CALCUL INTÉGRAL I – Primitives
1o) Définition Définition 1 :
Soitf ∈C0([a,b]).
On appelleprimitivedef sur [a,b] toute fonctionFdéfinie et dérivable sur [a,b], telle queF0=f.
2o) Propriétés
On admet le résultat suivant, qui donne une condition suffisante d’existence (résultat prouvé plus loin) : Propriété 1 :
Toute fonction continue sur un segment admet une primitive sur ce segment.
En ce qui concerne l’unicité, il y a uniquement unicité « à une constante près ».
Propriété 2 :
Soit f ∈C0([a,b]), et F une primitive de f sur[a,b].
G définie sur[a,b]est une primitive de f ssi∃k∈R,∀x∈[a,b], G(x)=F(x)+k.
Démonstration : On raisonne par équivalences, et on utilise la caractérisation des fonctions constantes.
Corollaire 1 :
Soit f ∈C0([a,b]). Pour tout x0∈[a,b]et tout réel y0, il existe une unique primitive de f valant y0en x0. Démonstration : On montre l’unicité, puis l’existence (selon le principe classique de l’analyse-synthèse).
II – Intégrales
1o) Définition Définition 2 :
Soit (a,b)∈R2etf continue sur le segment d’extrémitésaetb.
On appelleintégrale deaàbdef, et l’on note Z b
a f(x)dx, le réel Z b
a f(x)dx=F(b)−F(a)notation= £ F(x)¤b
a oùFdésigne une primitive def sur [a,b].
Remarque :
– La valeur de l’intégrale ne dépend pas de la primitive choisie : siGest une primitive de f différente deF, alors d’après la propriété 2,∃k∈R∗,∀x∈[a,b],G(x)=F(x)+k. DoncG(b)−G(a)=F(b)+k−¡
F(a)+k¢
= F(b)−F(a).
– aetbsont appelées lesbornes de l’intégrale.
– x est une variable muette, pouvant être remplacée par une lettre quelconque. Le dxpermet entre autres d’indiquer la variable sur laquelle porte l’intégration, en cas de présence de plusieurs variables. Il s’inter- prète aussi graphiquement.
Exemple 1 : Calculer Z p3
1
2 1+x2dx.
On déduit immédiatement de la définition : Propriété 3 :
Soit(a,b)∈R2et f continue sur le segment d’extrémités a et b.
Alors Z b
a f(x)dx= − Z a
b f(x)dx et Z a
a f(x)dx=0.
2o) Interprétation graphique Propriété 4 :
Soit f ∈C0([a,b])(a<b), f positivesur[a,b], etCf sa courbe représentative dans un repère orthogonal
¡O;−→ı,−→¢ . Alors
Z b
a f(x)dx mesure l’aire sous la courbe entre a et b exprimée enunités d’aire, c’est-à-dire l’aire de la région du plan délimitée par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b.
Remarque : L’unité d’aireest l’aire du rectangleOI K Joù les pointsI etJsont tels queOI−→= −→ı etO J−→= −→.
0 1 2 3 4
−1
−2 0
1 2 3 4 5
Cf
Z3
−1f(x)dx
b b
b b
I
J K
1 u.a.
Démonstration : On noteA la fonction qui à tout réelx0∈[a,b] associe l’aire de la région du plan délimitée par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=x0: on montre queA est dérivable à droite en toutx0∈[a,b[ en prouvant que∀h∈]0,b−x0],h f(mh)≤A(x0+h)−A(x0)≤h f(Mh) oùf(mh)= min
[x0,x0+h]f et f(Mh)= max
[x0,x0+h]f, et queAd0(x0)=f(x0). Le même raisonnement à gauche donne la dérivabilité.
Lorsque la fonction est continue mais plus nécessairement de signe constant, le lien entre l’intégrale et l’aire peut toujours se faire, en tenant compte du signe de la fonction.
Propriété 5 :
Soit f ∈C0([a,b])(a<b) etCf sa courbe représentative dans un repère orthogonal¡
O;−→ı ,−→¢ . Si f estnégativesur[a,b], alors
Z b
a f(x)dx= −A , oùA est l’aire de la région du plan délimitée par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b.
Si f est de signe quelconque sur[a,b], alors Z b
a f(x)dx=A1−A2 , oùA1est l’aire de la région du plan délimitée par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b et située au-dessus de l’axe des abscisses, etA2est l’aire de la région du plan délimitée par la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b et située en-dessous de l’axe des abscisses.
