Chapitre 2 : Les fonctions usuelles (partie 1) ; résumé I. Notions élémentaires
1. Limites :
Toujours commencer un calcul de limite par « le calcul formel » Formes indéterminées usuelles : +∞ + (−∞) ; 0 . (±∞) ; 0
0 ; ±∞
±∞ ; 00 Théorème de composition : (toujours faire un schéma de la composition)
𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑎 , 𝑏 𝑒𝑡 𝑙 ∈ ℝ ; 𝑆𝑖 lim
𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑒𝑡 lim
𝑦 →𝑏𝑔 𝑦 = 𝑙 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim
𝑥→𝑎𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑙 Théorème de comparaison :
Si, pour 𝑥 proche de 𝑎 et si, lorsque 𝑥 → 𝑎 alors , lorsque 𝑥 → 𝑎 :
𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 → +∞ 𝑓 𝑥 → +∞
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑔 𝑥 → −∞ 𝑓 𝑥 → −∞
𝑓 𝑥 − 𝑙 ≤ 𝑔(𝑥) 𝑔 𝑥 → 0 𝑓 𝑥 → 𝑙
𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ (𝑥) 𝑔 𝑥 → 𝑙 𝑒𝑡 𝑥 → 𝑙 𝑓 𝑥 → 𝑙 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡𝑡𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑎 lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ≤ lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥) Branches infinies
(𝐶𝑓) et(𝐶𝑔) sont asymptotes l’une à l’autre au voisinage de ±∞ lorsque :
𝑥→±∞lim 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0
On suppose que lim
𝑥→∞𝑓 𝑥 = +∞
𝑆𝑖 lim𝑥→∞𝑓(𝑥)
𝑥 = 0 : branche parabolique de direction (Ox) 𝑆𝑖 lim𝑥→∞𝑓(𝑥)
𝑥 = +∞ : branche parabolique de direction (Oy) 𝑆𝑖 lim𝑥→∞𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑎 ≠ 0 : direction asymptotique de direction 𝑦 = 𝑎𝑥
Si lim𝑥→∞𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 , asymptote « oblique » d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
2. Continuité :
𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐞 𝐞𝐧 𝐚 ⟺ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂)
𝑓 est continue sur l’intervalle 𝐼 ⟺ 𝑓 est continue en a pour tout a de 𝐼 𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐞 à 𝐠𝐚𝐮𝐜𝐡𝐞 𝐞𝐧 𝐚 ⟺ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂−𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂) 𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐞 à 𝐝𝐫𝐨𝐢𝐭𝐞 𝐞𝐧 𝐚 ⟺ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂)
Si 𝑓 et 𝑔 sont continues en 𝑎 , alors
𝑓 + 𝑔 et 𝑓. 𝑔 sont continues en 𝑎 , ainsi que 𝑓
𝑔 lorsque 𝑔(𝑎) ≠ 0
Si 𝑓 est continue en 𝑎 et si 𝑔 est continue en 𝑓(𝑎) alors 𝑔𝑜𝑓 est continue en 𝑎
Les fonctions polynômes, rationnelles, irrationnelles, 𝑙𝑛, 𝑒𝑥𝑝, 𝑐𝑜𝑠, sin et tan sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition Soit 𝑓 définie et continue sur ] 𝑎 ; 𝑏 ] 𝑆𝑖 lim𝑥→𝑎+𝑓 𝑥 = 𝑙
alors on peut prolonger f par continuité à droite en posant : 𝑓 𝑎 = 𝑙 Idem à gauche
On note 𝑓(𝐼) l’ensemble des 𝑓 𝑥 pour 𝑥 ∈ 𝐼 Théorème des valeurs intermédiaires :
