MATHEMATIQUES TES 2016-2017 Corrigés des devoirs

MATHEMATIQUES TES 2016-2017 Corrigés des devoirs

DS1 13 /09/2016 page2 DV 30/09/2016 page 5 DS 11/10/2016 page 7 DV 03/11/2016 page 13 DV 02/12/2016 page 14 DS 13/12/2016 page 15

Bac Blanc 10/01/2017 page 21 DV 27/01/2017 page 26 DS 21/03/2017 page 27 DS 02/05/2017 page 33 DV 19/05/2017 page 39

A.Berger TES Bleue 2016-2017 2 / 40

DS TES 13/09/2016 2heures

Exercice 1 1° : a) : 1 b) 0,5 c) 0,75 d) 0,75 e) 0,75 f) 1 2° : a) 0,75 b) 0,5 On donne la courbe C représentation graphique d’une fonction définie sur [−6 ; 7].

1° Par lecture graphique,

a)Tableau de variations de la fonction

−7 −6 −1 5 7 ( ) + 0 − 0 +

Variations de

6 1 0

−1 0

b) Sens de variation de la fonction : la fonction est strictement croissante sur l’intervalle [−7 ; −1], strictement décroissante sur l’intervalle [−1 ; 5], puis strictement croissante sur l’intervalle [5 ; 7]

c) Tableau de signe de la fonction : D’après le tableau de variation complété par la racine −6 (ou d’après la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses

−7 −6 5 7 ( ) − 0 + 0 +

d) Les solutions de l’équation ( ) = 3 sont les abscisses des points de ayant pour ordonnée 3.

Ces solutions sont −4 et 2.

e) Les solutions de l’inéquation ( ) ≤ 3 sont les abscisses des points de ayant une ordonnée inférieure ou égale à 3. L’ensemble de ces solutions est = [−7 ; −4] ∪ [2; 7]

f) Déterminer l’intervalle image de [−1 ; 2] et de [−4 ; 7]

([−1; 2]) = [ 3 ; 6] , c’est l’ensemble des ordonnées des points de ayant leur abscisse dans [−1 ; 2]

Ou est strictement décroissante sur [−1 ; 2] et (−1) = 6 (2) = 3

([−4 ; 7 ]) = [ 0 ; 6] c’est l’ensemble des ordonnées des points de ayant leur abscisse dans [−4 ; 7]

2° a) La droite a pour équation = − + 3

b) Les solutions de l’équation ( ) = − + 3 sont les abscisses des points d’intersection de et de la droite , or et se coupent en trois points, donc l’équation ( ) = − + 3 a exactement 3 solutions.

Exercice 2 :

On considère une fonction définie sur [−5 ; 10] , et on donne son tableau de variation.

−5 −4 −3 −1 0 10 Variations

de

8 3 0 0

−2 2 1° tableau de signe de la fonction

x ₋₅ −4 −1 10 f(x) + 0 − 0 +

2° Les affirmations suivantes sont –elles vraies ou fausses. Justifier vos réponses.

Affirmation 1 : (2) > (8) : VRAI car la fonction est strictement décroissante sur l’intervalle [2 ; 8]

Affirmation 2 : L’équation ( ) = 9 a une unique solution dans [−5 ; 10]. FAUX.

En effet le maximum de la fonction f sur l’intervalle[−5 ; 10] est 8 < 9 atteint pour = −5. Ainsi ne coupe pas la droite d’équation = 9 sur [−5 ; 10]. L’équation ( ) = 9 n’a pas de solution dans [−5 ; 10]

Affirmation 3 : Pour tout de [−3 ; 10], on a : ( ) ∈ [−2 ; 2]. FAUX

L’intervalle image de l’intervalle [−3 ; 10] est [−2 ; 3], en effet la fonction f est strictement croissante sur [−3 ; 0] , d’intervalle image [−2 ; 3] puis strictement décroissante sur [0 ; 10], d’intervalle image [2 ; 3].

Exercice 3 1°: 1,5 pt 2°:1,5 pt 3° : 0,5 pt 4° : 1,5 pt 5° : 2 pt 6° : 1,5 pt 7 :1.5pt 1° Le coût d’exploitation pour & visiteurs est donné, en euros, par : (&) = 0,002&² + 2& + 3 500.

Dérivée :

pour tout & de *0 ; 3 500+ ′(&) = 0,004& + 2 (1er degré avec - > 0) Racine : 0,004& + 2 = 0 ⇔ & =_0,001^/ = −500 < 0

La fonction coût de production est strictement croissante sur _{[0 ; 3500]}

& 0 3500 2345 6 ′(&) +

(&) 35000 3500

2° On suppose que le prix d’entrée au parc est de 10 € par visiteur.

8( & ) = 10 & en euros

La représentation graphique 9_: est une droite (à tracer à la règle !) qui passe par l’origine du repère et R(1000)=10 000 R(2000) = 20 000

3° Bénéfice, exprimé en euros :

;(&) = 8(&) − (&)

= 10& − (0,002& + 2& + 3500)

= −0,002&² + 8& − 3500 On obtient l’expression demandée.

4° On résout dans [0 ; 3500]

;(&) = 4420

⇔ −0,002& + 8& − 3500 = 4420

⟺ −0,002& + 8& − 7920 = 0 ∆= 8 − 4 × (−0,002)(−7920) = 0,64 = 0,8 > 0

⟺ & =−8 − √0,64

−0,004 @A & =−8 + √0,64

−0,004

⟺ & = 2200 @A & = 1800

Le bénéfice est égal à 4420 € lorsque le parc accueille 1800 visiteurs ou 2200 visiteurs.

A.Berger TES Bleue 2016-2017 4 / 40

5° a) On calcule la dérivée du bénéfice

:

Pour & ∈ [0 ; 3500]

;′(&) = −0,004& + 8 (1^er degré avec - < 0)

Racine : −0,004& + 8 = 0 ⟺ −0,004& = −8 ⟺ & = 2000

D’où le tableau de variation du bénéfice

& 0 500 2000 3500

; (&) + 0 −

;(&) 4500

0

-3500 0

b) D’après le tableau de variation le bénéfice est maximal pour 2000 visiteurs et il est égal à 4500 euros. 6° a) on résout dans [0 ; 3500] ;(&) = 0 ⇔ −0,002& + 8& + 3500 = 0 B@56 6 4Cé Δ = ⋯ = 36 = 6² > 0 ⇔ & = −8 − 6 −0,004 @A & = −8 + 6 −0,004 ⇔ & = 3500 @A & = 500 L’équation a deux solutions : 500 et 3500 b) −0,002 < 0 donc la parabole est tournée vers le bas ∩ d’où le signe de ;(&) On peut aussi reporter les solutions de l’équation ;(&) = 0 dans le tableau de variation pour déduire le signe. & 0 500 3500

2345 6 ;(&) − 0 + 0 Ainsi ;(&) ≥ 0 ⟺& ∈ [500 ; 3500]

La plage de rentabilité du parc d’attractions est donc pour une fréquentation comprise entre 500 à 3500 visiteurs, bornes comprises.

7° Durant l’année 2016, l’entreprise sera ouverte 365 jours.

a) Chaque jour le bénéfice maximal est 4500€.

soit pour 365 jours 4500 × 365 = 1 642 500€

donc le bénéfice annuel maximal espéré pour 2015 est de 1 642 500€

b) L’entreprise distribue 40 % de ce bénéfice, consacre 50% aux travaux, il reste donc une réserve de 10% qui est placée à 3% par an .

