Les lentilles magnétiques quadrupolaires sans fer : Réalisation de répartitions d'induction à gradient constant

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Les lentilles magnétiques quadrupolaires sans fer :

Réalisation de répartitions d’induction à gradient

constant

Albert Septier

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

1,E RADIUM

PHYSIQUE

APPLIQUÉE

LES LENTILLES

MAGNÉTIQUES

QUADRUPOLAIRES

SANS FER : Réalisation de

_{répartitions}

d’induction à

_gradient

constant

Par ALBERT

_’SEPTIER,

Laboratoire

d’Électronique

et Radioélectricité de la Faculté des Sciences de Paris

_(*).

Résumé. 2014

Après un _rappel des _{propriétés générales} des _champs dans un _système à _symétrie

quadrupolaire,

l’auteur établit les _expressions de l’induction _magnétique et de son _gradient radial dans le cas de quatre nappes de courants ou de _quatre bobines _épaisses sans fer. Un choix

conve-nable des dimensions transversales des bobines _permet d’obtenir dans toute la zone utile entourant l’axe du _système un gradient constant à mieux que 1020142 près.

Des lentilles _{quadrupolaires} sans fer seraient donc, à ce _point de vue, nettement

_supérieures

aux lentilles

_{quadrupolaires classiques.}

Abstract. 2014 After

recalling

the _{general properties} of the fields in a _system with

quadrupolar

symmetry, the author _gives the _expressions of the magnetic field and its radial gradient, in a

system consisting of four sheets of currents, or four thick coils without iron. _{By properly choosing} the transversal dimensions of the coils, it is

_possible

to obtain for the _{gradient, in the whole space} around the axis, a flatness which is better than 1020142.

From this _point of view, strong focusing lenses without iron are better than

quadrupolar

lenses of classical _design.

Tome 2l

SUPPLÉMENT AU No 3 MARS 1960

1. Introduction. -- L’obtention de

champs

magnétiques homogènes

ou

_inhomogènes

dont

l’intensité

_dépasse

_quelques

dizaines de milliers

d’Oersted n’est

_possible

_qu’avec

des électro-aimants

spéciaux

consommant des

_puissances

_électriques

considérables,

ou bien avec des bobines sans

_fer,

pour

lesquelles

le

phénomène

de saturation d’un matériau

_{ferromagnétique}

ne

_joue

_pas. De

nom-breuses

_publications

ont décrit la réalisation de

champs

très intenses à l’aide de

_{solénoïdes ;}

un

synchrotron

à

_protons

sans fer est en voie de

réali-sation,

donnant

_l’exemple

de

_{champs inhomogènes}

intenses dans un volume considérable.

L’emploi

de

bobines sans fer

_permet

en outre une alimentation

en

_impulsions

de courant courtes

_(par

suite de la

self induction réduite des

circuits),

mettant en

_jeu

des courants de

_plusieurs

milliers

_{d’Ampères,}

avec une

_puissance

_{moyenne réduite.}

(*) 33, avenue du _{Général-Leclerc, Fontenay-aux-Roses,} Seine.

On

_peut

_{songer à étendre} ces

_avantages

aux

lentilles à focalisation forte. Dans une lentille

qua-drupolaire classique

l’induction ne

_peut

_que

diffi-cilement

_dépasser

10 000 Gauss sur le sommet des

pôles,

par suite de la saturation

rapide

des

supports

de

_{pièces polaires.}

D’autre

_part,

un

_grand

nombre

d’accélérateurs de très haute

_énergie

fonctionnent

en

_impulsions,

ce

_qui

_permet

_{d’envisager}

une

ali-mentation

_pulsée

des lentilles focalisantes.

D’autre

_part,

vers les très faibles

_énergies,

l’in-fluence du

_champ

rémanent n’est

_{plus négligeable,}

et

_perturbe

les

_résultats,

en créant un effet

d’hysté-résis. Il semble donc utile

_{d’envisager}

la

_possibilité

de réaliser des lentilles à convergence forte sans

_fer,

c’est-à-dire

_de

manière aussi

_approchée

_que

pos-sible,

des

_{répartitions}

d’induction

_magnétique

à

gradient

radial constant autour d’un axe Oz et dans

un

_cylindre

utile de rayon

_Ro.

