1S VERTE 2016-2017 DEVOIRS DE MATHEMATIQUES Corrigés

1S VERTE 2016-2017

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES Corrigés

DV 13/09/2015 page 2 (fonctions) DV 27/09/2016 page 3

DS 19/10/2016 page 5 DV 16/11/2016 page 7 DS 23/11/2016 page 11 DV 02/12/2017

DS 04/01/2017 page 14 DV 12/01/2017 page 17 DV 26/01/2017 page 18 DS 08/02/2017 page 20 DV 07/03/2017 page 28 DS 29/03/2017 page 30 DV 13/04/2016 page 34 DS 10/05/2017 page 36 DV 23/05/2017 page 42

1S Verte 13/09/2016

Ex I : Soient et deux réels de ]2 ; +∞[ tels que < . 2 < <

⟹0 < − 2 < − 2 ( car ⟼ − 2 est strict. croissante sur )

⟹ < ( car ⟼ est strict. décroissante sur ]0; +∞[)

⟹ 3 + ^$ < 3 + ^$ ( car ⟼ 3 + 7 est strict. croissante sur )

⟹ &( ) < &( )

Pour tous < dans ]2 ; +∞[, on a &( ) > &( ), ainsi la fonction & est strictement décroissante sur ]2 ; +∞[.

Ex II : 1° 4 2° : 3+3+4 1° encadrement

a) si −5 ≤ ≤ 0 , alors 0 ≤ ≤ 25 b) si ≤ ≤⁺_$ , alors ^$

+≤ ≤ 2

c) si −4 ≤ ≤ 2 , alors - ≤ .² ≤ 16 d) si −2 ≤ ≤ 2 , alors −8 ≤ ³≤ 8 2° ⋆ ∈ [1 ; 5]

⟹ 1 ≤ ≤ 5

⟹ −8 ≤ − − 3 ≤ −4 ( car ⟼ − − 3 est décroissante sur )

⟹ −₊≤ ₃≤ −₆ ( car ⟼ est décroissante sur ]−∞; 0[ ) Ainsi pour ∈ [1 ; 5], on a : −₊≤ ;( ) ≤ −₆

⋆ ∈ [1 ; 5]

⟹ 1 ≤ ≤ 5

⟹ 1 ≤ ² ≤ 25 ( car ⟼ ² est croissante sur [0 ; +∞[ )

⟹ −21 ≤ − ² + 4 ≤ 3 ( car ⟼ − + 4 est décroissante sur ) Ainsi pour ∈ [1 ; 5], on a : −21 ≤ <( ) ≤ 3

⋆ Modifions l’écriture de =( ) :

=( ) =2 + 1

− 2 =2 − 4 + 5

− 2 =2 − 4

− 2 + 5

− 2 = 2 + 5

− 2 Encadrement : pour ∈ [3 ; 5 ]

3 ≤ ≤ 5

⟹ 1 ≤ − 2 ≤ 3 ( car ⟼ − 2 est croissante sur )

⟹₃≤ ≤ 1 ( car ⟼ est décroissante sur ]0 ; +∞[ )

⟹ 2 + 5 ×₃≤ 2 + ^@ ≤ 2 + 5 × 1( car ⟼ 2 + 5 est croissante sur ) Ainsi pour ∈ [0 ; 3], on a : ₃ ≤ =( ) ≤ 7

Ex III : a) la fonction & est définie sur [1 ; 3] par &( ) =_{A( )}

B est décroissante sur [1 ; 3] , non nulle et strictement positive sur [1 ; 3]

or & =_A , donc la fonction & est croissante sur [1 ; 3]

b) la fonction C est définie sur [−2 ; 1] par C( ) = −4B( )

B est croissante sur [−2 ; 1] et −4 < 0 donc −4B est décroissante sur [−2 ; 1]

D’où C décroissante sur [−2 ; 1]

1SV 27/09/2016 1Heure

EXERCICE I : (7 points) 3.5 1.5 + 2 1° Pour tout de

⋆ 3 + = 4

⟺ 3 + − 4 = 0 Δ = 1 − 4 × 3 × (−4) = 49 > 0

⟺ =−1 − 7

6 GB =−1 + 7 6

⟺ = −4

3 GB = 1

Les solutions de l’équation sont −⁺₃ et 1.

⋆ (3 + 7)( − 5) = 0

⟺ 3 + 7 = 0 GB − 5 = 0

⟺ = −7

3 GB = 5

⟺ = −7

3 GB = √5 GB = −√5

Les solutions de l’équation sont −^$₃ ; −√5IJ √5.

⋆ 1

9 − 4 + 36 = 0 Δ = (−4) − 4 ×1

9 × 36 = 0

⟺ = 4

2 × 19

⟺ = 18

La solution de l’équation est 18.