0 1 2
−1
−2
−3 0
1 2
−1
−2
A1
A2
Cf
Exemple 2 : On considère f etg définies sur
·1 2,1
¸
par f(x)=p
2xetg(x)=ln(x). Calculer l’aire (en cm2) de la région du plan délimitée par les courbesCf etCg, et les droites d’équationsx=1
2 etx=1, dans un repère orthonormé tel quek~ık =°°~°°=2 cm.
3o) Propriétés
a) Linéarité Propriété 6 :
Soient f et g deux fonctions continues sur[a,b], où a<b, etαetβdeux réels.
Alors Z b
a
¡αf(x)+βg(x)¢
dx=αZ b
a f(x)dx+βZ b
a g(x)dx .
Démonstration : Admis (immédiat, utilise une propriété concernant l’obtention d’une primitive d’une combinai- son linéaire).
La propriété précédente peut s’interpréter en terme d’aire : par exemple, l’aire sous la courbe de la somme de deux fonctions est égale à la somme des aires sous la courbe des deux fonctions.
b) Positivité Propriété 7 :
Soit f une fonction continue etpositivesur[a,b], où a≤b.
Alors Z b
a f(x)dx≥0.
Démonstration : Si f est positive sur [a,b], ses primitives sont croissantes sur [a,b]...
Remarque : L’hypothèsea ≤b est fondamentale puisque si f est continue et positive surRet sib≤a, alors Z b
a f(x)dx= − Z a
b f(x)dx≤0.
Propriété 8 :
Soit f une fonction continue etpositivesur[a,b], où a<b.
Si Z b
a f(x)dx=0, alors f est l’application nulle sur[a,b].
Démonstration : Fest croissante sur [a,b] et prend la même valeur enaetb, doncFest constante...
c) Relation de Chasles Propriété 9 :
Soit f ∈C0([a,b]).
∀(c,α,β)∈[a,b]3, on a Z β
α f(x)dx= Z c
α f(x)dx+ Z β
c f(x)dx . Démonstration : Évident avec la définition de l’intégrale !
Remarque : Sif est continue surR, alors la relation est vraie pour tout réelc(compris ou non entreaetb).
Graphiquement, la relation de Chasles est très claire :
0 1 2 3 4
−1
−2 0
2 4
Cf
a c b
Application :sif est continue et positive sur [a,b], alors∀(c,d)∈[a,b]2, Z d
c f(x)dx≤ Z b
a f(x)dx.
d) Intégrale et inégalités Propriété 10 :
Soient f et g deux fonctions continues sur[a,b], où a≤b.
Si f ≤g , alors Z b
a f(x)dx≤ Z b
a g(x)dx (croissance de l’intégrale).
Géométriquement, sif etgsont positives et si la courbe représentative def est en dessous de celle deg, alors l’aire sous la courbe def est inférieure à l’aire sous la courbe deg.
Démonstration : On utilise linéarité et positivité.
Exemple 3 : On montre que∀x∈R+,x−x3
6 ≤sin(x)≤xpar intégrations successives.
Corollaire 2 :
Soit f une fonction continue sur[a,b].
Si∀x∈[a,b], on a m≤f(x)≤M, alors m(b−a)≤ Z b
a f(x)dx≤M(b−a) (inégalité de la moyenne).
Démonstration : La propriété précédente, avecgconstante égale àM, puis constante égale àm.
Méthode 1 : Pour encadrer une intégrale, on commence par encadrer la fonction f qui est intégrée. Un cas particu- lier fréquent et simple est celui où la fonction est monotone sur l’intervalle considéré : elle est alors encadrée par ses valeurs aux bornes de l’intervalle. On applique ensuite la propriété précédente, en s’assurant que la borne inférieure est bien plus petite que la borne supérieure.
Exemple 4 : On posef(x)= Z x
2
dt
ln(t). Montrer quef est définie sur ]1 ,+∞[, encadrerf puis en déduire sa limite en+∞.
Propriété 11 :
Soit f ∈C0([a,b]), où a≤b.
¯¯
¯¯ Z b
a f(x)dx
¯¯
¯¯≤ Z b
a
¯¯f(x)¯¯dx .
Démonstration : ∀x∈R,−|x| ≤x≤ |x|, ce qu’on applique àf(x), puis on intègre.
La propriété précédente sera bien utile pour majorer des intégrales, dans le cas de la recherche de limites notamment.
e) Intégrales et primitives Propriété 12 :
Soit f ∈C0(I)où I est un intervalle, et a∈I . La fonction F définie sur I par F(x)=
Z x
a f(t)dt est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a.
