puis dresser le tableau de variations de sur cet intervalle.

4. Montrer que sur l’intervalle 0,5 ; 3 l’équation 0 admet une unique solution (. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième.

5. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

1 f5Té[hBh 3 ln 2

3 b5 2^'

5. a. Vérifier par un calcul approprié l’information donnée par le logiciel.

5. b. Calculer, en unités d’aire, l’aire S du domaine délimité par la courbe Γ, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 8.

On donnera la valeur exacte de S puis sa valeur arrondie au centième.

Partie C

Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de est située en dessous des deux tangentes aux points A et B. Il affirme : « La courbe représentative de sur l’intervalle 0,5 ; 10 est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. »

Démontrer que l’affirmation de Tom est exacte.

(29)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 02/05/2017 3 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (5 points) Liban 2016

Les parties A et B sont indépendantes Partie A

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60% de collégiens et 40% de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70% en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s’intéresse aux évènements suivants : C : « le jeune choisi est un collégien » ;

L : « le jeune choisi est un lycéen » ;

T : « le jeune choisi possède un téléphone portable ».

Rappel des notations

Si A et B sont deux évènements, p(A) désigne la probabilité que l’évènement A se réalise et 1_i . désigne la probabilité de A sachant que l’évènement B est réalisé. On note aussi .̅ l’évènement contraire de A.

1. Donner les probabilités : ? , ? k , ? > ,1_l >

2. Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l’énoncé.

3. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.

4. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable.

5. a. Calculer p(T ∩L), en déduire 1_m >

b. Compléter l’arbre construit dans la question 2.

Partie B

En 2012 en France, selon une étude publiée par l’Arcep (Autorité de régulation des communications

électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2 500 par mois. On admet qu’en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance n = 2500 et d’écart-type o = 650 .

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.

1. Calculer la probabilité qu’un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS par mois.

2. Calculer ? A > 4000 .

3. Sachant que ? A ≤ = 0,8, déterminer la valeur de a. On arrondira le résultat à l’unité.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

(30)

SPECIALITE

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d’un même groupe politique dans l’opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe.

Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :

• 10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus.

• 15 % des personnes qui n’étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent.

On note, pour tout entier naturel n :

• ₂ la probabilité qu’une personne interrogée au hasard au bout de 5 mois soit favorable à ce groupe politique.

• ₂ la probabilité qu’une personne interrogée au hasard au bout de 5 mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.

• 1₂ = ₂ ₂ la matrice traduisant l’état probabiliste au bout de 5 mois.

On note M la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel 5 : 1₂₄₀ = 1₂ × M

PREMIERE PARTIE

1. Déterminer la matrice 1₃ donnant l’état probabiliste initial.

2. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.

3. On admet que M = p 0,9 0,1

0,15 0,85q. Déterminer la matrice 1_' en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).

4. Déterminer l’état stable et interpréter ce résultat.

DEUXIEME PARTIE

1. Montrer que : ₂₄₀ = 0,75 ₂+ 0,15 pour tout entier naturel 5.

2. On considère la suite 8₂ telle que 8₂ = ₂− 0,6 pour tout entier naturel 5. a. Démontrer que la suite 8₂ est géométrique de raison 0,75.

b. En déduire que ₂ = 0,6 − 0,1 × 0,75² pour tout entier naturel 5.

c. Calculer la limite de ₂quand 5 tend vers +∞. Comment peut-on interpréter cette limite ? d. En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui obtenu à la question 4. de la première partie ?

(31)

NON SPECIALITE

Nouvelle Calédonie Novembre 2016 Partie A

Soit 8₂ la suite définie par : 8₃ 350 et, pour tout entier naturel n, 8₂₄₀ = 0,58₂ + 100 1. Calculer 8₀ et 8_'.

2. On considère la suite r₂ définie pour tout entier naturel n par : r₂ = 8₂− 200

a. Montrer que la suite r₂ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 8₂ = 200 + 150 × 0,5²

Partie B

Une commune propose aux enfants d’adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d’enfants inscrits dans cette association est 500 dont 350 filles.

Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l’évolution du nombre d’adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante :

• Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellent pas leur inscription;

par ailleurs l’association accueille chaque année 100 nouvelles filles.

• D’une année à l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmente de 10%.

1. On représente l’évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite <₂ où <₂ désigne le nombre de filles adhérentes à l’association en l’année 2015 + 5. On a donc <₃ = 350

Pour tout entier naturel n, exprimer <₂₄₀ en fonction de <₂

2. On représente l’évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite N₂ , où N₂désigne le nombre de garçons adhérents à l’association l’année 2015 + 5.

2. a. Pour tout entier naturel n, exprimer N₂ en fonction de n.

2. b. À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ?

3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles.

On propose l’algorithme suivant :

Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à G la valeur 150 Affecter à F la valeur 350 Traitement : Tant que N ≤ <

n prend la valeur n +1 G prend la valeur 1,1G F prend la valeur 0,5F +100 Fin tant que

Sortie : Afficher le nombre n

3. a. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

Valeur de 5 0 1 …

Valeur de N 150

Valeur de < 350 Condition N ≤ < Vrai

3. b. En déduire l’affichage obtenu, puis répondre au problème posé.

(32)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question posée, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Soit la fonction h définie sur G par s B^&C4'. Une primitive t de h peut être définie sur _G par : a. t 3B^&C4' b. t ⁰_& B^&C4' c. t 3 2 B^&C4' d. t B^&C4' 2. Pour la loi normale représentée ci-contre

On a : 1 9 u A u 12 v 0,82 (à 10^/'près).

Les paramètres de la loi X sont : a. μ = 10 et o = 2

b. μ = 11 et o = 2 c. μ = 10 et o= 1 d. μ = 11 et o = 3

Pour les questions 3 à 8 :

On a représenté dans le repère orthogonal ci- contre la courbe représentative d’une fonction définie et deux fois dérivable sur l’intervalle

5 ; 1 .

La droite T est la tangente à la courbe au point . 3 ; 6 et passe par le point 5 ; 2 . Le point . est l’unique point d’inflexion de la courbe sur 5 ; 1 .

3. On note ⁾ la fonction dérivée de la fonction . Alors :

a. ′ 3 6 b. ′ 3 4 c. ′ 3 1/4 d. ′ 3 1/6 4. On note ⁾⁾ la fonction dérivée seconde de la fonction . Alors :

a. ⁾⁾ 3 6 b. ⁾⁾ 3 4 c. ⁾⁾ 3 0 d. ⁾⁾ 3 1/4 5. La fonction est :

a. convexe sur [−5 ; −3] b. convexe sur [−5 ; −1] c. convexe sur [−3 ; 1] d. concave sur [−5 ; 1]

6. La fonction dérivée ′ est :

a. décroissante sur [−3 ; −1] b. croissante sur [−3 ; −1] c. croissante sur [−1 ; 1] d. croissante sur [−5 ; −1]

7. Toute primitive F de la fonction est :

a. décroissante sur [−5 ; 1] b. croissante sur [−5 ; 1] c. constante sur [−5 ; 1] d. décroissante sur [−1 ; 1]

8. On note D ]_/I^/F ^ . Alors :

a. 2 D 0 b. 5 D 4 c. 0 u D 2 d. 2 u D u 4