2° Factoriser ;( ) = 5 ² − 6 + 1 Δ = (−6) − 4 × 5 × 1 = 16 > 0

;( ) a deux racines

=6 − √16 2 × 5 =1

5 IJ =6 + √16 10 = 1 D’où ;( ) = 5 K −_@L ( − 1)

3° a) <( ) = − − + 2

Δ = (−1) − 4 × (−1) × 2 = 9 > 0

<( ) a deux racines

= ⋯ = 1 IJ = ⋯ = −2

−∞ −2 1 +∞

<( ) − 0 + 0 − N = −1 < 0 3° b) D’après le tableau de signe établi en 3°a)

L’inéquation <( ) ≤ 0 a pour ensemble de solution O =] − ∞; −2] ∪ [1; +∞[

3° c) L’inéquation <( ) > 0 a pour ensemble de solution O =] − 2 ; 1[

EXERCICE II : (3 points) 1+2

N) | 5| * 10 ⟺ | 5 * 0,01 ⟺ 4,99 * * 5,01

R S| 4| 3

| | 2 ⟺ ST ; 4 3

T ; 0 2 ⟺ U 1 7

2 2 O > 1 ; 2

EXERCICE III : ( 4 points) 1.5+2.5 1° Pour ∈ 4 ; ∞ ,

& > 7

4 > 4 3

4 > 4

4 3

4 > 1 3 4 2° Montrer que la fonction & est majorée sur 4 ; ∞ Pour tout ∈ 4 ; ∞ ,

⟹( 4 4 ( 0

⟹ 3

4 ( 0 VèCXI TIY YZC[IY

⟹ 3

4 0

⟹ 1 3

⟹ & 14 1

Pour tout ∈ 4 ; ∞ , on a & 1 ; ainsi la fonction & est majorée sur 4; ∞ EXERCICE IV : (6 points) 2+3+1

On considère la fonction & définie sur 2 ; 2 par & > ³ 3 2 Un logiciel de calcul formel donne les informations suivantes :

& est strictement croissante sur 2 ; 1 , strictement décroissante sur 1 ; 1 et strictement croissante sur 1 ; 2 .

1° Dresser le tableau de variations.

2 1 0 1 3

2 2 Variations de

&

4 4 2 0,875

0 0

2° d’après le tableau de variations complété avec les valeurs nécessaires : & 0 > 2 ; & K³L >^$₆ > 0,875 a) pour ∈ 1 ; 1 & ∈ 0 ; 4

b) pour ∈ 0 ; 2 & ∈ 0 ; 4 c) pour ∈\ 2 ;³] & ∈ 0 ; 4 3° Dresser le tableau de signe de &

2 1 2

& 0 + 0 +

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S Jaune -Verte 19/10/2016 3Heures

EXERCICE I : (6 points) 1° : 1+1 2° :1+1+1+1 1) Soit la fonction f définie sur ^ par &( ) = |2 3|

a) Voici, ci-contre, le tableau de signe de l’expression 2 3 : On en déduit que _& > 2 3 YZ *³

& > 2 3 YZ `³

b) Sur ] ∞;³], la fonction est définie par & > 2 3 qui est décroissante car 2 0, et sur \³ ; ∞\, la fonction est définie par & > 2 3 qui est croissante car 2 ( 0. On a donc le tableau de variation suivant :

2) Résoudre les équations et inéquations suivantes par la méthode de votre choix :

| | > 5 ⟺ > 5 GB > 5 donc O > a 5 ; 5b

|2 3| > | 6| ⟺ 2 3 > 6 GB 2 3 > 6 |N| > |R| ⟺ N > R GB N > R ⟺ > 9 GB 3 > 3

⟺ > 9 GB > 1 donc O > a 1 ; 9b |2 | * 5

⟺ 5 * 2 * 5

⟺ ^@* *^@

Donc O > \ ^@;^@] | 3| * 0,01

⟺ 2,99 * * 3,01 Donc O > 2,99 ; 3,01 EXERCICE II : (4 points)

Soit m un réel. On considère l’équation : 2c 3 c > 0

C’est une équation polynomiale de degré 2 avec N > 1 R > 2c 3 d > c² On a donc e_f > R 4Nd

> g 2c 3 h 4 ? 1 ? c

> 2c 3 4c

> 4c 12c 9 4c

> 12c 9

Voici le tableau de signe de l’expression 12c 9 :

1^er cas : c ∈ ]−∞ ; −³₊\ donc 12c + 9 < 0 donc l’équation − (2c + 3) + c = 0 n’a aucune solution

2^ème cas : c = −³₊, donc 12c + 9 = 0 donc l’équation a une seule solution une solution

3^ème cas : c ∈ ]−³₊; +∞\, donc 12c + 9 > 0 donc l’équation − (2c + 3) + c = 0 a deux solutions.

EXERCICE III : (5 points) 1° : 2 2° : 3

1) On sait qu’une parabole i d’ équation j = N + R + d passe par les points : ;(0 ; 3), <(1 ; 5) et =(2 ; 15), on a donc le système suivant :

_;(0; 3) ∈ i

<(1; 5) ∈ i

=(2; 15) ∈ i⟺ k3 = N × 0 + R × 0 + d 5 = N × 1 + R × 1 + d

15 = N × 2 + R × 2 + d⟺ k 3 = d 5 = N + R + d 15 = 4N + 2R + d

2° Résolvons le système obtenu.