Démonstration : Évident, d’après la définition de l’intégrale ! Remarque : On déduit du résultat précédent que
µZ x
a f(t)dt
¶0
=f(x).
Exemple 5 :
– ∀x∈R+∗, ln(x)= Z x
1
dt
t . Revenons également à l’exemple précédent pour écrire la dérivée def.
– Soit f une fonction continue sur l’intervalle I, I contenant 0 et étant centré en 0. On pose ∀x ∈ I, F(x)=
Z x 0 f(t)dt.
On montre alors queF est paire (resp. impaire) surI ssif est impaire (resp. paire) surI, en s’intéressant de près à la fonctionG : x7→F(x)−F(−x) (resp.G : x7→F(x)+F(−x)) et en raisonnant par équivalences successives.
Corollaire 3 :
Soit f ∈C0(I)où I est un intervalle, u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle J et à valeurs dans I .
La fonction x 7−→
Z v(x)
u(x) f(t)dt est définie et dérivable sur J, et ∀x ∈ J, µZ v(x)
u(x) f(t)dt
¶0
=v0(x)f¡ v(x)¢
−u0(x)f¡ u(x)¢
.
Démonstration : Un peu de relation de Chasles avec un pointa∈I, la propriété précédente et la dérivation des fonctions composées.
Exemple 6 : Dérivabilité et dérivée dex7→
Z x2 x
p1−t2dt. Application :
– si f est une fonction continue et paire sur [−a,a], alors Z a
−af(x)dx=2 Z a
0 f(x)dx (dériver la fonction x7→
Z x
−xf(t)dt−2 Z x
0 f(t)dt) ;
– sif est une fonction continue etimpairesur [−a,a], alors Z a
−af(x)dx=0 et Z 0
−af(x)dx= − Z a
0 f(x)dx(dé- river la fonctionx7→
Z x
−xf(t)dt) ;
– si f est une fonction continue et périodique de période T sur R, alors pour tout réel a, Z a+T
a f(x)dx= Z T
0 f(x)dx (dériver la fonctionx7→
Z x+T
x f(t)dt).
Exemple 7 : Intégrale d’une fonctionT-périodique et impaire sur sa période.
4o) Valeur moyenne Définition 3 :
Soitf ∈C0([a,b]).
On appellevaleur moyennedef sur l’intervalle [a,b], le nombre réel 1 b−a
Z b
a f(x)dx . Remarque :
– La valeur moyenne de f est la valeur que doit prendre une fonction constante sur [a,b] pour qu’elle ait la même intégrale que f sur [a,b]. Graphiquement, pour une fonction positive, c’est la hauteur du rectangle de largeurb−aet dont l’aire est égale à l’aire sous la courbe def.
– Le corollaire 2 s’interprète en terme de valeur moyenne : sif prend ses valeurs entremetM, alors la valeur moyenne def est comprise entremetM.
– Pour une fonction affine, on peut montrer que la valeur moyenne est atteinte au milieu de l’intervalle : elle vautf
µa+b 2
¶
= f(a)+f(b)
2 .
À partir de l’interprétation graphique, en approchant l’aire sous la courbe par une somme d’aires de rectangles de plus en plus petits, on conjecture le résultat suivant :
Théorème 1 :
Soit f ∈C0([0,1]).
Alors lim
n→+∞
1 n
n−1X
k=0
f µk
n
¶
= Z 1
0 f(x)dx= lim
n→+∞
1 n
Xn k=1
f µk
n
¶ .
Démonstration : Admis par manque de temps hélas.
Remarque : Rn(f)=n−1X
k=0
1 nf
µk n
¶
est appelée somme de Riemann d’ordren associée à f sur l’intervalle [0,1] : le théorème précédent garantit que, pour une fonction continue sur [0,1], les sommes de Riemann convergent vers l’intégrale de la fonction sur [0,1].
Interprétations :
– la moyenne des valeurs de f prises surnpoints de la subdivision régulièrex0,x1, ...,xntend vers la valeur moyenne def sur [0,1].
– graphiquement, cela correspond à la méthode des rectangles pour calculer la valeur approchée d’une inté- grale.
– l’intégrale peut ainsi être vue comme une somme infinie, une « somme continue ». Intégrales et sommes vérifient les mêmes propriétés.
Exemple 8 : Montrer que lim
n→+∞
1+p
2+...+pn
npn =2
3. 5o) Extension
Il n’est pas nécessaire qu’une fonction soit continue pour que l’on puisse définir son intégrale : la continuité par morceaux suffit.