Montant de la réserve : ⁰

00× 1 642 500 = 164 250

Montant après 1 an de placement : 164 250 × I1 + ^J₀₀K = 164250 × 1,03 = 169 177,5 L’énoncé demande la réponse à 100 euros près :

A 100 euros près, après 1 an de placement, la réserve sera de 169200€

A.Berger TES Bleue 2016-2017 6 / 40

TES B 30/09/2016 EXERCICE I : (10 points)

On considère la fonction définie sur [0 ; 5] par ( ) = − ^J + 3 + 1. 1° Pour ∈ [0 ; 5]

( ) = −3 + 6 ( ) = −6 + 6. 2° a) Signe de ′′( )

0 1 5

′′( ) + 0 −

On a ( ) ≥ 0 pour ∈ [0 ; 1] , donc la fonction est convexe sur [0 ; 1]

On a ( ) ≤ 0 pour ∈ [1 ; 5] , donc la fonction est concave sur [1 ; 5].

Remarque : ′′ s’annule et change de signe en 1, donc le point LM1 ; (1)N est un point d’inflexion de L(1 ; 3) (1) = −1^J+ 3 × 1 + 1 = 3

3°a) Signe de ′( ) : ( ) = −3 + 6 = 3 (− + 2) 0 2 5

3− + 2 0

0

′( ) 0 + 0 −

3° b) Dresser le tableau de variations de la fonction . 0 2 O 5

′( ) 0 + 0 − Variations

de

5 0

1 −49

4° a) D’après son tableau de variations,

• La fonction est continue et strictemnt décroissante sur [2 ; 5]

• L’intervalle image de [2 ; 5] est [−49 ; 5]

• 0 ∈ [−49 ; 5]

Donc l’équation ( ) = 0 admet une unique solution dans [2 ; 5] ; on la note O 4° b)

3,10 ( ) O3,11

0,039

0 −0,0639 D’où 3,10 ≤ O ≤ 3,11 est un

encadrement de O, d’amplitude 0,01

4° c) D’après le tableau de variations de la fonction , complété avec O, unique solution de l’équation ( ) = 0 dans [2 ; 5], on a :

0 O 5 ( ) + 0 −

EXERCICE II : (5 points)

On donne la courbe représentative d’une fonction définie sur [2 ; 11]. Aucune justification n’est demandée.

1° Donner les valeurs suivantes :

(3) = 4 (3) = −3 (5) = 2 (5) = 0 (9) = 4 (9) = 3

4

2° Déterminer une équation de la tangente en A : = (3)( − 3) + (3) = −3 + 13

3° Déterminer une équation de la tangente en S : = 2

EXERCICE II : (5 points) 1° Signe de ′( ) 1 2 6 8

′( ) + 0 − 0 +

1° b) On en déduit : la fonction est croissante sur [1 ; 2] , décroissante sur [2 ; 6] , croissante sur [6 ; 8] 2° a) Variations de ′ 1 4 8

′( ) 2,5 6

-2

′′( ) − 0 + 2° b)

On a ( ) ≤ sur [1 ; 4] donc la fonction est concave sur [1; 4] et ( ) ≥ 0 sur [4 ; 8] donc la fonction est convexe sur [4 ; 8]

2° c) ′′ s’annule et change de signe en 4, donc la courbe admet un point d’inflexion LM4 ; (4)N Remarque : on ne connaît pas (4)!

A.Berger TES Bleue 2016-2017 8 / 40

DS TES Bleue et Pervenche - TL Rouge 11/10/2016 3 heures

EXERCICE I : (5 points) d’après Amerique du sud nov 2015 A : 1 ° : 1 2° : 0.75 B : 1° : 1 2°a) : 1.5 2° b) 0.75

Partie A

La fonction est définie pour tout réel x élément de l’intervalle [1 ; 7] par : ( ) = 1,5 ^J− 9 + 24 + 48

On note la fonction dérivée de la fonction et ′′ sa dérivée seconde sur [1 ; 7].

1. Pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 7] :

a. f est dérivable sur [1 ; 7] comme fonction polynôme.

′( ) = 1,5 × 3 − 9 × 2 + 24 = 4,5 − 18 + 24.

b. ′′( ) = 4,5 × 2 − 18 = 9 − 18.

2. on étudie le signe de ′′( ) sur [1 ; 7] :

x 1 2 7 Q ′′(R)

−

Ainsi sur [1 ; 2] , ′′( ) ≤ 0 donc la fonction f est concave

et sur [2 ; 7] ′′( ) ≥ 0 donc la fonction f est convexe.

Partie B

1. Soit x de l’intervalle [1 ; 7], on a : B ( ) = 1,5 × 2 − 9 + 48 × S− 1

T = 3 − 9 −48

= 3 × ² − 9 × ² − 48

= 3 ^J− 9 − 48 Or 3( − 4)( + + 4) = 3( ^J+ + 4 − 4 − 4 − 16) = 3( ^J− 3 − 16) = 3 ^J− 9 − 48 Ainsi :

U (R) =V(R − W)(R^X+ R + W) R^X

2. a. On étudie le signe de B′( )

Pour la quantité + + 4. Discriminant : ∆= 1 − 4 × 1 × 4 = −15 < 0

Ainsi pour tout réel et en particulier pour ∈ [1 ; 7] + + 4 > 0 car - = 1 > 0

1 4 7 3

R − W R² + R + W R²

+ + − 0 + + + + + U′(R) − 0 +

On en déduit que la fonction c est strictement décroissante sur l’intervalle [1 ; 4] et strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 7].

2. b. La fonction c admet un minimum d’après les variations déterminées ci-dessus, atteint pour = 4. De plus B(4) = 1,5 × 16 − 9 × 4 + 24 +^1Z₁ = 24 − 36 + 24 + 12 = 24.

Ainsi le nombre d’articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal est de 4 milliers et ce cout moyen sera de 24 milliers d’euros, par milliers d’articles, ou 24€ par article

Observez bien le raisonnement : Vous calculez B′( )

EXERCICE II : (5 points) 1° : 2 2° a) : 1 2° b) 0.5+0.5 3°a) 0.25 3° b) 0.75 On considère la fonction définie sur [0 ; 20] ( ) = − ^J + 6 + 180 − 185.

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation par les méthodes habituelles.

Pour tout ∈ [0 ; 20] ( ) = − ^J+ 6 + 180 − 185.

Dérivée : pour tout de [0 ; 20] : Q′(R) = −VR^X+ [XR + [\]

Signe de ′( ) : ′( ) est un polynôme du second degré avec - = −3 < 0 Racines : ∆= 12 − 4(−3) × 180 = 2304=48²

∆> 0 donc ′( ) a deux racines

=^{/^/√∆} _{_} = ^{/ /√ J01}_{/`</sub> =<sup>/ /1Z</sup><sub>/`} =10 et 10 ∈ [0 ; 20]

= ^{/^a√∆} _{_} =^{/ a√ J01}_{/`</sub> = <sup>/ a1Z</sup><sub>/`} = −6 et −6 ∉ [0 ; 20]

0 10 20

Q′(R) + 0 -

Variations de 1215

−185 −2185

D’après le signe de sa dérivée : La fonction est bien strictement croissante sur [0 ; 10] et strictement décroissante sur [10 ; 20] Images (0) = −185 ; (10) = 1215 ; (20) = −2185 Les éléments du tableau ont été justifiés. 2. a. Monter que l’équation Q(R) = ] admet une unique solution dans *[] ; X]+, on la notera c. D’après son tableau de variation, la fonction est continue et strictement décroissante sur *10 ; 20+ l’intervalle image de [10 ; 20]par est [−2185 ; 1215]. or 0 ∈[−2185 ; 1215], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation Q(R) = ] admet une unique solution c dans [[] ; X]]. 2. b. Déterminer un encadrement de O d’amplitude 0,01, puis la valeur arrondie à 0,01 près. ℎ( ) 16,32 O 16,33 3,9464>0 0 -0,2897<0 Donc [e, VX < c < [e, VV De plus (16,325) ≈ 1,83 > 0 Donc O ≈ 16,33 valeur arrondie à 0,01 près 3. a. Calculer Q([) (1) = −1^J+ 6 × 1 + 180 × 1 − 185 = 185 − 185 = 0 donc Q([) = ] 3. b. Déterminer le signe de Q(R) sur *] ; X]+. On complète le tableau de variation avec les racines 1 et O, et on déduit le signe 0 1 10 O 20