Pour N, R, d réels on a :

k d = 3

5 = N + R + d

15 = 4N + 2R + d ⟺ k d = 3 2 = N + R

12 = 4N + 2R⟺ k d = 3 N = 2 − R

12 = 4(2 − R) + 2R⟺ k d = 3 N = 2 − R

4 = −2R ⟺ k d = 3 N = 4 R = −2 Ainsi l’équation de la parabole est : j = 4 − 2 + 3.

☺ Il est conseillé de vérifier que les coordonnées des points ;, <, = vérifient cette équation.

EXERCICE IV : (10 points) 2.5 +3.5 +4

Résoudre dans les équations et inéquations suivantes : a) Pour tout de ,

on pose l = ² et m(l) = 2l² + 4l − 30 factorisons m(l) :

Δ = 4² − 4 × 2 × (−30) = 256 > 0

m(l) a deux racines : l = ^{+ √ @n}₊ = −5 IJ l = ^{+o√ @n}₊ = 3 m(l) = 2(l + 5)(l − 3)

D’où

2 ⁺ + 4 − 30 = 0

⟺ 2( + 5)( − 3) = 0

⟺ + 5 = 0 GB − 3 = 0

⟺ = 3 (l’équation ² = −5 n’a pas de solution dans )

⟺ = −√3 ou = √3

Ainsi, les solutions de l’équation sont −√p et √p b) Pour tout de

4 ³ + 2 − 6 > 0

⟺ 2 (2 + − 3) > 0

Posons q( ) = 2 ² + − 3 : Δ = 1² − 4 × 2 × (−3) = 25 > 0 q( ) a deux racines : = ₊ ^@= −³ = ₊^o@= 1

On en déduit le tableau de signes :

−∞ −³ 0 1 +∞

22 ² + − 3 − − 0 + +

+ 0 − − 0 + N = 2 > 0 4 ³ + 2 ² − 6 − 0 + 0 − 0 +

Ainsi r =] −^p_s ; -[∪ ]t; +∞ [ c) Pour tout de _{−{−s ; u}} 2 − 5 + 2 ≤ − 10 4 − ⟺(2 − 5)(4 − ) ( + 2)(4 − ) −( − 10)( + 2) (4 − )( + 2) ≤ 0 ⟺−2 + 13 − 20 − ( − 8 − 20) ( + 2)(4 − ) ≤ 0 ⟺ −3 + 21 ( + 2)(4 − ) ≤ 0 ⟺ (−3 + 21) ( + 2)(4 − ) ≤ 0 On dresse le tableau de signes : −∞ −2 0 4 7 +∞

−3 + 21 4 −+ 2 − 0 + + +

+ + + + 0 −

− 0 + + + +

+ + + 0 − −

(−3 + 21) ( + 2)(4 − ) + − 0 + − 0 +

Ainsi r = ]−s; -] ∪]u ; v] EXERCICE V : (11 points) 1° : 2 2° : 5 3° : 3 4° : 1 On considère deux fonctions & et C définies sur par : &( ) = − + 4 − 3 et C( ) = 2 ² − 7 + 5 1° La courbe représentative de la fonction & est donnée en annexe. Par lecture graphique, a) Tableau de variation de la fonction &, −∞ 2 +∞

&( ) 1

b) Tableau de signe. −∞ 1 3 +∞

&( ) 0 + 0 −

2° a) Déterminer les variations de la fonction w . C( ) = 2 ² − 7 + 5

N = 2 > 0 la parabole =_x est tournée vers le haut y =−R

2N =7

4 C z7

4{ = −9

8 = −1,125

La fonction C est strictement décroissante sur ]−∞;^$₊] et strictement croissante sur \^$₊; +∞\

Dresser son tableau de variation.

−∞ ^$

+ +∞

Variations de C

−1,125 b) Résoudre w(.) = -

Pour ∈ C( ) = 0

⟺ 2 − 7 + 5 = 0 Δ = (−7) − 4 × 2 × 5 = 9 > 0

⟺ =7 − 3

4 GB =7 + 3 4

⟺ = 1 GB =5 2

Les solutions de l’équation C( ) = 0 sont : 1 et ^@ c) Dresser le tableau de signe de C( )

C( ) est un polynôme de degré 2 dont les racines sont 1 et ^@ , le coefficient de ² est 2.

−∞ 1 ^@ +∞

C( ) + 0 − 0 +

d) Tracer la courbe représentative =_x dans le repère donné en annexe.