Définition 4 :
Soitf définie sur [a,b].
On dit quef estcontinue par morceauxsur [a,b] sif est continue sur [a,b] sauf en un nombre fini de points, c’est-à-dire s’il existe des réelsx0,x1, ...,xntels quea=x0<x1<...<xn−1<xn=bet :
– ∀k∈££
0,n−1¤¤
,f est continue sur ]xk,xk+1[.
– ∀k∈££
0,n−1¤¤
,f admet une limite finie à droite enxk. – ∀k∈££
1,n¤¤
,f admet une limite finie à gauche enxk. Exemple 9 : Un petit graphique.
f étant continue sur chaque intervalle ]xk,xk+1[ avec limite finie à gauche enxk et à droite enxk+1, elle est prolongeable par continuité sur [xk,xk+1], ce qui permet ensuite de définir son intégrale.
Définition 5 :
Soitf une fonction continue par morceaux sur [a,b], continue sauf ena=x0<x1<...<xn−1<xn=b.
∀k∈££
0,n−1¤¤
, on note ˜fkla fonction définie sur [xk,xk+1] par : – ∀x∈]xk,xk+1[, ˜fk(x)=f(x).
– ˜fk(xk)=lim
x→xk x>xk
f(x) et ˜fk(xk+1)= lim
x→xk+1 x<xk+1
f(x).
On définit l’intégrale def deaàbcomme étant le réel Z b
a f(x)dx=
nX−1 k=0
Z xk+1
xk
f˜k(x)dx .
Remarque : L’essentiel des propriétés de l’intégrale reste vraie pour l’intégrale des fonctions continues par mor- ceaux (sauf l’intégrale nulle d’une fonction positive).
Un cas particulier est celui d’une fonction constante par morceaux : Définition 6 :
Soitf définie sur [a,b].
On dit que f esten escaliersur [a,b] si f est constante par morceaux sur [a,b], c’est-à-dire s’il existe des réelsx0,x1, ...,xntels quea=x0<x1<...<xn−1<xn=bet∀k∈££
0,n−1¤¤
,f est constante sur ]xk,xk+1[.
Exemple 10 : Les sommes de Riemann correspondent à l’intégrale de fonctions en escalier.
III – Méthodes d’intégration
1o) Intégration par parties
La méthode de primitivation par parties peut être adaptée au calcul d’intégrales de produits de fonctions.
Théorème 2 :
(Intégration par parties)
Soient u et v deux fonctions de classe C1sur[a,b].
Alors Z b
a u0(x)v(x) dx=h
u(x)v(x)ib a−
Z b
a u(x)v0(x) dx .
Démonstration : On dériveuv, et on obtient le résultat par linéarité de l’intégrale.
Remarque : On rappelle que lorsque la fonction à intégrer est le produit d’unpolynômeet d’une fonctionexpo- nentielle, ou le produit d’unpolynômeet d’une fonctioncirculaire, on dérive le polynôme .
Exemple 11 : Montrer que Z π
0 sin(2x)(2x−3) dx= −π, et que Z x
0 etsin(t) dt=1 2
£1+ex¡
sin(x)−cos(x)¢¤
. 2o) Intégration par changement de variables
Théorème 3 :
(Intégration par changement de variables)
Soient f une fonction continue sur un intervalle I etϕune fonction de classe C1 sur un intervalle J à valeurs dans I .
Alors∀(c,d)∈J2, si a=ϕ(c)et b=ϕ(d), alors Z b
a f(x) dx= Z d
c f¡ ϕ(t)¢
ϕ0(t) dt . On dit qu’on a effectué lechangement de variablesx=ϕ(t).
Démonstration : On montre queF◦ϕest de classe C1sur [c,d] et que c’est une primitive de (f ◦ϕ)×ϕ0sur [c,d], et le tour est joué.
Remarque : Un changement de variables nécessite donc 4 étapes :
– vérifier queϕest de classe C1sur un intervalleJà déterminer (lié au calcul des bornes) ; – déterminer les bornes de la nouvelle intégrale (recherche d’antécédents parϕsurJ) ; – remplacer tous lesxparϕ(t) ;
– remplacer dxparϕ0(t)dt(on retrouve la notation différentielle :x=ϕ(t) donneϕ0(t)=dϕ dt =dx
dt).
Exemple 12 : CalculerI= Z 1
0
p1−x2dx, puis retour sur l’exercice 4 du TD : autre démonstration dans le cas où f est de classe C1.