Variations de 1215

0 0

−185 −2185

Signe de Q(R) - 0 + 0 -

EXERCICE III : (4 points) 1° : 0.5 + 0.75+0.75 2° : 1 3° : 1

Les points suivants appartiennent à la courbe : _{g(−2 ; 0} ; _{; 0 ; 0,5} et _{3 ; 0 .} Courbe représentative de la fonction _Q′′

1. a. Dresser le tableau de signe de ′′

On observe la position de la courbe hh par rapport à l’axe des abscisses.

x ∞ 2 3 ∞

0 0 +

1. b. La courbe représentative de admet-elle des points d’inflexion? d'après le tableau de signe précédent s'annule en changeant de signe en 3 , donc la courbe représentative de f admet un point d'inflexion LM3 ; 3 N . Remarque : On ne connaît pas 3 1. c. Dresser le tableau de variations de la fonction ′ D'après le tableau de signe précédent on a : x ∞ 2 3 ∞

0 0 +

′ 2

′ 3

2. Sur 2 ; 3 , la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

Sur 2 ; 3 , 0 donc sur cet intervalle la fonction f est concave.

3. D'après le tableau de variations de ′ la courbe représentative de la fonction ′ est la courbe 1 et par déduction celle de est la courbe 2.

(on remarque que sur les intervalles où ′ est négative est effectivement décroissante et sur les intervalles où ′ est positive est effectivement croissante).

EXERCICE IV : (6 points) 1° : 1 2° : 2.25 3° : 1.75 4° : 1

L’énergie photovoltaïque voit son coût baisser de façon importante depuis plusieurs années, ce qui engendre une croissance forte de ce secteur. L’évolution de la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde entre fin 2004 et fin 2015 est résumée dans le graphique ci-dessous :

1. Calculer les pourcentages d’augmentation annuels entre 2013 et 2014 ainsi qu’entre 2014 et 2015.

Arrondir à 10^/ . Entre 2013 et 2014 :

jk/jl

jl > 100 ^{Z0/ Jm}_Jm > 100 f 29,496

Soit une augmentation annuelle de 29,5% à 0,1% près

Entre 2014 et 2015 :

jk/jl

jl × 100 = ^{JJ/ Z0}_Z0 × 100 ≈ 29,44 soit une augmentation annuelle de 29,4% à 0,1% près

2. On se propose d’estimer la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dans les 15 ans à venir, si le taux de croissance annuel reste constant et égal à 30%.

On note n_o la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde, en GW, à la fin de l’année 2015+n.

On a ainsi n₀ = 233

2. a. Calculer p_[ puis p_X . Arrondir à []^/[.

Selon le modèle choisi pour les 15 ans à venir, la puissance solaire installée augmente de 30% par an n = n₀I1 + ^J0₀₀K = 233 × 1,3 = 302,9 donc n = 302,9

n = 302,9 × 1,3 = 393,77 donc n ≈ 393,8 -CC@563 à 10^/ 2. b. Exprimer p_qa[ en fonction de p_q

n_o est la puissance solaire photovoltaïque …, en GW, à la fin de l’année 2015+n.

+30% par an n_oa est la puissance solaire photovoltaïque …, en GW, à la fin de l’année 2015+n+1.

la production est multipliée par 1 + ^J0₀₀

Donc n_oa = (1 + ^J0₀₀) × n_o soit p_qa[ = [, V × p_q

2. c. En déduire la nature de la suite (n_o) et donner ses éléments caractéristiques.

Pour tout entier 5, n_oa = 1,3 × n_o

donc (n_o) est une suite géométrique de raison & =1,3 et de 1^er terme n₀ = 233 2. d. Exprimer n_o en fonction de 5.

(n_o) est une suite géométrique donc n_o = n₀ × 1, 3^o Donc, pour tout 5 de n_o = 233 × 1, 3^o

3.a. Déterminer le sens de variation de la suite (n_o)

(n_o) est une suite géométrique de 1^er terme n₀ = 233 > 0 et de raison & =1,3> 1 Donc (n_o) est croissante

3.b. En quelle année la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dépassera-t-elle le triple de celle de 2015 ?

La suite étant croissante, on procède par balayage pour trouver le plus petit rang tel que n_o > 3 × 233 C’est à dire n_o > 699

n₁ ≈ 665 6@5B n₁ < 699 n_r ≈ 865 6@5B n_r > 699

Donc la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dépassera-t-elle le triple de celle de 2015 en 2020

4. a. Calculer la puissance solaire photovoltaïque, en GW, installée dans le monde fin 2025 (arrondir à l’unité).

Selon ce modèle, en 2025, 5 = 10 n₀ = 233 × 1,3 ⁰ ≈ 3212,10

Donc la puissance solaire installée sera de 3212 GW arrondi à l’unité

4. b. Quel est le pourcentage global d’augmentation de la puissance solaire mondiale entre 2015 et 2025 ?

jk/jl

jl × 100 =^{J / JJ} _JJ × 100 ≈ 1278,54

Donc le pourcentage global d’augmentation de la puissance solaire mondiale serait de 1279% à 1% près

TES Bleue 03/11/2016 1H

Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01 près de :

= 1 + 0,8 + 0,8 + 0,8^J+ ⋯ + 0,8 ⁰= 1 − 0,8

1 − 0,8 = (1 − 0,8 )

0,2 = s([ − ], \^X[) ≈ W, ts On applique la formule : pour & ≠ 1 ∶ [ + w + w^X+. . +w^q =^[/w_[/w^qx[

EXERCICE II : (18 points) A : 1° : 3.5 2° a-b : 3.5 2° c : 2.5 3° 2 4° : 2 B : 1° a) 3 1°b) 0.5 2° : 0.5+0.5

Partie A : Dans cette partie, on s’intéresse à une première modélisation.

1. On suppose qu’après 2015, les exportations vont continuer à progresser de 10,5% par an. Ainsi, la situation peut être modélisée par une suite (A_o) où pour tout entier naturel n, A_o est une estimation de la quantité, en tonnes, d’ananas exportés en 2015+n. On a : A₀ = 1100 .

a. A = 1,105 × A₀ = 1215,5

La coopérative peut prévoir d’exporter1216 tonnes d’ananas en 2016.

b. Montrer que la suite (A_o) est géométrique.

Quantité exportée en 2015 + 5 : A_o

+10,5% chaque année Quantité exportée en 2015 + 5 + 1 : A_oa

on a Aoa = Ao× I1 + ^0,r₀₀K c’est-à-dire : Aoa = 1,105Ao

on en déduit que la suite (Ao) est géométrique de raison & = 1,105, de 1^er terme A0= 1100 c. La suite (A_o) étant géométrique :

Pour tout 5 de

A_o = A₀ × &^o donc A_o = 1100 × 1,105^o

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite (A_o)

On a : A₀ = 1100 > 0 & = 1,105 > 1 donc la suite (A_o) est croissante.

2. b. Déterminer en quelle année on peut prévoir que la quantité d’ananas exportés par cette coopérative dépassera 2 000 tonnes.

A_r ≈ 1812 ≤ 2000 A_` ≈ 2002 > 2000 De plus la suite (A_o) est croissante

donc la coopérative peut prévoir d’exporter plus de 2000 tonnes d’ananas en 2021.

2. c. Compléter l’algorithme pour que l’affichage obtenu soit la réponse à la question 2.b.

Variables : U prend la valeur 1 100 N prend la valeur 0 Traitement : Tant que z ≤ X]]]

U prend la valeur …z × [, []s N prend la valeur …{ + [ Fin pour

Sortie : Afficher …2015 + {

3. Déterminer la limite de la suite (A_o) . Interpréter.

1,105 > 1 donc _o→a•|3} 1,105^o= +∞

donc _o→a•|3} 1100 × 1,105^o= +∞

ainsi _o→a•|3} Ao = +∞

Interprétation :

A très long terme, la quantité exportée chaque année sera infiniment grande ( !).