3° Etudier la position relative des courbes =_| et =_x. Pour tout de

&( ) − C( )

= (− + 4 − 3) − (2 − 7 + 5)

= −3 + 11 − 8

Δ = 11² − 4 × (−3) × (−8) = 25 > 0

Le polynôme −3 + 11 − 8 a deux racines = _n^@= ⁶₃ IJ = _n^o@= 1

−∞ 1 ⁶

3 +∞

&( ) − C( ) 0 + 0 − N = −3 < 0

La courbe =_| est en dessous de la courbe =_x sur ] −∞ ; 1 ∪ ]⁶₃; ∞\

La courbe =_| est au-dessus de la courbe =_x sur ]1 ;⁶₃\ Les courbes ont deux points communs d’abscisses 1 et ⁶

3

4° En utilisant au mieux les questions précédentes, résoudre : S& ` 0

C ` 0

∞ 1 ^@ 3 ∞ C + 0 0 + +

& 0 + + 0

L’ensemble de solutions du système est \^@; 3] ∪ a1b

C’est l’ensemble des réels pour lesquels les fonctions sont simultanément positives ou nulles

EXERCICE VI : (4 points) mise en équation : 2 résolution : 1 conclusion :1

Calcul de l’aire des deux espaces plantés en fleurs :

;} +~= × =•

2

> 4

2

> 1

2 16 8

> 3

2 4 8

L’aire totale est ;<² > 4² > 16 c²

L’aire fleurie doit être égale à l’aire engazonnée, par conséquent l’aire fleurie doit être égale à la moitié de l’aire totale.

On cherche tel que : ³ 4 8 > ⁿ

⟺ ³ 4 > 0

⟺ ³ 4 > 0

⟺ > 0 ou ³ 4 > 0

⟺ > 0 ou >⁶₃.

Si > 0, il n’y a qu’un seul espace planté en fleurs, or il en faut deux.

Donc la solution est ⁶

3 c en valeur exacte, soit environ 2,67 cèJVIY à 1 cm près.

1SV 15/11/2016 30mn

EXERCICE I : (8 points) 1° 5 2° : 1+1+1

1° Lecture graphique : Pour chacune des droites ci-dessous, déterminer si possible un vecteur directeur à coordonnées entières, l’équation (réduite), le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine. Aucune justification n’est demandée.

Droites Vecteur directeur

Equation réduite Coefficient directeur Ordonnée à l’origine

•_t B‚ƒ K2

3L j >3

2 1 c >3

2 „ > 1

•_s

B‚ƒ K01L > 2 Une droite « verticale » n’a ni coefficient directeur, ni ordonnée à l’origine

•_p B‚ƒ K 41L j > 1

4 2 c > 1

4 „ > 2

•_u B‚ƒ K10L j > 2 c > 0 „ > 2

2° Dans ce même repère,

Tracer la droite T_@ d’équation j >

Ordonnée à l’origine : 0 coefficient directeur : 1

Tracer la droite T_n passant par ; 4 ; 2 et de coefficient directeur

3. Calculer l’ordonnée à l’origine de T_n. T: j >₃ „ ; 4 ; 2 ∈ T ⟺ j_… > _{3 …} „ ⟺ 2 >₃? 4 „ ⟺ „ > ₃⁺

Ainsi l’ordonnée à l’origine de la droite T est : ⁺

3

EXERCICE II : (12 points) 1° 2.5 2° 1.5+2+2 3° 1.5+2.5 Dans un repère orthonormé, on donne ; 2 ; 3 < 8; 1 1° Déterminer une équation cartésienne de la droite ;<

† ; j ∈ ;<

⟺ ;†‚‚‚‚‚‚ƒ z 2

j 3{ IJ ;<‚‚‚‚‚ƒ K104 L sont colinéaires

⟺ 4 2 10 j 3 > 0

⟺ 4 10j 22 > 0

⟺ 2 5j 11 > 0

Ainsi, une équation cartésienne de la droite ;< est : 2 5j 11 > 0. 2° On considère la droite Δ d’équation : 2 5j 1 > 0.

a) Δ passe par } 2; 1 et a pour vecteur directeur B‚ƒ K 52 L

b) Point d’intersection de Δ avec l’axe des abscisses d’équation j > 0 2 5 ? 0 1 > 0 ⟺ 2 > 1 ⟺ > 1

2 La droite Δ coupe l’axe des abscisses en = K ; 0L c) ;<‚‚‚‚‚ƒ K104 L est vecteur directeur de ;<

B‚ƒ K 52 L est vecteur directeur de Δ

On observe que ;<‚‚‚‚‚ƒ > 2 B‚ƒ donc les droites ;< et Δ ont des vecteurs directeurs colinéaires, ainsi les droites sont parallèles.

… 5j_… 1 > 4 15 1 > 18 ‡ 0 ⟹ ; ∉ Δ ; les droites sont strictement parallèles.

3° Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites Δ et T.

† ; j ∈Δ ∩ T ⟺ S 2 5j 1 > 0

2 j 3 > 0 ⟺ S 2 5 2 3 1 > 0

j > 2 3 ⟺ S 12 > 16 j > 2 3 ⟺ Š

> 4 3 j > 1

3 Ainsi le point d’intersection des droites Δ et T est • K ⁺₃; ₃L

☺ Position relative de deux droites : sont- elles parallèles ou sécantes ?

