Correction des exercices 7 et 8

Exercice 7.

Pour faciliter les calculs on va prendre l’unité égale 1000 et on va arrondir les valeurs Décile Valeur du décile intervalle Moyenne de l’intervalle

D1 466 <D1 314

D2 682 [D1;D2[ 578

D3 868 [D2;D3[ 776

D4 1061 [D3;D4[ 968

D5 1296 [D4;D5[ 1175

D6 1574 [D5;D6[ 1426

D7 1921 [D6;D7[ 1739

D8 2484 [D7;D8[ 2175

D9 3471 [D8;D9[ 2900

>=D9 5942

1. La population étudiée l’ensemble des ménages en Mauritanie en 2008 ; chaque ménage est une unité statistique ; le caractère étudié est la dépense annuelle c’est une variable quantitative continue.

2. La dépense annuelle moyenne est donnée par

𝑥 = 𝑓_𝑖𝑥_𝑖

10

𝑖=1

où 𝑥_𝑖 est la moyenne de chaque intervalle et 𝑓_𝑖 sa proportion qui on sait égale à 0.1. Donc 𝑥 = 0.1 𝑥 =_𝑖 314 + 578 + ⋯ + 5942

10 =

10

𝑖=1

1799,3 Donc la dépense moyenne est de 1 799 300 UM

3. On remarque que les moyenne de chaque intervalle est différente du centre de l’intervalle. Donc il n’est pas légitime de faire l’hypothèse d’équirépartition dans les classes définies par les déciles 4. On peut proposer comme indicateur

a. de tendance centrale

o La moyenne =1 799 300 UM o La médiane D5=1 296 000 UM o (D1+D9)/2=1 968 500 UM b. de dispersion

o l’écart inter décile D9-D1=3 005 000 c. de dispersion relative

o l’inter décile relatif =(D9-D1)/D5=2,32

5. On a Me=1296 << 1799,3=moyenne donc la distribution est asymétrique étalée vers les grandes élevées. En général les distributions de revenus, salaires, dépenses sont étalées vers les valeurs élevées. On peut aussi remarquer que (Me<(D1+D9)/2)

6. On a D9/D1=7,45. Les 10% des ménages les plus aisés dépensent pratiquement plus de 7 fois et demi ce que dépensent les 10% des ménages les moins aisés.

7. Calculons les part de chaque intervalle la dépense totale. Comme nous disposons des moyennes de chaque intervalle. On a

𝑠_𝑖= 𝑛_𝑖𝑥_𝑖 et 𝑠 = 𝑛𝑥 donc 𝑝_𝑖 =^𝑠𝑖

𝑠 =^{𝑛𝑖𝑥𝑖}

𝑛𝑥 = 𝑓_𝑖.^𝑥𝑖

𝑥

Les 𝑅_𝑖 sont les parts cumulés c.-à-d. 𝑅_𝑖 = 𝑝₁+ ⋯ + 𝑝_𝑖et donc on a

Décile Valeur du décile intervalle Moyenne de l’intervalle Part dans la dépense totale (100 ∗ 𝑝_𝑖)%

𝑅_𝑖

D1 466 <D1 314 1,75 1,75

D2 682 [D1;D2[ 578 3,21 4,96

D3 868 [D2;D3[ 776 4,31 9,27

D4 1061 [D3;D4[ 968 5,38 14,65

D5 1296 [D4;D5[ 1175 6,53 21,18

D6 1574 [D5;D6[ 1426 7,93 29,11

D7 1921 [D6;D7[ 1739 9,66 38,77

D8 2484 [D7;D8[ 2175 12,09 50,86

D9 3471 [D8;D9[ 2900 16,12 66,98

>=D9 5942 33,03 100,00

Moyenne 1799,3

la part de l’ensemble des dépenses perçus par les 4 dixièmes des ménages aux revenus les plus faibles répresente 14,65% de dépense totale.

8. Courbe joignant les points (𝐹_𝑖, 𝑅_𝑖) (Voir page suivante) La courbe suivante s’appelle courbe de Lorenz.

Figure 1. Courbe de Lorenz Exercice 7

9. L’abscisse du point d’ordonnée 50% est approximativement égale à 80%. Donc les 20% de la population les plus aisées dépense la moitié de la dépense totale, l’autre moitié est dépansée par les 80% les moins aisés.

10. L’ordonnée du point d’abscisse 50% est approximativement égale à 22%. Donc uniquement 22%

de la dépense totale est consommée par 50% (les moins aisés) de la population.

0 20 40 60 80 100

0 20 40 60 80 100

Ri

Fi

11. Calcul de l’indice de Gini. On peut utiliser la formule

𝐼 = 1 − 𝑓_𝑖(𝑅_𝑖+ 𝑅_𝑖−1)

10

𝑖=1

Avec 𝑅₀ = 0.

On reperend le tableau précédent

𝑓_𝑖 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

𝑅_𝑖 0,0175 0,0496 0,0927 0,1465 0,2118 0,2911 0,3877 0,5086 0,6698 1 𝑅_𝑖+ 𝑅_𝑖−1 0,0175 0,0671 0,1423 0,2392 0,3583 0,5029 0,6788 0,8963 1,1784 1,6698

𝑓_𝑖(𝑅_𝑖

+ 𝑅_𝑖−1 0,00175 0,00671 0,01423 0,02392 0,03583 0,05029 0,06788 0,08963 0,11784 0,16698 Σ =0,57506

Donc

𝐼 = 1 − 0,57506 = 0,425

Exercice 8.

1. La population etudiée est l’ensemble des esxploitaions agricoles en France les années 79, 88, 00 et 05. L’unité staitstique est une exploitation agricole et la variable étudiée est la supérficie, c’est une variable quantitative continue.