Rappelons

que, dans une lentille â fer

_classique,

par suite dela

largeur

finie des

_pôles,

on n’obtient

jamais

de

_gradient

radial

_parfaitement

constant :

sur le cercle de gorge de rayon _a, sa décroissance

peut

atteindre 5 à 10

_%

_{pour des}

_pôles

_larges,

20 à 30

_%

_{pour les}

_pôles

étroits utilisés aux

_champs

forts

_[1].

Les

_{répartitions}

de

_champs

obtenues dans la suite devront donc être

_comparées

avec celles des

lentilles

_réelles,

et non avec la

_répartition

idéale

qu’on

ne

_peut

_{pas réaliser} en

_pratique.

Nous

_{n’envisagerons}

_{ici que les}

_champs

_{créés par} des

_systèmes

de conducteurs à densité de courant

uniforme afin de

_simplifier

les

_problèmes

d’alimen-tation.

_Après

avoir

_rappelé

les

_expressions

du

potentiel

et des

_champs

dans les

_systèmes

à

symé-trie

_{quadrupolaire,}

nous étudierons les

approxi-mations de

_plus

en

_{plus approchées}

obtenues dans un _{espace de}

_plus

en

_{plus grand}

entourant

_l’axe,

à l’aide de 4

_fils,

_puis

_{de 4 nappes de} courant et

enfin de 4 bobines

_épaisses

de section

_{rectangulaire,}

les conducteurs étant

_supposés

indéfinis suivant

un axe

_Oz,

ce

_qui

conduit à des

_{répartitions}

d’in-s duction à deux dimensions seulement.

II.

Expressions générales

du

potentiel

et des

champs

dans un

_système

à

symétrie quadrupolaire.

2-1. LE POTENTIEL SCALAIRE. - Considérons

un

système

de

_quatre

électrodes

_{équipotentielles}

indé-finies

_parallèles

à un axe

Oz, portées

respecti-vement aux

_{potentiels (électriques}

ou

magné-FIG. 1.

tiques)

+

_+i

et -

Pl

(voir

fig,

1),

et

_{possédant :}

quatre plans

de

_{symétrie mécanique zOX, zOY,}

zOx et

_{zOy ;}

deux

_plans

de

_symétrie

d’excitation :

zOx et

_zOy.

Potentiel et

_champ

ne

dépendent

_{que de 2}

coor-données. Le

_potentiel

scalaire

_I>(X,Y)

obéit à

l’équation de Laplace :

et, si

on _pose

on

_peut

_l’exprimer

sous la forme d’une série infinie :

Par suite des différentes

_symétries

en X et en

_Y,

l’expression W(s)

a la forme

d’où

_{l’expression}

du

_potentiel

Dans le

_système

d’axes

_{(Ox, Oy)}

à 45° des

précé-dents,

on aurait de même

2-2. LES CHAMPS EN COORDONNÉES RECTAN-GULAIRES. - On

peut

alors _{calculer les}

compo-santes des

_champs

On obtient _par

_exemple

en se limitant aux

termes du 9e

_{degré :}

Sur

_OX,

on a alors

Les

_composantes

intéressantes du

_gradient

radial

du

_champ

dont donc :

sur OX :

Dans le cas

particulier

où les sections des

élec-trodes par le

plan

XOY matérialisent les

_lignes

équipotentielles

d’équation

on obtient une

_répartition

de

_champ

à

_gradient

radial constant _que nous

appellerons

«

répartition

idéale ».

soit,

en

_{exprimant h2}

à

_partir

de la différence de

potentiel 2Ci

existant entre 2 électrodes

_adjacentes

et _{du rayon a du cercle de gorge}

_tangent

aux élec-trodes

Le

_gradient

est alors :

A

_partir

de ces mêmes

_grandeurs,

on aurait dans

le cas

_{général, d’après (8)}

et

₍₉₎

Avec la

_{correspondance :}

D’après

ces

_expressions,

on voit

_qu’il

est

_possible

de connaître les

_composantes

des

_champs

dans tout

l’espace

utile

_(intérieur

au cercle de

_{gorge) lorsque}

les coefficients

_{h2, hg,}

_hl.,

etc... seront

_{déterminés,}

et

_qu’il

_sufl’lt,

_pour cette

_{détermination,}

d’obtenir

un

_{développement}

du

_type

₍₈₎

ou

₍₉₎

dans l’un des

plans

de

_symétrie

du

_{système envisagé.}

2-3. EXPRESSIONS EN COORDONNÉES POLAIRES.