DS 1SV 04/01/2017 4Heures EXERCICE I : (16 points)

A : M1 : 1.5 M2 : 2.5 M3 : 5.5 B : a-b-c : 4 d-e-f : 2.5

A On considère la fonction C définie sur par C( ) = − ³ + 6 + 15 + 8. 1^ère méthode :

Par lecture graphique, on observe la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses

−∞ −1 8 +∞

C( ) + 0 + 0 − 2^ème méthode

a)Pour tout de , on a : ( + 1) (− + 8)

= ( + 2 + 1)(− + 8)

= − ³+ 8 − 2 + 16 − + 8

= − ³+ 6 + 15 + 8

Ainsi, pour tout de , on a : C( ) = ( + 1) (− + 8) b) Signe de C( ) sur

−∞ −1 8 +∞

( + 1)²

− + 8 + 0 + + + + 0 − C( ) + 0 + 0 −

3^ème méthode : Etude des variations de la fonction w : 2.a. Dérivée

C est une fonction polynôme, donc C est dérivable sur son ensemble de définition . Pour tout de , on a : C^‹( ) = −3 + 12 + 15

2.b. Signe de w’(.) C^‹( ) est un polynôme de degré 2, Δ = 12² − 4 × (−3) × 15 = 324 = 18² > 0

Le polynôme a deux racines = _n ⁶= 5 IJ = ^{o 6}_n = −1

−∞ −1 5 +∞

C′( ) − 0 + 0 − N = −3 < 0 2.c. Tableau de variation de la fonction w

−∞ −1 5 8 +∞

C′( ) − 0 + 0 − C( ) 108

0 0

2.d. C(8) = ⋯ = 0

2.e. d’après le tableau de variation de C complété avec 8 , d’image 0, on peut déduire :

−∞ −1 8 +∞

C( ) + 0 + 0 −

B Etude des variations de la fonction Ž définie sur par Ž(.) = ₊ ⁺+ 2 ³+ ^@ + 8 . a) Dérivée : & est une fonction polynôme donc & est dérivable sur son ensemble de définition . pour tout de , &^‹( ) = ₊ × 4 ³+ 2 × 3 ² + ^@× 2 + 8 = − ³+ 6 + 15 + 8

b) Signe de la dérivée :

On observe que pour tout de , on a : &^‹( ) = C( ), donc &′ a le même signe que C

or le signe de C a été étudié dans la partie B

∞ 1 8 ∞

&′ 0 + 0 c) Tableau de variation de la fonction Ž.

∞ 1 8 ∞

&′ 0 + 0

& 544 2,75

d) Le réel 550 est un majorant de la fonction & sur , car le maximum de la fonction & sur est 544, donc pour tout réel , on a : & 550

e) Une tangente parallèle à l’axe des abscisses est une tangente de coefficient directeur 0.

De plus le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse N est le nombre dérivé &^‹ N . D’après l’étude de la fonction & : &^‹ > 0 ⟺ > 1 GB > 8

Il existe donc deux points en lesquels =_| admet une tangente horizontale, ce sont les points de coordonnées :

; 1 ; 2,75 IJ O 8 ; 544 . f) Tangente en • d’abscisse 5

j > &^‹ 5 ? 5 & 5 &^‹ 5 > ⋯ > 108 & 5 > 321,25 j > 108 5 321,25

j > 108 218,75

Une équation de la tangente • est j > 108 218,75 EXERCICE II : (4 points)

Dans un cube parallélépipédique de longueur 12cm et de largeur 9cm, on extrait un cube d’arête cm, comme le montre les figures ci-dessous (avant - après).

Fig1 : Fig2 :

a) Volume ‘ du solide figure 2

Valeurs de :

est une longueur donc ` 0, de plus * 9 pour que l’extraction soit réalisable Pour ∈ 0 ; 9

Le volume du parallélépipède est 12 ? 9 ? > 108 Le volume du cube extrait est ³

Le volume restant est : ‘ > 108 ³

Pour connaître la valeur de qui rend le volume maximal, on étudie les variations de la fonctionV

Etude des variations de V

‘ est une fonction polynomiale définie sur [0 ; 9], elle est donc dérivable sur [0 ; 9].