si 𝑓 est continue sur l’intervalle 𝐼, alors 𝑓(𝐼) est un intervalle 3. Dérivabilité :
𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐞𝐧 𝒂 ⟺ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂) 𝒙 − 𝒂 ∈ ℝ
Cette limite est alors notée 𝑓′ 𝑎 ; c’est la pente de la courbe de f au point A a, f a c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente en 𝐴
Si cette limite est infinie, la courbe admet une tangente verticale
𝑓 est dérivable sur l’intervalle 𝐼 ⟺ 𝑓 est dérivable en a , pour tout a de 𝐼 Si 𝑓 est dérivable en 𝑎 alors 𝑓 est continue en a (réciproque fausse)
Si 𝑓 et 𝑔 sont dérivables en 𝑎, alors
𝑓 + 𝑔 et 𝑓. 𝑔 sont dérivables en 𝑎 , ainsi que 𝑓
𝑔 lorsque 𝑔(𝑎) ≠ 0
Si 𝑔 est dérivable en 𝑎 et si 𝑓 est dérivable en 𝑔(𝑎) alors 𝑓𝑜𝑔 est dérivable en 𝑎 et on a : 𝑓𝑜𝑔 ′ = 𝑓𝑜𝑔. 𝑔′
Les fonctions polynômes, rationnelles, l𝑛, 𝑒𝑥𝑝, 𝑐𝑜𝑠, sin 𝑒𝑡 tan sont dérivables sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition
Les fonctions irrationnelles sont dérivables sur tout intervalle 𝐬𝐭𝐫𝐢𝐜𝐭𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 inclus dans leur ensemble de définition
On dit que 𝑓 est de classe 𝐶𝑛 sur 𝐼 lorsque 𝑓 admet des dérivées successives jusqu’à l’ordre 𝑛 , toutes continues
𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 à 𝐠𝐚𝐮𝐜𝐡𝐞 𝐞𝐧 𝒂 ⟺ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂−
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂) 𝒙 − 𝒂 ∈ ℝ
𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 à 𝐝𝐫𝐨𝐢𝐭𝐞 𝐞𝐧 𝒂 ⟺ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒂) 𝒙 − 𝒂 ∈ ℝ
𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐞𝐧 𝒂 ⟺
𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 à 𝐝𝐫𝐨𝐢𝐭𝐞 𝐞𝐧 𝒂 𝒇 𝐞𝐬𝐭 𝐝é𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐥𝐞 à 𝐠𝐚𝐮𝐜𝐡𝐞 𝐞𝐧 𝒂
𝒇′𝒅 𝒂 = 𝒇′𝒈 𝒂
II. La fonction logarithme népérien
On appelle fonction logarithme népérien (notée 𝑙𝑛), l’unique primitive sur ]0 ; + ∞ [ de la fonction 𝑥 ⟼ 1
𝑥 et qui s’annule pour 𝑥 = 1
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ]0 ; +∞ [2 ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln(𝑦)
∀ 𝑥 ∈ ]0 ; +∞ [ ln 1
𝑥 = − ln 𝑥
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ]0 ; +∞ [2 ln x
y = ln 𝑥 − ln(𝑦)
∀ 𝑥 > 0 ∀ 𝑛 ∈ ℚ ln 𝑥𝑛 = 𝑛 ln 𝑥
𝑥→+∞lim ln 𝑥
x = 0 ; lim
𝑥→𝑜+𝑥 ln 𝑥 = 0
𝑥→0lim
ln(1 + 𝑥) 𝑥 = 1
ln 𝑒 = 1 et ln 𝑒𝑛 = 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℚ ; 𝑒 ≈ 2,71828 courbe : voir « exp »
III. Bijection et réciproque
𝑓 est une 𝐛𝐢𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 de 𝐼 vers 𝐽 lorsque : 1) Tout 𝑥 de 𝐼 admet une seule image 𝑦 dans 𝐽 2) Tout 𝑦 de 𝐽 admet un seul antécédent 𝑥 dans 𝐼
Si 𝑓 est une bijection, alors 𝑓 admet une bijection réciproque notée 𝑓−1 et il y a équivalence :
𝑓 ∶ 𝐼 → 𝐽
𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑓−1: 𝐽 → 𝐼 𝑦 ⟼ 𝑥 = 𝑓−1(𝑦)