4. Quantité totale d’ananas exportée par cette coopérative du 1^er janvier 2015 au 31 décembre 2025.

On calcule la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique.

2025 = 2015 + 10

= A₀+ A + A + ⋯ + A ₀ = A₀×(1 − & )

1 − & = 1100 ×1 − 1,105

1 − 1,105 ≈ 20943

La coopérative peut prévoir d’exporter 20900 tonnes d’ananas du 1^er janvier 2015 au 31 décembre 2025.

Partie B : Dans cette partie, on envisage une deuxième modélisation :

1. L’exportation des ananas est modélisée par la suite (€o), de premier terme €₀ = 1100 où €_o est une estimation de la quantité, en tonnes, d’ananas exportés en 2015+n.

L’algorithme ci- dessous permet de calculer les termes de la suite (€o).

Variables : V nombre réel, N, K entiers Initialisation : Saisir N

Traitement : V prend la valeur 1 100 Pour K variant de 1 à N

V prend la valeur 0,7×V +477 Fin pour

Sortie : Afficher V

1. a. On saisit N = 3. Compléter le tableau :

L 1 2 3

• 1100 1247

(0,7 × 1100 + 477) 1350

(0,7 × 1247 + 477) 1422

(0,7 × 1350 + 477) Affichage : 1422 valeur arrondie à l’unité

Interpréter ce résultat en termes d’exportation d’ananas,

Selon ce modèle, la coopérative exporterait 1422 tonnes d’ananas en 2018 1. b. On dispose du tableau de valeurs suivant :

5 5 10 15 20 25 30

€_o 1508 1576 1588 1589 1590 1590

Conjecture sur la limite de la suite (€_o) : la limite de la suite (€_o) est 1590

2. On peut privilégier la deuxième modélisation, la première n’est pas réaliste : on ne peut pas exporter annuellement une quantité infiniment grande de tonnes d’ananas.

TESB 02/12/2016 1heure Partie A : 5 points

On interroge au hasard un employé de cette entreprise et on suppose que tous les employés ont la même chance d’être interrogés, donc on a une situation d’équiprobabilité.

On utilise o^ ‚ƒ „_… _†‡ˆ_^‰ƒ…

o^ ‚ƒ „_… Š‡……‹^‰ƒ…

1° Œ(•) = ^{Ž 0} ₀₀= 0,6 Œ(•) = ^{` Z} ₀₀= 0,515

2° a) Œ(• ∩ •) = ^1`Z ₀₀= 0,39

2° b) Œ(•) × Œ(•) = 0,6 × 0,515 = 0,309 ≠ 0,39

On a (•) × Œ(•) ≠ Œ(• ∩ •) , donc les événements •et • ne sont pas indépendants.

3°

Œ_•(•) =468

720 = 0,65

Sachant que l’employé interrogé est une femme, la probabilité que cette employée choisisse le train est 0,65

Partie B 1°-2°-3° : 6.5 4° : 4 5° : 4.5 1. Arbre pondéré de la situation

Issues Coût en €

0,40 0,60

‘

D

0,80 0,20 0,60 0,40

’

’“

’

’“

‘ ∩ ’

‘ ∩ ’“

∩ ’

∩ ’“

180 150 130

100 2. a. On cherche Œ(‘ ∩ ’)

Œ(‘ ∩ ’) = Œ(‘) × Œ”(’) = 0,40 × 0,80 = 0,32 .

La probabilité que l’employé ait choisi la formule n°1 et l’excursion est 0,32

2. b. ’ est la réunion de ‘ ∩ ’ et ∩ ’ qui sont incompatibles Donc d’après la formule des probabilités totales

Œ(’) = Œ(‘ ∩ ’) + Œ( ∩ ’)

Or Œ( ∩ ’) = Œ( ) × Œl(’) = 0,6 × 0,6 = 0,36 D’où Œ( ) = 0,32 + 0,36 = 0,68

Ainsi la probabilité de l’événement ’ est égale à 0,68

V.. Œ_•(‘) =Œ(‘ ∩ ’)

Œ(’) =0,32

0,68 ≈ 0,471

Ainsi la probabilité que l’employé ait choisi la formule °1 sachant qu’il a choisi l’excursion facultative est égale à 0,471 arrondi au millième.

4. a. Les différentes valeurs de sont 100, 130, 150, 180 4. b. Loi de probabilité de

Œ_l(’) = 0,60 Données : Œ(‘) = 0,40 n”(’) = 0,80 Œl(’“) = 0,40

Données déduites : Œ( ) = 0,60

Œ”(’“) = 0,20

Valeur de 100 130 150 180

Probabilité 0,24 0,36 0,08 0,32 Total : 1

4. c. Espérance de la variable aléatoire

’( ) = – Œ‹× ‹

‹—1

‹—

= 0,24 × 100 + 0,36 × 130 + 0,08 × 150 + 0,32 × 180 = 140,4 On peut espérer une dépense moyenne par employé de 140,4€.

5. a. On répète six fois de manière identique et indépendante une même épreuve de Bernoulli Pour une épreuve : deux issues

’ « l’employé a choisi l’excursion facultative » de probabilité Œ(’) = 0,68

’“ « l’employé n’a pas choisi l’excursion facultative » de probabilité Œ(’“) = 0,32

La variable aléatoire ˜ qui désigne le nombre d’employés ayant choisi l’excursion suit une loi binomiale de paramètres 6 et 0,68.

5.b. « exactement un des six employés a choisi l’excursion facultative » : ˜ = 1 Œ(˜ = 1) = I61K × 0,68 × 0,32^r= 6 × 0,68 × 0,32^r≈ 0,014.

Ainsi la probabilité qu’exactement un employé ait choisi l’excursion est 0,014 arrondi au millième 5 .c. « au moins un des six employés n’a pas choisi l’excursion facultative » : ˜ ≤ 5

L’évènement contraire « les six employés ont choisi l’excursion » : (˜ = 6) Œ(˜ = 6) = I66K × 0,68^{`</sup>× 0,32<sup>0</sup>= 1 × 0,68<sup>`}× 1 = 0,68^`.

Œ(˜ ≤ 5) = 1 − Œ(˜ = 6) = 1 − 0,68^`≈ 0,901

Ainsi la probabilité qu’au moins un employé n’ait pas choisi l’excursion est 0,901 arrondi au millième

TES –TL 14/12/216

EXERCICE I : (5 points) d’après Sujet national juin 2013 Partie A : étude graphique 0,5+05

1° Le bénéfice sera supérieur ou égal à 13 000 euros pour un nombre de poulies compris entre 2500 et 3400 poulies, arrondies à la centaine de poulies ; on lit les abscisses des points de ayant une ordonnée

supérieure ou égale à 13.

2° Le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise est d’environ 15 000€ pour 3000 poulies fabriquées et vendues.

Partie B : étude théorique 1°: 0,5+0,75+0,75 2°: 0,5+0,5+0,5+0,5 1° a) Dérivée : Pour tout de [0 ; 3,6] ;( ) = −5 + (4 − ) ^™

A. € A( ) = 4 − A′( ) = −1

€( ) = ^™ € ( ) = ^™ (A . €) = A . € + € . A

; ( ) = 0 + (−1) × ^™+ ^™× (4 − ) = ^™(−1 + 4 − ) š′(R) = ›^R(V − R)

1b) signe de š′(R)

0 3 3,6

™

3 − + + + 0 −

™> 0 sur ℝ

;′( ) + 0 − 1c) Tableau de variation

0 ∝ 3 3,6

;′( ) + 0 −

;( ) −5 + ^J

0

−1 −5 + 0.4 ^J.`

Les images doivent être calculées en valeur exacte !!!