Pour ∈ [0 ; 9],

‘^‹( ) = 108 − 3 = 3(36 − ) = 3(6 − )(6 + ) 0 6 9 36 −

6 +

+ + + 0 − + +

‘′( ) + 0 − Tableau de variation :

0 6 9

‘′( ) + 0 −

‘( ) 432

0

La fonction ‘ est strictement croissante sur [0 ; 6] et strictement décroissante sur [6 ; 9]

Donc elle admet un maximum pour = 6, de plus ‘(6) = 432

Ainsi le volume restant sera maximal pour = 6dc et ce volume sera de 432 cm³. EXERCICE III : (4,5 points)

1° a) 2° b) 3° b) 4° d) 5° a) 6° b)

EXERCICE IV : (2.5 points) 2+0.5 g;<‚‚‚‚‚ƒ; ’}‚‚‚‚‚ƒh

= g;<‚‚‚‚‚ƒ; <=‚‚‚‚‚ƒh + g<=‚‚‚‚‚ƒ;=’‚‚‚‚‚ƒh + g=’‚‚‚‚‚ƒ; ’}‚‚‚‚‚ƒh

= g<;‚‚‚‚‚ƒ; <=‚‚‚‚‚ƒh + “ + g=<‚‚‚‚‚ƒ;=’‚‚‚‚‚ƒh + “ + g’=‚‚‚‚‚ƒ; ’}‚‚‚‚‚ƒh + “ [2“]

= g<;‚‚‚‚‚ƒ; <=‚‚‚‚‚ƒh + g=<‚‚‚‚‚ƒ;=’‚‚‚‚‚ƒh + g’=‚‚‚‚‚ƒ; ’}‚‚‚‚‚ƒh + “ [2“]

= −3“

4 +“ 4 −“

2 + “ [2“]

= 0 [2“]

On a prouvé : g;<‚‚‚‚‚ƒ; ’}‚‚‚‚‚ƒh = 0 donc les vecteurs ;<‚‚‚‚‚ƒ et ’}‚‚‚‚‚ƒ sont colinéaires.

Ainsi les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

EXERCICE V : (3,5 points)

1° a) (”) ⟹ (m) b) (m) ⟹ (”) c) (m) ⟺ (”)

2° A1 Faux ; contre-exemple : =^3• , on a ^3•∈ [0 ; 2“[ mais sin^3• = −1 < 0 A2 Vrai :

2017“

5 =2020“ − 3“

5 = 404“ −3“

5 = 2 × 202“ −3“

5 Comme 404“ est un multiple de 2“ alors ^{– $•}

@ et −^3•_@ sont des réels qui correspondent à un même point sur le cercle trigonométrique.

EXERCICE VI : (9,5 points) 1° : 1+1 2° : 1+1+1+1 3° : 2 4° : 1.5 1° ;( ) = cos K^•− L + cos(2“ + ) + 2sin (“ + )

= sin + cos − 2YZ[

= cos − sin

<( ) = 3 cos(“ + ) + 5 sin K“

2 − L + 2 sin(− )

= −3 cos + 5 cos − 2 sin

= 2 cos − 2 sin

2° a) Pour ∈] − “; “]

2 cos − √3 = 0 ⟺ cos =^√3⟺ =^•_n ou = −^•_n donc O = U−^•_n ;^•_n—

b) Pour ∈] − “ ; “]

(cos + 1)(1 − 2 sin ) = 0

⟺ cos + 1 = 0 ou 1 − 2 sin = 0

⟺ cos = −1 ou sin =

⟺ = “ ou =^•_n ou =^@•_n donc O = U^•_n ;^@•_n ; “—

c) Pour ∈] − “ ; “]

−1 + 2 cos ≥ 0 ⟺ cos ≥ donc O = \−^•₃;^•₃]

d) Pour ∈] − “ ; “]

√2 + 2 sin ≥ 0 ⟺ sin ≥ −^√ donc O = ]−“; −^3•₊] ∪ \−^•₊; “]

3° Pour ∈ ^ et ˜ ∈ ℤ,

cos(2 ) = ⟺ 2 = ₃^•+ 2˜“ ou 2 = − ₃^•+ 2˜“

⟺ =^•₃ + ˜“ ou = −^•₃+ ˜“

Sur ^, les solutions sont les réels ^•

3+ ˜“ et ^•₃+ ˜“ avec ˜ ∈ ℤ. Sur [0 ; 2“[, les solutions sont les réels ^•

3 , ₃^•, ^+•₃ et^@•₃. 4° a) Soit un réel de [0 ; “]

sin + cos = 1 ⟺ sin = 1 − cos

⟺ sin = 1 − z¹⁺₄^š5{²

⟺ sin = ⁿ_n− ^{o √@o@}_n

⟺ sin = ^{– √@}_n

⟺ sin = −› ^{– √@}_n ou sin = › ^{– √@}_n

⟺ sin = −^{š – √@}₊ ou sin =^{š – √@}₊

Comme est un réel de [0 ; “] alors sin ≥ 0 donc sin =^{š – √@}₊ .

b) ∈ [0 ; “], de plus cos ≥ 0 donc est un réel de \0 ;^•]. Ainsi la seule valeur possible est = ^•_@.