2013

On

peut

également adopter

une autre

repré-tentation du

_potentiel,

en coordonnées

_polaires.

L’expression

(3)

conduit alors à

si on

_{prend l’origine}

de 0 sur Ox.

Par suite des différentes

_symétries

et

Les coefficients

_h2

et

_h6

sont

_identiques

à ceux

de

_(4),

et

₍₁₅₎

est

_équivalente

à

₍₈₎

et

_(9).

Cette

représentation

a conduit à la mise au

point

d’une

méthode

_{expérimentale}

de détermination très

pré-cise des différents coefficients

_hn

à l’aide de bobines associées à un fluxmètre sensible

[2].

III. Induction

produite

par

quatre

fils

_disposés

en carré.

3-1. INDUCTION. -Considérons

_quatre

fils

paral-lèles à

_Oz,

situés sur OX et OY à une distance b

de 0

_{( fcg. 2),}

et _{parcourus par des} courants de sens

opposés :

-

Il

_en A et

C,

+

Il

_en B et

D,

de

façon

à obtenir des

_{répartitions}

d’induction

sem-blables à celles de la

_figure

1. L’induction B en.P

(X, Y)

est _{donnée par :}

et une

_{expression identique}

_pour

Bp,

en

échan-geant

Y et X. Dans les

_plans

de

_symétrie,

les

expressions

sont très

_{simples :}

soit

au

_voisinage

de

_0,

et la même _{loi que pour}

_Bx

sur

_OY,

où

_Bp

est nul.

Dans les

_plans

Ox et

_Oy,

on a

_Bx

=

BT;

le

vecteur B est

_dirigé

radialement et on a :

soit

près

de 0.

L’induction

_B,

nulle sur l’axe

_Oz,

ne variera

linéairement avec la distance à l’axe _{que dans} une zone _peu étendue

_X,

x « b. Si r

désigne

la

dis-tance

_OP,

la valeur de B oscillera

de ±

2,5

%

autour de la valeur idéale :

lorsqu’on

se

déplacera

sur un cercle de _rayon

r1 =

b /5,

et

de +

6,25

%

_{pour r2} =

b j4.

3-2. GRADIENT RADIAL. - Sur

l’axe,

on aurait :

FIG. 3.

et,

en

_{posant u}

=

X/6

et v =

xlb,

_on obtient

sur OX et Ox

respectivement :

ce

_qui

conduit à des

_{développements}

de la forme :

ou

conformément aux

_prévisions

_{du §}

2.

Une lentille

_{quadrupolaire}

formée de

_quatre

fils

ne

_pourrait

donc être utilisée _que comme

_système

correcteur _pour un faisceau circulant au

_voisinage

de Oz

_{(r jb 0,2),}

car le

_gradient

varie très vite

lorsqu’on

s’en

_éloigne

_{(fig. 3) : KIK(0)}

croit sur OX

et décroît sur

_{Ox ;}

ce

_rapport

atteint 2 en u ~

_0,55

et _{s’annule pour v N}

_0,75.

Une lentille de ce

_type

est utilisée sur le

_{trajet d’injection}

du faisceau de

protons

de

_3,6

MeV du Cosmotron de

Broo-khaven [3].

IV. Induction

_produite

_par

_quatre

_{nappes de} courant

_disposées

en carré et de

_largeur

_égale

au

côté du carré.

4-1. INDUCTION. - La

figure

4 montre la

dispo-sition des

_quatre

nappes,

d’épaisseur

e

_négligeable

FIG. 4.

devant b.

_{Si j désigne}

la densité de courant dans le

conducteur,

on

_aurait,

_{pour l’intensité totale :}

12

=

2bej.

On suppose que les courants sont

égaux

à :

Il nous suffit de calculer

_Bg

et

_By

sur les axes de

symétrie,

OX et _{Ox par}

_exemple.

En

_posant

_{X /b}

.- _u et

xfb

=

v, on aurait

(voir

Appendice

II) :

Sur OX

d’où,

au

_voisinage

de l’axe

Les coefficients

_K6

et

_K1o

seraient

respective-ment

_égaux

à

_{1 /20}

et

_{1 /144.}

Les courbes de la

_figure

5 donnent les variations du

_{rapport BIBth}

obtenues à

_partir

des formules

FI G. 5.

générales (21),

de

_r/b

= 0 à

r/b =1 ;

Btt,

désigne

la valeur idéale

On y a

également porté

les courbes obtenues avec

les

_{développements}

limités : on _{voit que 3} termes

suffisent _pour

_représenter

les variations réelles à

_{10- 3 près.}

La valeur de l’induction

_augmente

suivant

_Ox,

et décroît sur

OX,

contrairement au

_phénomène

observé dans le cas des

_quatre

fils : on

_peut

cher-cher à compenser en

_partie

ces variations en

super-posant

les deux

_systèmes

de courants.