Images :

;(0) = −5 + 4 ⁰ = −1 ;(3) = −5 + ^J ≈ 15,085 ;(3,6) = −5 + 0,4 ^J,` ≈ 9,639 2°a) D’après son tableau de variation,

La fonction ; est continue et strictement croissante sur [0 ; 3]

L’intervalle image de [0 ; 3] est[−1; −5 + ^J] Or −5 + ^J ≈ 15,085 < 0 donc 0 ∈ [−1; −5 + ^J]

Donc l’équation ;( ) = 0 admet une unique solution ∝ dans [0 ; 3]

2.b) valeur approchée de ∝ à 0,01 près 0,301 ;( )

∝0,302

−0,0019 0 0,00177

D’où une valeur approchée à 0,001 près ∝≈ 0,301

Graphiquement : ∝ est l’abscisse du point d’intersection de la courbe du bénéfice avec l’axe des abscisses 2c) D’après le tableau de variation complété par ∝, on déduit le signe du bénéfice

0 _0,301 ∝ _0,302 3,6

;( ) − 0 +

2d) On sait que 0,301 <∝< 0,302 exprimé en milliers de poulies

Le tableau de signe complété permet de déduire que l’entreprise réalise un bénéfice à partir de 302 poulies produites par semaine

EXERCICE II : (5 points) liban 2013 1° : 0.5 2° : 0.75 3° : 1 4° : 0.5 5° : 1 6°-7° : 1.25 1° arbre de probabilités :

2° « le terrain est occupé et l’heure est creuse » : ∩ • Œ( ∩ •) = Œ( ) × Œ_ž(•) = 0,7 × 0,2 = 0,14

La probabilité que le terrain soit occupé et que l’heure soit creuse est 0,14 3° « le terrain est occupé » : •. • est la réunion de ∩ • et ̅ ∩ •, or ∩ • et ̅ ∩ • sont incompatibles, donc d’après la formule des probabilités totales :

Œ(•) = Œ( ∩ •) + ŒM ̅ ∩ •N Or Œ( ̅ ∩ •) = Œ( ̅) × Œ_ž̅ (•) = 0,3 × 0,9 = 0,27 D’où Œ(•) = 0,14 + 0,27 = 0,41

Ainsi la probabilité que le terrain soit occupé est égale à 0,41 4° « L’heure est pleine, sachant que le terrain est occupé »

Œ ( ̅) =Œ(• ∩ ̅)

Œ(•) =0,27 0,41 =27

41

Ainsi la probabilité que l’heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à ^Ž₁ 5° loi de probabilité de X

Œ(˜ = 0) = Œ(•“) = 1 − Œ(•) = 0,59 Œ(˜ = 6) = Œ( ∩ •) = 0,14 Œ(˜ = 10) = Œ( ̅ ∩ •) = 0,27

D’où la loi de probabilité de X :

Valeurs de X 0 6 10

probabilité 0,59 0,14 0 ,27 Total : 1

6° Espérance : ’(˜) = 0 × 0,59 + 6 × 0,14 + 10 × 0,27 = 3,54

On peut donc espérer un gain moyen de 3,54 € par heure pour un terrain.

7° X désigne la recette en euros obtenue grâce à la location d’un terrain durant 1 heure.

’(˜) = 3,54 , on peut espérer une recette de 3,54 € par heure et par terrain.

Pour 10 terrains pendant 70 h, on a une recette : 8 = 10 × 70 × 3,54 = 2478 On peut donc espérer une recette de 2478 € par semaine

issues Recette : X

0,7 0,3

̅

0,20 0,80 0,90 0,10

•

•“

•

•“

∩ •

∩ •“

̅ ∩ •

̅ ∩ •“

6 €

0 € 10 €

0 €

A.Berger TES Bleue 2016-2017 18 / 40

EXERCICE III : (5 points)

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.

Une réponse juste apporte un point.

Une réponse fausse ou une réponse multiple enlève 0,25. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.

Aucune justification n’est demandée.

On a tracé ci-contre la courbe représentative d’une fonction définie sur _œ et ses tangentes au point g d’abscisse 2, au point ; d’abscisse 2 et au point E d’abscisse 6

1. a. est convexe sur l’intervalle 6 ; 2 . b. est concave sur l’intervalle 2 ; 2

c. est convexe sur l’intervalle ∞; 2 d. est au -dessus de sa tangente au point d’abscisse 2.

Réponse b : la courbe est tournée vers le bas sur * 2 ; 2+ donc est concave sur 2 ; 2 2. a. 6 ^r,_` b. ′ 2 5,4 c. ′′ 6 0 d. ′′ 2 0

Réponse c : la courbe traverse la tangente au point E donc la dérivée seconde s’annule et change de signe :

′′ 6 0

3. a. ′ ! 0 pour tout x de l’intervalle ∞ ; 2 . b. ′ est décroissante sur l’intervalle 2 ; 2 . c. 0 si et seulement si 2 d. H 0 pour tout x de l’intervalle 2 ; 2 . Réponse b : est concave sur 2 ; 2 donc sur 2 ; 2 donc la dérivée seconde est négative

Donc la dérivée est ′ est décroissante 4. L’équation de la tangente à en ; est :

a. 2 b. 2 c. 4 d. 4 Réponse c : la tangente est parallèle à l’axe des abscisses et a pour ordonnée à l’origine 4

5. Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction ?

(a) (b) (c) (d)

La fonction est croissante sur ∞; 2 donc la dérivée est positive sur cet intervalle et 2 0 et est décroissante sur [2; ∞ donc la dérivée est négative sur cet intervalle

Ce qui permet d’exclure les courbes b c d D’où réponse a

EXERCICE IV : (5 points) 1° :0.25 2° : 2.25 3° : 0.75 4° : 0.75 5° 1

Les autorités de santé d’une grande ville s’intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d’asthme.

En 2011, on a recensé environ 850 nouveaux cas.

À partir de 2011, le nombre de nouveaux cas déclarés augmente environ de 2,5% par an.

On désire modéliser la situation par une suite A_o de premier terme A₀ 850 Ainsi, A_o modélise le nombre de nouveaux cas en 2011 5 .

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

1. A 850 > 1.025 871,25 A 871,25 > 1.025 f 893

Ainsi le nombre de nouveaux cas en 2012 est d’environ 871 et en 2013 de 893 .

2. a. Chaque année le nombre de nouveau cas augmente de 2,5 % donc on a la relation de récurrence suivante : A_oa 1,025 > A_o.

Ainsi A_o est une suite géométrique de raison & 1,025 et de premier terme A₀ 850 2. b. Exprimer A_o en fonction de 5.

Avec 2.a. A_o A₀ > &^o 850 > 1,025^o

2. c. En déduire le nombre de nouveaux cas en 2020.

2020 2011 5 ⇔ 5 2020 2011 9

Le nombre de nouveaux cas en 2020 est donc A_m 850 > 1,025^m f 1061 t

2. d. Déterminer le sens de variation de la suite A_o .

La suite A_o est géométrique de raison & 1,025 ! 1 et de 1^er terme A₀ 850 ! 0 Ainsi la suite A_o est croissante.

3. Déterminer à partir de quelle année on dépassera les 1 400 nouveaux cas.

On cherche la valeur de 5 à partir de laquelle A_o ! 1400.

A.Berger TES Bleue 2016-2017 20 / 40

On sait que la suite (A_o) est croissante et que : A ₀= 850.1,025 ⁰≈ 1392 A = 850.1,025 ≈ 1427

C’est donc à partir de 2011 + 21 = 2032 qu’on dépassera les 1 400 nouveaux cas pour la première fois 4. On propose l’algorithme suivant :

Variables : U, S, N

Initialisation : Affecter à U la valeur 850 Affecter à S la valeur U Affecter à N la valeur 0 Traitement : Tant que S < 6000

Affecter à U la valeur U ×1,025 Affecter à S la valeur S + U Affecter à N la valeur N +1 Fin tant que

Sortie : Afficher N

4. a. Que représente S dans cet algorithme ? S calcule la somme des nouveaux cas d’asthme depuis 2011 et ce jusqu’à ce que sa valeur soit au moins égale à 6000.