1SV 12/01/2017

1° Pour ∈]0 ; +∞[ , &^‹( ) = − ^$

2° Pour ∈ ^

B( ) = 2 − 3 B^‹( ) = 2 œ( ) = ² + 2 œ^‹( ) = 2

Avec K^A_•L^‹=^{Až.• •}_• ^ž.A

&^‹( ) =2 × ( + 2) − 2 × (2 − 3)

( + 2) = ⋯ = −2 + 6 + 4

( + 2)

3° Pour ∈[1 ; +∞[

œ( ) = 1 − 2 œ^‹( ) = −2

Avec K_•L^‹= _•^•ž

&^‹( ) = 4 × −(−2)

(1 − 2 ) +−1= 8

(1 − 2 ) − 1 = 8 ² − (1 − 2 )²

² × (1 − 2 )

4° Pour ∈ ^ − {2}

B( ) = −3 B^‹( ) = −3

œ( ) = ( − 2) œ^‹( ) = 2 × 1 × ( − 2) = 2( − 2)

Avec K^A_•L^‹=^{Až.• •}_• ^ž.A

&^‹( ) =−3 × ( − 2)² − 2( − 2) × (−3 )

(( − 2) )² = ( − 2)(−3( − 2) + 6 )

( − 2)⁺ = 3 + 6

( − 2)³

1SV DV 26/03/2017

Ex1 &( ) = ^o _o+^o ’ =] − ∞ ; +∞[

1°a) Dérivée

&est une fonction rationnelle définie sur , donc & est dérivable sur son ensemble de définition Pour tout de ,

B( ) = ² + 12 + 22 B^‹( ) = 2 + 12 œ( ) = ² + 4 œ^‹( ) = 2 Avec K^A_•L^‹=^{Až.• •}_• ^ž.A, on a :

&^‹( ) =(2 + 12) × ( + 4) − 2 × ( + 12 + 22) ( + 4)

= (2 ³+ 8 + 12 + 48) − (2 ³+ 24 + 44 ) ( + 2)

= −12 − 36 + 48 ( + 4) =−12( ²+ 3 − 4)

( + 4)

1° b) Etudier le signe de &^‹( ).

On pose : q( ) = ² + 3 − 4 Δ = ⋯ 25 = 5 > 0 = ⋯ = 1 = ⋯ = −4

−∞ −4 1 +∞

−12q( ) ( + 4)²

− − −

+ 0 − 0 + + + +

N = 1 > 0

&′( ) 0 + 0 − 2° Tableau de variation de la fonction & :

−∞ −4 1 +∞

&^‹( ) − 0 + 0 −

&( )

7

−0,5

3° Position de =_| et ’ :

REVOYEZ LA METHODE !!!

Pour tout de , on a :

&( ) − 1 = + 12 + 22

+ 4 − 1 = + 12 + 22 − − 4

+ 4 =12 + 18

+ 4 Etudions le signe de ce quotient :

−∞ -3/2 +∞

12 + 18

( + 4) 0 +

+ + Pas de racine et coeff de ² positif

&( ) − 1 0 +

Ainsi la courbe =_| est en-dessous de la droite ’ d’équation j = 1 sur ]−∞; −³\ ;

la courbe =_| est au-dessus de ’ sur ] ³; +∞\et la courbe =_| coupe Δ au point d’abscisse ³.

4° tracé de ’

5° Idée : on calcule « tant que &( ) −1 ( 0,5 », on veut la 1^ère fois où : & 1 * 0,5

L’affichage obtenu est 26, cela signifie que 26 est la plus petite valeur entière non nulle telle que :

& 1 * 0,5, c’est-à-dire l’écart entre =_| et ’ est inférieur ou égal à 0,5.

EXERCICE II : (8 points)

1° Déterminer l’ensemble de définition ’ > ∞; 1 ∪ 1 ; ∞ 2° Lecture des limites : Compléter

XZc_→ & > 2 XZc_→ & > ∞ XZc_→o & > ∞ 3° La courbe =_| admet des asymptotes que vous préciserez :

La droite d’équation > 1 est asymptote à =_|

La droite d’équation j > 2 est asymptote à =_| en ∞ La droite d’équation j > 3 est asymptote à =_| en ∞ 4° Tableau de variation de la fonction &

∞ 1 3 ∞

&′ + 0 +

Variations de &

∞ ∞ ∞

2 2

DS 1SV-C-J 08/02/2017 4Heures

EXERCICE I : (8 points) A : 2 B : 1° -2° : 3 3° : 2 4° : 1 Partie A

&( ) = − + R + d

− 3 = − + R + d × 1

− 3

&^‹( ) = −1 + d × −1

( − 3) = −1 − d ( − 3)

;(1 ; −1) est un point de =_| donc &(1) = −1

La tangente à =_| au point d’abscisse 5 est parallèle à l’axe des abscisses, donc son coefficient directeur est 0, donc &^‹(5) = 0

S&(1) = −1&^‹(5) = 0 ⟺ Š

−1 + R + d

1 − 3 = −1

−1 − d

(5 − 3) = 0

⟺ Š−1 + R −1

2 d = −1

−1 −1 4 d = 0

⟺ U−1 + R + 2 = −1d = −4 ⟺ UR = −2d = −4

Ainsi, &( ) = − − 2 + ⁺₃

Partie B 1° a) Dérivée

&est une fonction rationnelle donc & est dérivable sur son ensemble de définition ] − ∞; 3[∪]3 ; +∞[