On a 𝑓𝑜𝑓−1 = 𝑓−1𝑜𝑓 = 𝐼𝑑
Dans un repère orthonormal, les courbes de 𝑓 et de 𝑓−1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥
Théorème de la bijection :
Si 𝑓 est continue et strictement monotone sur l’intervalle 𝐼 , alors 𝑓 réalise une bijection de 𝐼 vers l′intervalle 𝐽 = 𝑓(𝐼)
La réciproque 𝑓−1 est aussi continue et strictement monotone, de même monotonie Si de plus, 𝑓 est dérivable sur 𝐼 et si 𝑓′ ne s’annule pas sur 𝐼, alors 𝑓−1 est dérivable sur 𝐽 et (𝒇−𝟏)′ = 𝟏
𝒇′𝒐𝒇−𝟏
IV. La fonction exponentielle de base « e »
On appelle fonction exponentielle de base « 𝑒 » la réciproque de la fonction 𝑙𝑛
𝑙𝑛 : ]0 ; +∞ [ → ℝ
𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) ⟺ 𝑒𝑥𝑝 : ℝ → ]0 ; +∞ [ 𝑦 ⟼ 𝑥 = exp(𝑦)
∀𝑥 ∈ ℝ exp 𝑥 = 𝑒𝑥
∀𝑥 ∈ ℝ ln 𝑒𝑥 = 𝑥 𝑒𝑡 ∀𝑥 ∈ ]0 ; +∞ [ 𝑒ln 𝑥 = 𝑥
∀𝑥 ∈ ℝ 𝑒𝑥𝑝′ 𝑥 = exp(𝑥)
Propriétés algébriques :
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥𝑒𝑦 ; ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑒𝑥−𝑦 =𝑒𝑥
𝑒𝑦 ; ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑒−𝑥 = 1 𝑒𝑥
∀ 𝑛 ∈ ℚ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑒𝑥)𝑛 = 𝑒𝑛𝑥 lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑥 = +∞ ; lim
𝑥→−∞𝑥 𝑒𝑥 = 0 ; lim
𝑥→0
𝑒𝑥 − 1 𝑥 = 1
V. Les fonctions « logarithme de base a » : 𝑎 > 0 𝑎 ≠ 1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =ln(𝑥)
ln(𝑎) ∀𝑥 ∈]0 ; +∞[ ; (𝑙𝑜𝑔𝑎′ 𝑥 = 1 𝑥𝑙𝑛(𝑎) Propriétés algébriques : les mêmes que celles de « 𝑙𝑛 »
VI. Les fonctions « puissances » et « exponentielle de base a » Définition :
∀𝑎 > 0 , ∀𝑏 ∈ ℝ on note 𝑎𝑏 le réel 𝑒𝑏𝑙𝑛 (𝑎)
1. Fonctions « puissances »
Soit 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑎 ∀𝑥 ∈ ]0 ; +∞ [ (la puissance est fixe)
Si 𝑎 = 𝑛 est un entier pair non nul
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ]0 ; +∞ [2 𝑦 = 𝑥𝑛 ⟺ 𝑥 = 𝑦𝑛 = 𝑦1𝑛
Si 𝑎 = 𝑛 est un entier impair ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ² 𝑦 = 𝑥𝑛 ⟺ 𝑥 = 𝑦𝑛 = 𝑦1𝑛
Si a est un nombre rationnel (𝑎 =𝑝
𝑞 ) : 𝑥𝑎 = 𝑥
𝑝
𝑞 = 𝑥𝑞 𝑝 (L’ensemble des valeurs possibles pour 𝑥 est dépendant de 𝑝 et de 𝑞)
Les propriétés algébriques bien connues pour 𝑛 et 𝑝 dans ℤ , s’étendent à ℚ ainsi qu’à ℝ
2. Fonction exponentielle de base a : 𝑎 > 0 𝑎 ≠ 1
∀𝑥 > 0 ∀𝑦 ∈ ℝ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑎𝑦 (la puissance est variable) C'est-à-dire la réciproque de la fonction 𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑎𝑥+𝑦 = 𝑎𝑥𝑎𝑦 etc …(cf fonction exp)
𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 est dérivable sur ℝ (et donc continue) et 𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑥 𝑙𝑛(𝑎)
3. Compléments :croissances comparées
∀𝛼 > 0 ∀𝛽 > 0 lim
𝑥→+∞
(𝑙𝑛𝑥 )𝛼
𝑥𝛽 = 0 : (𝑙𝑛𝑥)𝛼 est négligeable par rapport à 𝑥𝛽 lim
𝑥→+∞ 𝑥𝛽
𝑒𝛼𝑥 = 0 : 𝑥𝛽 est négligeable par rapport à 𝑒𝛼𝑥 lim𝑥→0 𝑥𝛽(𝑙𝑛𝑥)𝛼 = 0