4. b. A l’aide d’un algorithme sur calculatrice OU à l’aide d’un tableau

‘ 850 871 893 915 938 961 985

S 850 1721 2614 3529 4437 5428 6413

N 0 1 2 3 4 5 6

Test tant que Vrai vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux : ARRET

On trouve : ¡ = 6

4. c. Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d’alerte est atteint pour 6 000 nouveaux cas déclarés depuis 2011. En supposant que le nombre de nouveaux cas évolue de la même manière, déterminer l’année à partir de laquelle cela se produira.

A l’aide de la question précédente on trouve ¡ = 6 soit en 2011 + 6 = 2017.

5.a. On considère la somme des termes consécutifs :

o = A₀+ A + A + ⋯ + A_o. C’est la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique.

o = (1 C C} ) ×1 − &^{o^ˆ ¢ƒˆ£ƒ…}

1 − & = A₀×1 − 1.025^{o^ˆ ¢ƒˆ£ƒ…}

1 − 1,025 = 850 ×1 − 1,025^o/0a

−0,025

o = 850 ×1 − 1.025^oa

−0,025 = 850

0,025 × [−(1 − 1.025^oa )] = 34000([, ]Xs^qa[− [) Ainsi : ¤_q = VW]]] × ([, ]Xs^qa[− [)

5. b. En déduire les valeurs des sommes _r et _` arrondies à l’entier.

Ainsi : ¤s= 34000 × (1,025^ra − 1) = 34000 × (1,025^`− 1) ≈ sWXt < e]]]

¤e = 34000 × (1,025^`a − 1) = 34000 × (1,025^Ž− 1) ≈ eW[s > e]]]

5. c. Les valeur de _r et _` confirment le résultats de la question 4.c., a savoir que c’est à partir de 2017 soit de ¡ = 6 que pour la première fois le nombre cumulé de nouveaux cas depuis 2011 dépasse les 6000.

Observez la ligne :

Affecter à S la valeur S + U Cela signifie que vous cumulez les termes !

BAC BLANC MATHEMATIQUES TERMINALE ES - L 10/01/2017 3 HEURES Une seule calculatrice autorisée - Le prêt est interdit

EXERCICE I : (6 points) d’après Antilles Juin 2013 1° : 0.75 2° : 0.75 3° 0.75 4° : 0.75 5° : 3 1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l’énoncé.

Données : Œ(•) = 0,28 ; Œ(¥) = 0,48 Œ (¦) = 0,05 , Œ_•(¦) = 0,125

issues

0,28

0,48 0,24

T

¥

•

0,05 0,95

0,125 0,875

¦

¦ ¨

¦

¦ ¨

¦

¦ ¨

• ∩ ¦

• ∩ ¦ ¨

¥ ∩ G

¥ ∩ ¦ ¨

• ∩ ¦

• ∩ ¦ ¨

2. Œ(•) = 1 − Œ(•) − Œ(¥) = 1 − 0,28 − 0,48 = 0,24 Donc Œ(•) = 0,24

Œ(• ∩ ¦) = Œ(•) × Œ_•(¦) = 0,24 × 0,125 = 0,03 Donc Œ(• ∩ ¦) = 0,03

3. On sait que Œ(¥ ∩ ¦) = 0,12 Œ_ª(¦) =Œ(¥ ∩ ¦)

Œ(¥) =0,12

0,48 = 0,25

Donc la probabilité qu’un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie est égale à 0,25.

4. Montrer que n(¦) = 0,164.

¦ est la réunion des événements • ∩ ¦, ¥ ∩ ¦ et • ∩ ¦ qui sont deux à deux incompatibles (ils forment une partition de ¦)

Œ(¦) = Œ(• ∩ ¦ ) + p(¥ ∩ ¦ ) + p(• ∩ ¦ ) = Œ(•) × Œ (¦) + Œ(¥) × Œ_ª(¦) + 0,03 = 0,28 × 0,05 + 0,48 × 0,25 + 0,03 = 0,014 + 0,12 + 0,03

Donc Œ(¦) = 0,164

5. On interroge 8 clients choisis au hasard, et on admet que leurs réponses sont indépendantes.

On appelle ˜ la variable aléatoire qui désigne le nombre de clients (parmi les 8) qui ont souscrit la garantie.

A.Berger TES Bleue 2016-2017 22 / 40

5. a. Justifier que la variable aléatoire ˜ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres On interroge 8 clients choisis au hasard, et on admet que leurs réponses sont indépendantes.

Donc on répète 8 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli qui n’a que deux issues : ¦ le client a souscrit la garantie de probabilité 0,164 et son contraire ¦ ¨ de probabilité 0,836

Donc la variable aléatoire ˜ égale au nombre de clients qui ont souscrit la garantie suit une loi binomiale de paramètres 5 = 8 et Œ = 0,164

5. b. ˜ suit une loi binomiale donc ’(˜) = 5Œ = 8 × 0,164 = 1,312

L’espérance mathématique ’(˜) est égale à 1,312. Ce qui signifie que sur les 8 clients interrogés, en moyenne 1,312 a souscrit la garantie

5. c. Quelle est la probabilité, à 0,001 près, qu’au moins une personne ait choisi l’extension de garantie ? P@AC @A ¬ 5 3 C 5- AC | 5 C 0 8 : Œ(˜ = ¬) = I8¬K0,164^-(0,836)^Z/-

Œ(˜ ≥ 1) = 1 − Œ(˜ = 0) = 1 − I80K0,164⁰(0,836)^Z = 1 − 1 × 1 × 0,836^Z = 1 − 0,836^Z Œ(˜ ≥ 1) = 1 − 0,836^Z ≈ 0,7614 ≈ 0,761

La probabilité, à 0,001 près, qu’au moins une personne ait choisi l’extension de garantie est égale à 0,761.

5. d. Le responsable du magasin estime qu’il est impossible que les huit personnes aient choisi l’extension de garantie. Qu’en pensez-vous ? Justifier par un calcul adapté

Œ(˜ = 8) = I88K × 0,164^Z× (0,836)⁰ = 1 × 0,164^Z × 1 = 0,164^Z ≈ 5,233 × 10^/Ž Œ(˜ = 8) ≠ 0 }-32 Œ(˜ = 8) ≈ 0 à 10^/`ŒCè2

Le responsable n’a pas raison.

La probabilité n’est pas égale à 0 donc il n’est pas impossible que les huit personnes aient choisi l’extension de garantie.

Néanmoins, cela se produit extrêmement rarement puisque la probabilité est très proche de zéro

EXERCICE II : (5 points)

TES non spécialité Maths et TL spécialité Maths

1° a-b-c : 1 1° d : 0.75 2° a-b-c-d : 1.25 2° e : 1 3° : 1

1. a. °_[ = A₀ − 1500 = 30000 − 1500 = X\s]] et °_X= A − 1500 = 28500 − 1500 = X±]]]

1. b. Chaque année la production de l’entreprise diminue de 1500 pièces.

A_o 2 la production du modèle α pour l’année (2015 + n).

A_oa 2 la production du modèle α pour l’année (2015 + n+1).

Alors : A_oa = A_o − 1500.

Donc la suite (°_q) est arithmétique de raison ² = −[s]] et premier terme °_]= V]]]]

1. c. Ainsi °_q = °_]+ ² × q = V]]]] − [s]]q

1. d. 2023 = 2015 + 5 ⟺ 5 = 2023 − 2015 = 8 (soit 9 années de production jusqu’au 31 décembre de l’année 2023.