Pour tout de ] − ∞; 3[∪]3 ; +∞[^{on a :} B( ) = − ² + + 2 ⇒ B^‹( ) = −2 + 1 œ( ) = − 3 ⇒ œ^‹( ) = 1

&^‹( ) =(−2 + 1)( − 3) − 1 × (− + + 2)

( − 3)² = ⋯ =− ² + 6 − 5

( − 3)² On pose q( ) = − + 6 − 5

Δ = 6 − 4 × (−1) × (−5) = 16 = 4 > 0

q( ) a deux racines : =^{g n √ nh}= 5 = ⋯ = 1 b) Signe de la dérivée

−∞ 1 3 5 +∞

− + 6 − 5

( − 3)² 0 0 0

N = −1 < 0

&′( ) ⁻ 0 + || + 0 − 2° Tableau de variation de Ž

−∞ 1 3 5 + ∞

&^‹( ) − 0 + + 0 − Variation

de &

−9

−1

3° Etudier la position relative de la courbe =_| par rapport à la droite d’équation j = − − 2. Pour tout de ] − ∞; 3[∪]3 ; +∞[

&( ) − (− − 2) = z− − 2 − 4

− 3{ − (− − 2) = −4

− 3

On étudie le signe

−∞ 3 +∞

−4( − 3) 0

&( ) − (− − 2) + || − Ainsi

La courbe =_| est au-dessus de la droite ’ sur ] − ∞; 3[ et en-dessous sur ]3 ; +∞[

4° On donne une copie d’écran de calculatrice que l’on ne demande pas de justifier.

On donne : &^‹( ) = 3 ⟺ = 2 GB = 4

On en déduit que la courbe admet exactement deux points en lesquels la tangente a pour coefficient directeur 3, ce sont les points de =_| d’abscisse 2 et 4

EXERCICE II : (6 points) 1° 2° : 2 3° -4° : 4

On considère une cuve de base carrée et de volume 4c³. La cuve a un fond, mais pas de couvercle.

L’objectif est de déterminer les dimensions de la cuve pour qu’elle ait une aire minimale.

On note la mesure en mètres du côté de la base carrée.

1° le volume de la cuve est de 4c³

× × ℎ = 4 ⟺ ℎ = 4

2° La cuve est constituée du fond : un carré de côté Et des côtés : 4 rectangles de dimensions et ℎ D’où = ² + 4 × × ℎ

Or ℎ = ⁺

D’où, pour > 0 (puisque désigne la longueur d’un côté) ( ) = ² + 4 × × 4 = ² +16

3° Dérivée Pour ∈]0 ; +∞[

‹( ) = 2 + 16 ×−1

= 2 −16

=2 ³ − 16

=2( ³ − 8)

De plus 2( − 2)( + 2 + 4) = 2( ³ + 2 + 4 − 2 − 4 − 8) = 2( ³− 8) D’où ^‹( ) =^{2( −2)g 2}₂^{+2 +4h}.

Signe de ^‹(.)

On pose q( ) = ² + 2 + 4 Δ = 2² − 4 × 1 × 4 = −12 < 0 Donc q( ) n’a pas de racine et q( ) > 0 sur ]0 ; +∞[

0 2 +∞

2( − 2)

² + 2 + 4

²

− 0 +

+ 0 + +

′( ) ^||− 0 +

On en déduit que la fonction est décroissante sur ]0 ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[ , elle admet donc un minimum pour = 2

L’aire est minimale, lorsque =2, on a alors ¢ > ⁺ > 1

Ainsi la cuve de volume 4c³ aura une aire minimale lorsque sa base est un carré de côté 2c et sa hauteur est de 1c. L’aire de la cuve est de 12c² , car 2 > 2² ⁿ> 12

EXERCICE III : (9 points) A : 1°-2° : 2 3° 2 4° : 2 B : 1°2°a) 1.5 2° b) 1.5 Partie A

Soit la suite B£ définie par : B£= ^3£o_£o3

On donne ci-dessous la courbe de la fonction & définie sur 3 ; ∞ par & >^{3 o}_o3 1° Construction : On observe que B£> & [ ce qui permet de construire les termes de la suite.

2° Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

B–>3 ? 0 1 0 3 >1

3 B >3 ? 1 1

1 3 > 1 B >3 ? 2 1 2 3 >7

5 3° a) Pour tout [de ¤,

B_£o B_£

> 3 [ 1 1

[ 1 3 3[ 1

[ 3

> 3[ 4

[ 4 3[ 1

[ 3

> 3[ 4 [ 3 3[ 1 [ 4

[ 4 [ 3

> ⋯

> 8

[ 4 [ 3

3° b) Pour tout ¥ de _¤,

[ ` 0 ⟹ U[ 3 ` 3 ( 0[ 4 ` 4 ( 0 ⟹ 8

[ 4 [ 3 ( 0 ⟹ B^£o B_£ ( 0 Pour tout [ de _¤, on a : B_£o ( B_£

Ainsi la suite B_£ est strictement croissante.