Les autres cas sont, soit triviaux, soit s’en déduisent On retient le moyen mnémotechnique
Quand il y a une forme indéterminée ∶ 𝑙𝑛 ≪ 𝑥 ≪ 𝑒𝑥𝑝
VI Primitives et intégrales a) Primitive
Définition : Une primitive de 𝑓 sur l’intervalle 𝐼 est une fonction 𝐹 dérivable sur 𝐼 et telle que 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥)
On note 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 une primitive quelconque de 𝑓 (notation ambigüe) Théorème : Si f est continue sur I alors F admet une primitive sur I Propositions :
Soit 𝐹 une primitive de 𝑓 sur 𝐼 ;
On a : 𝐺 primitive de 𝑓 sur 𝐼 ⟺ ∃𝑘 ∈ ℝ 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑘
Soit 𝐹 une primitive de 𝑓 sur 𝐼 et 𝑥0 ∈ 𝐼 et 𝑦0 ∈ ℝ ; il existe une unique primitive de 𝑓 sur 𝐼 telle que 𝐺 𝑥0 = 𝑦0
L’intégration par parties :
Si 𝑢 et 𝑣 sont de classe 𝐶1 sur , on a : 𝑢 𝑥 𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣(𝑥) – 𝑢′ 𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 b) Calcul intégral
Définition :
Soit 𝑓 définie et continue sur 𝐼 et 𝐹 une primitive de 𝑓 sur 𝐼 ; 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼 On appelle intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏 le réel 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝐹(𝑥) 𝑎𝑏 Propriétés : (NB : la lettre « 𝑥 » est muette)
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 ; 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏 𝑐 𝑎
𝑎
1𝑑𝑥
𝑏 𝑎
= 𝑏 − 𝑎 ; 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏 𝑎
− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎 𝑏
Linéarité : (𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 =𝑎𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +𝑎𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 et 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑎𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 L’intégration par parties :
Si 𝑢 et 𝑣 sont de classe 𝐶1 sur 𝐼 et 𝑎 et 𝑏 dans , on a :
𝑢 𝑥 𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣(𝑥) 𝑎𝑏− 𝑢′ 𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥
𝑏 𝑎 𝑏
𝑎
Intégrale et aire :
Si : 𝑎 ≤ 𝑏
𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] alors 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 mesure l’aire délimité par
l’axe (ox) la courbe de f
les droites d’équation x = a et x = b
Mini formulaire :
Formules en « x » Formules en 𝑢 et 𝑣
𝑥𝑛 𝑥𝑛 +1
𝑛 + 1 (𝑛 ≠ −1) 𝑢 + 𝑣 𝑈 + 𝑉
1
𝑥² −1
𝑥 𝑘 𝑢 𝑘 𝑈
1
𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑢𝑛𝑢′ 𝑢𝑛+1
𝑛 + 1 (𝑛 ≠ −1) 𝐶𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) 1
𝑎𝑆𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑢′
𝑢² − 1
𝑢 𝑆𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) −1
𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑢′
𝑢 ln( 𝑢 )
𝑒𝑎𝑥 +𝑏 1
𝑎 𝑒𝑎𝑥 +𝑏
Et toutes les formules de dérivées « à l’envers »