Le nombre total d’objets de modèle α qui auront été produits du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2023 correspond à la somme = A₀+ A + A + ⋯ + A_Z. Or A_Z = 30000 − 1500 ∗ 8 = 18000

Donc = A₀ + A + A + ⋯ + A_Z =^Za (A0+ A_Z) =^m(30000 + 18000) = 216000

Ainsi le nombre total d’objets de modèle α qui auront été produits du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2023 sera de 216 000.

2. Dès 2015, cette entreprise lance un nouveau modèle β. 11 000 objets du modèle β ont été produits en 2015. La production du modèle β augmente de 4 % chaque année. On note €₀la production du modèle β pour l’année 2015 et €_o la production du modèle β pour l’année (2015 + n). Les résultats numériques seront arrondis à l’unité près.

2. a. ´_[= €₀× 1,04 = [[WW] et ´_X= € × 1,04 = 11440 × 1,04 ≈ [[\t±

2. b. Chaque année la production de l’entreprise augmente de 4 %.

€_o 2 la production du modèle α pour l’année (2015 + n).

€_oa 2 la production du modèle α pour l’année (2015 + n+1).

Alors : €_oa = €_o× 1,04.

Donc la suite (´_q) est géométrique de raison q= [, ]W et premier terme ´_]= [[]]]

2. c. µ¶q·¶ ´_q = ´_]× w^q = [[]]] × [, ]W^q.

2. d. la production de l’année 2023 est donnée par : ´_\= [[]]] × [, ]W^\ ≈ [s]sW

2. e. Le nombre total d’objets de modèle β qui auront été produits du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2023 est donc donné par la formule de la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique :

′ = €₀+ € + € + ⋯ + €_o = (1 C C} ) ×1 − &^{o^ ¢ƒˆ£ƒ…}

1 − &

Donc ′ = €₀+ € + € + ⋯ + €_Z = 11000 × ^{/ ,01}_{/ ,01}^¸¹ºx» = 11000 × ^{/ ,01}_/0,01^¼ = ^[[]]]_],]W × (1,04^m− 1) Donc ¤ = X±s]]] × ([, ]W^t− [) ≈ [[eW[]

Le nombre total d’objets de modèle β qui auront été produits du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2023 est donc d’environ [[eW[]

3. a. On veut produire une feuille de calcul EXCEL.

Formules : cellule B3=B2-1500 et C3=C2*1,04

3. b. l’entreprise fabriquera davantage d’objets de modèle ½ que de modèle O lorsque pour la première fois la valeur de €_o dépassera celle de A_o. On remarque que :

A_m = 16500 €_m ≈ 15656 donc A_m > €_m A ₀ = 15000 € ₀ ≈ 16282 donc A ₀ < € ₀

Cela sera donc vérifié à partir de q = [] soit en X][s + [] = X]Xs

EXERCICE III : (4 points) POUR TOUS 1. On considère l’algorithme ci-dessous :

En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :

a. 4 b. 124,416 c. 5 d. 96

Réponse c : 5

On peut écrire le programme sur la calculatrice

Ou : 50 × 1,2 × 1,2 × 1,2 × 1,2 = 103,68 < 120 et 50 × 1,2 × 1,2 × 1,2 × 1,2 × 1,2 = 124,416 ≥ 120 2. Une augmentation de 20% suivie d’une augmentation de 15% est équivalente à une augmentation globale de : a. 17,5% b. 30% c. 35% d. 38%

réponse d : 38% I1 + ⁰₀₀K I1 + ₀₀^rK = 1,38 = 1 + ^JZ₀₀

A.Berger TES Bleue 2016-2017 24 / 40

3. La fonction f définie sur R par ( ) = ^J + 6 ² est convexe sur l’intervalle : réponse b : [−2 ; +∞[

On peut s’aider de la courbe en entrant la fonction dans la calculatrice ( ) = ^J + 6 ² donc ( ) = 3 + 12 donc ( ) = 6 + 12 convexe ⟺ ( ) ≥ 0 ⟺ 6 ≥ −12 ⟺ ≥ −2

4. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [1 ; 7]. La droite T est tangente à la courbe C au point g(3 ; 3) et passe par le point de coordonnées (5 ; 0). On note ′ la fonction dérivée de la fonction :

Réponse d : Q (V) =^/V_X

(3) 2 | B@ 3B3 5 63C B AC 6 |- -54 5 -A Œ@35 6 -¾2B322 3 2@3 ∶ Δ

Δ =−3 2

EXERCICE IV : (5 points) Amérique du sud novembre 2014 1° : 0.75 2° : 1.5 3° : 1,5 4° : 1.25 On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4] parQ(R) = (VR − W)›^/R+ X

1. On désigne par ′la dérivée de la fonction . ( ) = (3 − 4) ^/™+ 2

(A€) = A € + €′A

°(R) = VR − W ´(R) = ›^/R

°′(R) = V ´′(R) = −›^/R Pour tout x appartenant à [0 ; 4],

( ) = 3 ^/™+ (3 − 4)(− ^/™) = ^/™(3 − 3 + 4) Donc Q′(R) = (± − VR)›^/R

2. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 4] puis dresser le tableau de variations de sur cet intervalle.

Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.

Racines de la dérivée 7 − 3 = 0 ⇔ =^Ž_J

/™= 0 est impossible puisque Œ@AC @A A, ^¿> 0 Signe

0 7/3 4

/™

7 − 3 + + + 0 −

¿ > 0 sur

′( ) + 0 − D’où les variations :

La fonction est strictement croissante sur À0 ;^Ž_JÁet strictement décroissante sur À^Ž_J ; 4 Á Tableau de variations de Q

0 O 7/3 4

′( ) + 0 − ( ) 2 + 3 ^/Ž/J

0

−2 2 + 8 ^/1

Valeurs du tableau

(0) = −4 ⁰+ 2 = −2 < 0 S7

3T = S3 × 7

3 − 4T ^/Ž/J+ 2 =2 + 3 ^−7/3 > 0 (4) = (12 − 4) ^/1+ 2 =2 + 8 ⁻⁴> 0

3. a. Montrer que l’équation Q (R) = ] admet une unique solution csur l’intervalle [0 ; 4].

On complète le tableau de variation en plaçant 0 et son antécédent O On travaille en deux temps :

- Dans l’intervalle [0 ;^Ž_J]

d’après son tableau de variation, la fonction est continue et strictement croissante sur À0 ;^Ž_JÁ L’intervalle image de À0 ;^Ž_JÁ est*−2;2 + 3 ^−7/3+

Or −2 < 0 et _{2 + 3} ^/Ž/J_{> 0} donc 0 appartient à l’intervalle image Donc l’équation ( ) = 0 admet une unique solution Odans À0 ;^Ž_JÁ - Dans l’intervalle À^Ž_J ; 4 Á

a pour minimum _{2 + 8} ^/1_{> 0}

Donc l’équation ( ) = 0 n’a pas de solution dans À^Ž_J ; 4 Á

(on peut aussi reprendre la même méthode que pour le premier intervalle, et constater que 0 n’appartient pas à l’intervalle image)

Conclusion : l’équation Q (R) = ] admet une unique solution csur l’intervalle [0 ; 4].

b. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de Oà 0,01 près.

0,36 ( ) c0,37

−0,0372 00,00378

Donc O est compris entre 0,36 et 0,37 donc 0,37 est par exemple une valeur approchée de c 4. On admet que la dérivée seconde est Q ′′définie sur l’intervalle [0 ; 4] parQ′′(R) =

(VR − [])›^/R

a. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction Qest convexe.

est convexe si et seulement si ′′( ) ≥ 0 On étudie le signe de ′′( )

racine 3 − 10 = 0⇔ =¹⁰₃ signe

0 10/3 4

/™

3 − 10 + + − 0 +

′′( ) − 0 + Donc Q est convexe sur À^[]_V ; W Á

b. Montrer que la courbe représentative de la fonction possède un pointd’inflexion dont on précisera l’abscisse.

