Chapitre 2 : Sous-ensembles de R
/ Maîtriser les opérations compatibles avec l'ordre ≤.
/ Manipuler et interpréter géométriquement la valeur absolue.
/ Discerner les les concepts de majorant/maximum/sup.
/ Savoir manipuler la partie entière d'un réel.
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La construction des nombres réels devient nécessaire à partir des années 1860 dans le but de faire reposer l'analyse sur des fondements rigoureux. Jusqu'à cette date, l'existence des réels et leurs propriétés sont admises, comme c'est le cas dans notre cours. En 1817, Bolzano établit qu'une partie non vide majorée de réels admet une borne supérieure, dans un mémoire resté malheureusement peu répandu. Les premières constructions rigoureuses des nombres réels apparaissent autour des années 1870.
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1 Ordre dans R
1.1 Relation d'ordre
Une relation d'ordre≺dansRest une relation entre les éléments deRqui vérie : 1. ∀x∈R,x≺x(réexivité)
2. ∀x, y∈R,x≺y et y≺x=⇒x=y (anti-symétrie) 3. ∀x, y, z∈R,x≺yet y≺z=⇒x≺z (transitivité) Dénition 1 (Relation d'ordre).
Exemple 1. L'ordre naturel≤dansRest une relation d'ordre.
Soitx, y, a, b∈R.
1. x≤y=⇒x+a≤y+a 2. (x≤yet 0≤a) =⇒ 3. (x≤yet a≤0) =⇒
4. (x≤y et a≤b) =⇒
5. (0≤x≤y et0≤a≤b) =⇒ 6. Sixy >0,x≤y=⇒
Proposition 1 (Propriétés de la relation d'ordre).
1.2 Valeur absolue
La valeur absolue| |est la fonction dénie surRpar :
|x|= max{x,−x}=
( x si x≥0
−x si x <0 Dénition 2 (Valeur absolue).
Exemple 2. On a| −2|= 2. Sia <0alors|a|=. . ..
Soitx, y∈R. On a : 1. |x| ≥0
2. |x|= 0⇔x= 0
3. √
x2=|x|
4. |xy|=|x||y|
5. Siy6= 0, x y
=|x|
|y|
Proposition 2 (Propriétés de la valeur absolue).
Soitx, y∈R. On a :
|x| − |y|
≤ |x+y| ≤ |x|+|y|
avec égalité si et seulement si
Proposition 3 (Inégalités triangulaires).
Soita∈Ret r≥0. On a :
1. |x−a| ≤r⇐⇒a−r≤x≤a+r.
2. |x−a|> r⇐⇒x > a+r ou x < a−r.
Proposition 4 (Caractérisation d'un encadrement).
1.3 Intervalles
Un intervalleIdeRest un sous-ensemble deRqui vérie :
∀a, b∈I, [a, b]⊂I.
Dénition 3 (Intervalle).
Exemple 3.R∗ n'est pas un intervalle.[0,1],]0,1],[1,+∞[,Rsont des intervalles.
2 Sous-ensembles bornés
Dans cette partie,X désigne une partie deRnon vide.
2.1 Majorant/minorant d'une partie
SoitM ∈R. On dit queM est un majorant (resp. minorant) deX si :
∀x∈X, x≤M (resp. ∀x∈X, x≥M).
Dénition 4 (Majorant/minorant).
Exemple 4. . . . est un majorant de[0,3[et un minorant de[3,4].
PCSI Troyes Sous-ensembles de R 1
On dit que X est majorée (resp. minorée) si X admet un majorant (resp. un mino- rant).
Dénition 5 (Partie majorée/minorée).
Exemple 5.[0,+∞[est . . . mais pas . . . .
On dit queX est bornée siX est à la fois majorée et minorée.
Dénition 6 (Partie bornée).
Exemple 6.[0,1[et [0,1]sont deux parties bornées.
SoitX une partie non vide deR.X est bornée si et seulement si
∃C∈R+, ∀x∈X, |x| ≤C.
Proposition 5 (Caractérisation d'une partie bornée).
2.2 Maximum/minimum d'une partie
Soit m ∈ R. On dit que m est le maximum (resp. minimum) de X si m est un majorant (resp. minorant) deX et sim appartient à X. On notem= max(X)(resp.
m= min(X)).
Dénition 7 (Maximum/minimum).
Exemple 7.3 n'est pas le . . . de[0,3[et est le . . . de[3,4].
2.3 Bornes supérieure/inférieure d'une partie
Soit S ∈ R. On dit que S est la borne supérieure de X si S est le minimum de l'ensemble des majorants de X. S est le plus petit des majorants de X et est noté sup(X).
Dénition 8 (Borne supérieure).
Soit I ∈ R. On dit que I est la borne inférieure de X si I est le maximum de l'ensemble des minorants de X. S est le plus grand des minorants de X et est noté inf(X).
Dénition 9 (Borne inférieure).
Exemple 8. . . . est la borne supérieure de[0,3[et est la borne inférieure de [3,4].
SupposonsX majorée.S est la borne supérieure deX si et seulement si : 1. S majoreX;
2. ∀ε >0, ∃x∈X, S−ε < x≤S.
Proposition 6 (Caractérisation de la borne sup).
• SiX est une partie non vide majorée deRalorsX admet une borne
• SiX est une partie non vide minorée deRalorsX admet une borne Axiome 7 (Existence d'une borne sup/inf).
3 Sous-ensembles classiques
3.1 N , Z , D
• L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble N={0,1,2, . . .}.
• L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble
Z={n, n∈N} ∪ {−n, n∈N∗}={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}.
• L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble D=n p
10n, p∈Z, n∈N o
. Dénition 10 (N,Z,D).
Exemple 9. Les entiers naturels sont aussi relatifs. Les entiers relatifs sont nombres déci- maux. Il existe des nombres décimaux qui ne sont pas des entiers.
• Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément (minimum).
• Toute partie non vide majorée deNadmet un plus grand élément (maximum).
Axiome 8 (Minimum et maximum d'une partie deN).
PCSI Troyes Sous-ensembles de R 2
3.2 Q et R \ Q
• L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble Q=
p
q, p∈Z, q∈N∗
.
• L'ensemble des nombres irrationnels est l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels.
Dénition 11 (Qet R\Q).
Exemple 10.√
2, π, e∈R\Q.
4 Partie entière
Pour tout réelx, il existe un unique entier relatifntel que : n≤x < n+ 1.
Cet entiern, uniquement déterminé parx, est appelé partie entière dexet notébxc. Dénition 12 (Partie entière d'un réel).
Exemple 11. On a :bπc= 3,bec=. . . et b−sin(1)c=. . .
1. Pour toutx∈Ret pour toutn∈Z, on abx+ncx=bxc+n. 2. Pour toutx∈Ret pour toutn∈N∗, on anx−1<bnxc ≤nx. 3. x7−→ bxcest croissante surR.
4. Pour tousx, y∈R, on a bxc+byc ≤ bx+yc ≤ bxc+byc+ 1. Proposition 9 (Propriétés de la partie entière).
PCSI Troyes Sous-ensembles de R 3