4-2. GRADIENT RADIAL On tire des

expres-sions

_{(21) :}

et

avec

Les fonctions

_{K(X) JK(0)}

et

_{.K(x) 1 K(O), qui}

cons-tituent le «

_gradient

_{réduit ?),}

_sont

représentées

sur

la

_figure

_6,

en utilisant les formules

₍₂₃₎

èt les

développements

à trois termes du

_{type :}

Cette

_{approximation}

est encore suffisante.

FIG. 6.

Jusqu’en

u = U =

0,70,

le

gradient

réel ne

dif-fère pas de

plus

de +

6

_%

du

_{gradient K(O)}

et

pour u

== v = 1,

les écarts sont

respectivement

sur OX et Ox de - 25 et + 33

%,

ce

qui

se

tra-duit

_{pour B}

_{par des} écarts

_{de +}

6

_%

entre B réel et B idéal.

4-3. COMPARAISON AVEC LA LENTILLE QUADRU-POLAIRE _CLASSIQUE DE MÊME EXCITATION. - Le

FIG. 7.

d’une lentille

_{quadrupolaire classique}

dont les

_pôles

auraient leurs sommets aux

_quatre

coins du carré

(fig.

7),

et telle

_{que la}

différence de

_potentiel

magné-tique

entre deux

_pôles

_adjacents

snit,

_{précisément}

soit,

pour

chaque pote :

La lentille à

_pôles,

dont le cercle de _gorge aurait

un _rayon h == b

_V2,

_produirait

un

_{gradient égal}

à :

La lentille sans fer fournit donc un

_gradient

_plus

faible :

4-4. SUPERPOSITION DE COUCHES MINCES : 1

BOBINES TRAPÉZOIDALES. - On

peut

obtenir des

gradients

élevées en

_juxtaposant

de nombreuses

nappes de courants : si celles-ci sont

disposées

en

FIG. ô.

carré il _y a

_{superposition}

linéaire des distributions

précédentes

(fig. 8).

Soit e

_{l’épaisseur}

d’une couche

_{(avec e}

«

_b),

et j

la densité de courant. Le

_gradient

au

_centre,

fourni par la n terne couche est donné _{par :}

K(0),

=

K(O)o/{1

-f- ns) _en posant s = e Ibo- (26)

D’où le

_gradient

total au centre

On

_pourrait

aussi obtenir

_K(0)

total en calculant

tout d’abord l’induction créée _par une bobine

tra-pézoïdale

par la méthode

employée

pour les bobines

rectangulaires (voir

Appendice

I),

mais les for-mules résultantes sont

_trop

_peu maniables.

La courbe

_{correspondante}

est

_{représentée}

_figure

9

pour s =

0,05

(courbe

(1)) jusqu’à n

= 19

(soit

20

_{couches, correspondant}

à des bobines

d’épais-FIG. 9.

FI G. 10.

seur

_{b). Lorsque}

le

_{gradient s’accroît,}

ses variations

dans

_l’espace

utile diminuent. On a en effet sur OX:

et

Le

_rapport

_{K(XhotalIK(O)total}

est

_porté

sur la

bobines : 2a = _ne. Les courbes sont

désignées

_par

les valeurs de a -

a/bo,

_pour oc =

0,

0,25

et

0,5.

Dans ce dernier cas

(bobines

de 20

couches),

le

gradient

total au centre est

_égal

à

et les variations de

_K(X)

sont au maximum de 8

%

en X =

b,

_au lieu de 20

%

avec une couche

unique :

i

l’accroissement

du

_{gradient s’accompagne}

d’une linéarité accrue des variations de l’induction

(les

écarts

_âB/Bth

ne

_dépassent

_pas

1,6

%

en Jï ==

b).

V. Induction créée _par

_quatre

_nappes minces de

largeur

21 inférieure à 2b.