D’après le signe de _{( )}, la dérivée seconde s’annule et change de signe en = _J⁰ Donc la courbe a un point d’inflexion d’abscisse ^[]_V

A.Berger TES Bleue 2016-2017 26 / 40

TES Bleue 27/01/2017 1h 1° : 1.5 2° : 1 3° : 2 4° 3.5+1+1 5° : 2+1.5+2 6°: 2 7° : 2.5 1° = ^1Ž0/mr0_mr0 × 100 = 160 Le nombre de visiteurs a augmenté de 160% entre 1997 et 2000.

2° A = 2470 × 0,7 + 1200 = 2929 Il y aura 2929 clients en 2001

3. On souhaite déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera 3 900.

On calcule tant que le nombre de clients est inférieur ou égal à 3900 ; ce qui élimine l’algo2. On élimine l’algo 3 qui affiche U, c’est-à-dire un nombre de clients alors qu’on veut une année.

4° Pour tout 5

€_oa = A_oa − 4000

= (0,7 A_o + 1200) − 4000 = 0,7 A_o− 2800

= 0,7 SA_o−2800 0,7 T

= 0,7(A_o − 4000)

= 0,7€_o

On en déduit que la suite (€_o) est géométrique de raison & = 0,7 Son 1^er terme : €₀ = A₀− 4000 = 2470 − 4000 = −1530

4° b) pour tout 5 €_o = €₀× &^o €_o = −1530 × 0,7^o 4°c) on a €_o = A_o − 4000 Donc A_o = €_o+ 4000

Ainsi A_o = −1530 × 0,7^o+ 4000 5° a) pour tout entier naturel 5

A_oa − A_o = (4000 − 1530 × 0,7^oa ) − (4000 − 1530 × 0,7^o)

= −1530 × 0,7^o× 0,7 + 1530 × 0,7^o

= 1530 × 0,7^o(−0,7 + 1)

= 1530 × 0,7^o× 0,3

= 459 × 0,7^o

On étudie le signe :

0,7 > 0 donc 0,7^o > 0 donc 459 × 0,7^o > 0 donc A_oa − A_o > 0 On en déduit que la suite (A_o) est croissante.

5b) A_Ž ≈ 3874 ≤ 3900 A_Z ≈ 3911 > 3900 de plus la suite (A_o) est croissante, donc le plus petit entier 5 tel que A_o > 3900 est 8

On en déduit que c’est à partir de l’année 2008 que le nombre de clients annuels dépassera 3900.

6° On veut le nombre total de clients du 1^er janvier 2000 au 31 décembre 2016.

= A₀+ A + ⋯ + A _` ≈ 62900 .

2@}} (2A3 (−1530 × 0,7^Ã+ 4000, ˜, 0, 16)

L’hôtel aura accueilli 62900 clients, arrondie à la centaine.

7° limite

0 < 0,7 < 1 donc lim_o→a•0,7^o = 0 donc lim_o→a•−1530 × 0,7^o = 0 donc lim_o→a•(−1530 × 0,7^o+ 4000) = 4000

A long terme, le gérant de l’hôtel peut accueillir 4000 clients par an.

= (4000 − 1530 × 0,7^oa ) − (4000 − 1530 × 0,7^o)

= −1530 × 0,7 × 0,7^o+ 1530 × 0,7^o

= −1071 × 0,7^o+ 1530 × 0,7^o OU

Aoa − Ao

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 21/03/2017 3 H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (5 points) POUR TOUS national Septembre 2016 PARTIE A

1. Calculer °_[ et °_X 0,5 La foret contient 1500 arbres en 2015

En 2016 : A = 1500 I1 − ^r₀₀K + 50 = 1500 × 0,95 + 50 = 1475 donc A = 1475 En 2017 : 1475 I1 − ^r₀₀K + 50 = 1451,25 donc A = 1451

2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : °_qa[ = ], ts × °_q+ s] 0,5 A_o est le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année (2015 + 5)

Chaque année 5% des arbres sont coupés donc on multiplie le nombre par 0,95 et 50 arbres sont replantés donc on ajoute 50 arbres

Donc pour l’année suivante en 2015 + 5 + 1

°_qa[ = ], ts × °_q+ s]

3. On considère la suite (´_q) définie pour tout entier naturel n, par ´_q = °_q− []]]

3. a.Pour tout entier naturel q

€_oa = A_oa − 1000

= 0,95 × A_o+ 50 − 1000 = 0,95 × A_o− 950

= 0,95(A_o − 100) €_oa = 0,95 × €_o

1^er terme €₀ = A₀− 1000 = 1500 − 1000 = 500

Donc la suite (´_q) est géométrique de raison 0,95 et de 1^er terme ´_] = s]]. 1 point b. Montrer que pour tout entier naturel n, °_q = []]] + s]] × ], ts^q

(€_o) est une suite géométrique donc €_o = €₀× &^o = 500 × 0,95^o De plus, €_o = A_o− 1000 donc A_o = €_o+ 1000

Donc °_q = []]] + s]] × ], ts^q 0,5

3. c. En déduire le nombre d’arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030.

2030 = 2015 + 15

A _r = 1000 + 500 × 0,95 ^r ≈ 1231,65 ≈ 1232

Donc on peut prévoir1232 arbres le 31 décembre 2030 0,5 4. Montrer que pour tout q de _ℕ : °qa[− °q= −Xs × ], ts^q

En déduire le sens de variation de la suite (°_q).

Pour tout entier naturel 5

A_oa − A_o= 0,95 × A₅+ 50 − A₅ = −0,05 × A_o+ 50

= −0,05 ×( 1000 + 500 × 0,95^o) + 50 Aoa − Ao= −50 − 25 × 0,95^o+ 50

Donc °qa[− °q= −Xs × ], ts^q

A.Berger TES Bleue 2016-2017 28 / 40

Pour tout entier naturel 5

Donc −25 < 0 0,95 > 0 6@5B 0, 95^o> 0 6@5B − 25 × 0, 95^o< 0

Donc °qa[− °q< ] donc suite (°_q) est décroissante 1 point (Il y aura donc de moins en moins d’arbres dans cette forêt)

PARTIE B

Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3%.

Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé ? Soit Œ_o le prix d’un stère de bois en l’année de rang 5

Chaque année, ce prix augmente de 3% donc il est multiplié par 1,03 Donc la suite (Œ_o) est une suite géométrique de raison 1,03

Donc Œ_o = Œ₀× 1,03^o (on ne connait pas Œ₀)

Le prix aura doublé lorsqu’il aura été multiplié par 2,

La question revient donc à chercher la plus petite valeur entière de 5 telle que 1,03^o ≥ 2 On résout

1,03^o ≥ 2 ⟺ ln(1,03^o) ≥ ln (2) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[

⟺ 5 ln(1,03) ≥ ln (2)

⟺ 5 ≥ _{ÉÊ( ,0J)}^{ÉÊ( )} car ln(1,03) > 0 Or ^{ÉÊ( )}

ÉÊ( ,0J)≈ 23,4 On peut vérifier

1,03 ^J ≈ 1,97 et 1,03 ¹ ≈ 2,03

Donc le prix d’un stère de bois aura doublé au bout de 24 années 1 point

EXERCICE II : (5points) NON SPECIALITE d’après Nouvelle Calédonie mars 2009 1° : 0.5 2° : 1.5 3° : 0.5 4° 1.25 5° : 1.25

1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

Données Œ(Ë) = 0,3 ; Œ(g) = 0,2;

Œ_Ì(8) = 0,20 ; Œk(8) = 0,25 Œž(8“)=0,30

issues Somme S payée

0,2

0,5 0,3

A

Ë

0,25

0,75 0,7 0,3

0,2 0,8

8

8 ¨ 8

8 ¨ 8

8 ¨

g ∩ 8

g ∩ 8 ¨

∩ R

∩ 8 ¨ Ë ∩ 8

Ë ∩ 8 ¨

60+15=75

60

100+15=115

100 60+15=75

60