2. Les effectifs totaux pour chaque année est donnée dans le tableau suivant Effectif total

1979 1988 2000 2005 1263 1017 664 545 1.

a. Soit 𝑐₁, 𝑐₂ 𝑒𝑡 𝑐₃ les taux moyens de variations du nombre des exploitations agricoles pour les trois periodes 1979 -1988, 1988-2000, et 2000- 2005. On a

1 + 𝑐₁ ⁹=1017

1263= 0,805 ⇒ 𝑐₁= 0,805⁹ − 1 = −0,024 = −2,4%

1 + 𝑐₂ ¹² = 664

1017= 0,653 ⇒ 𝑐₁ = 0,653¹² − 1 = −0,035 = −3,4%

1 + 𝑐₂ ⁵=545

664= 0,821 ⇒ 𝑐₁ = 0,821⁵ − 1 = −0,039 = −3,9%

b. Ainsi le taux moyen de variation c sur la période 1979-2005 vérifie

1 + 𝑐 = 0,976^{16 9} ∗ 0,965¹²∗ 0,961⁵= 0,988 ⇒ 𝑐 = −0,032 = −3,2%

Donc le taux moyen de variation du nombre d’exploitation sur la période 1979-2005 est de - 3,2%. Il s’agit d’une moyenne de type géométrique. Le nombre d’expoloitations diminue 2. Les moyennes de SAU pour les années 1979, 1988, 2000 et 2005 :

𝑥 ₁₉₇₉=357 ∗ 2,5 + 410 ∗ 12,5 + 347 ∗ 35 + 114 ∗ 75 + 29 ∗ 150 + 6 ∗ 280

1263 = 25,92

De même

𝑥 ₁₉₈₈ = 30,85; 𝑥 ₂₀₀₀ = 45,05; 𝑥 ₂₀₀₅ = 53,54

On remarque que le nombre d’exploitations diminue et la superfice moyenne augment. On peut donc penser qu’il ya regroupement des exploitations durant la periode 79 à 05.

3. Année 2005 a. Histogramme.

b. Calcul des quartiles. On a 𝐹₁= 0,24 < 0,25 et 𝐹₂ = 0,43 ≥ 0.25 donc 𝑄₁= 𝑙₂⁻+ 𝑎₂0,25 − 𝐹₁

𝑓₂ = 5 + 15 ∗0,25 − 0,24

0,19 = 5,79 De même

𝑄₂= 𝑙₃⁻+ 𝑎₃0,5 − 𝐹₂

𝑓₃ = 20 + 30 ∗0,5 − 0,43

0,2 = 30,5 𝑄₃= 𝑙₄⁻+ 𝑎₄0,75 − 𝐹₃

𝑓₄ = 50 + 50 ∗0,75 − 0,63

0,21 = 78,57

On a

𝑄₁− 1,5 𝑄₃− 𝑄₁ = 5,79 − 1,5 ∗ 78,57 − 5,79 = −103,38 < 𝑥_𝑚𝑖𝑛 = 0

donc 𝑥_𝑏= 0 On a aussi

𝑄₃+ 1,5 𝑄₃− 𝑄₁ = 78,57 + 1,5 ∗ 78,57 − 5,79 = 187,74 < 𝑥_𝑚𝑎𝑥 = 360 donc 𝑥_ℎ = 187,74

classe ai ni fi Fi fi/ai

<5 5 132 0,24 0,24 0,0484 [5 ; 20[ 15 104 0,19 0,43 0,0127 [20 ; 50[ 30 109 0,20 0,63 0,0067 [50 ; 100[ 50 113 0,21 0,84 0,0041 [100 ; 200[ 100 70 0,13 0,97 0,0013 [200 ; 360[ 160 17 0,03 1,00 0,0002

c. Indicateur de tendance centrale : moyenne 53,54 ; mediane 30,5 ; Indicateur de dispersion : ecart interquartile 78,57 − 5,79 = 72,78 ;

Indicateur de dispersion relative : interquartile relative (78,57 − 5,79)/30,5=2,39 d. Pour la courbe de lorenz (SAU année 2005), on a

e. Calcul de l’indice de Gini On a

𝐼 = 1 − 𝑓_𝑖(𝑞_𝑖+ 𝑞_𝑖−1)

6

𝑗 =1

𝑛_𝑖 132 104 109 113 70 17 N=545

𝑓_𝑖 0,242 0,191 0,200 0,207 0,128 0,031 𝑞_𝑖 0,011 0,056 0,187 0,477 0,837 1 𝑞_𝑖+ 𝑞_𝑖−1 0,011 0,067 0,243 0,664 1,314 1,837

𝑓_𝑖(𝑞_𝑖+ 𝑞_𝑖−1) 0,003 0,013 0,049 0,138 0,169 0,057 Σ =0,428

Donc on a

𝐼 = 1 − 0428 = 0,572.

En 2000 l’indice de Gini était 0,606, donc il y a eu une dimuntion de l’inégalité 𝑐_𝑖 𝑛_𝑖 𝐹_𝑖 𝐹_𝑖(%) nici 𝑝_𝑖(%) 𝑞_𝑖(%)

2,5 132 0,24 24 330 1,13 1,1 12,5 104 0,19 43 1300 4,46 5,6 35 109 0,20 63 3815 13,07 18,7 75 113 0,21 84 8475 29,04 47,7 150 70 0,13 97 10500 35,98 83,7 280 17 0,03 100 4760 16,31 100,0

Total 545 1 29180 100 ₀

20 40 60 80 100

0 20 40 60 80 100

Pourcentage (%)

part de SAU (%)