5-1. INDUCTION SUR ax. - Avec la

disposition

Fiv. 11.

z

de] a

_figure

11,

et des

_{courants +}

_{1 dans les nappes,}

l’induction sur OX est donnée par

avec

Si on _pose

l/b

--- t et

_X/b

= u, on

obtient,

avec / == I /2l

et on

_peut

en calculer les valeurs pour

_chaque

valeur de u

_{lorsque t}

est fixé.

Au

_voisinage

de

_0,

on aurait

5-2. GRADIENT : CHOIX DE LA VALEUR OPTIMUM

DE’l. -Le

_gradient

_K(X)

sur OX

s’exprime

_par

On a donc :

Les

courbes

_{représentant}

les variations de

K(X)IK(O)

sur OX pour différentes valeurs de t

FIG. 12.

sont

_portées

sur la

_figure

_{12 ;}

la valeur t =

0,7265

annule le terme en u4 du

_gradient

_développé

sous la

forme

Pour t

_=1,

on retrouve la courbe de la

_figure

_{6 ;}

pour t

=

0,

_{on a} le _cas des

quatre

fils.

_Enfin,

pour t

=

0,685,

le

gradient

varie de 2

_%

de u = 0

à u =

0,9.

Les variations _{sur Ox sont du même}

ordre,

mais de sens contraire. Il est donc

_possible,

avec

_quatre

couches minces de

_{largeur 1}

inférieure

d’obtenir des

_{répartitions}

d’induction à

_gradient

quasi-constant.

La décroissance du

_{gradient K(O)}

_{avec t,}

_lorsque

la densité de

_{courant j}

reste constante dans la

couche,

est donnée

_figure

13. Pour accroître

_K(O),

FIG. 13.

on

pourrait multiplier

les couches

(en

gardant

_par

exemple t.

=

1,,Ib,,

égal

à

to),

ce

_qui

entraînerait

encore un « adoucissement )) des variations de

K( X)

Nous avons

_préféré

atténuer ces variations en

utili-sant des

_bobinages

de section

_{rectangulaire,}

_pour

lesquelles

les

_expressions

de B et de

_K(X)

sont

plus simples.

VI. Induction créée par

quatre bobinages

de section

rectangulaire

et à densité de courant

cons-tante

_disposés

en carré.

6-1. INDUCTION. - On choisit tout d’abord des

bobines de section 2a X

_{2b, disposées}

comme

l’in-FIG. 14.

dique

la

_figure

14. Les bobines

₍₁₎

et

₍₂₎

trans-portent

un courant total

_{-)- 7}

=

4abj,

et les deux autres un courant - I. Soit

01

le centre de la

bobine (1). On pose 001=h, h

+ a

= h- a

=Y

et À =

(1.0

l /8nab.

En un

_point

P de

_OX,

on obtient

_(voir

Appen-dice

_{II) :}

Au

_voisinage

de

_0,

on

_peut

_{développer But :}

6-2. GRADIENT

_K(X).

- Par

dérivation,

on

obtient pour

.K(X)

une

_expression

relativement

simple,

formée _{seulement par le coefficient du}

terme en X de

_{(34) :}

ou, en fonction de

_j,

du

_rapport

oc =

a/b

et de

u == XJb

En u =

0,

_on aurait :

Les courbes donnant

_K(X)

_{1 K(O)}

_{pour différentes} valeurs de (x sont

portées

sur la

figure

15 _pour

0xl.

FIG. 15.

Si oc =

0,5 (bobines

d’épaisseur

2a

= b),

l’écart

K(b)

-

K(O) IK(O)

est de l’ordre de 3

_{%. Si}

a

= 1,

l’écart atteint seulement

_0,5

_%.

Il _y aura donc un

gros

avantage

à utiliser des

_{bobinages épais,}

de forme

_{rectangulaire}

_{plutôt que trapézoïdale}

(com-parer à la

figure 10).

Les courbes ainsi obtenues

montrent

_qu’on

_peut

_comparer

_{avantageusement}

ces

répartitions

d’induction avec celles

_qu’on

obtient effectivement avec les lentilles

quadru-polaires classiques.

Lorsque

oc

croît, j

restant

constant,

K(o)

croît

selon la loi

_{représentée}

_{par la} courbe

₍₂₎

de la

figure

9. On voit que pour une même

_épaisseur

des

bobines,

l’écart est faible entre les courbes

₍₁₎

(bobines trapézoïdales)

et

_{(2) (bobines}

rectan-gulaires),

bien _{que le} courant total soit bien

_plus

important

dans le 1er cas

_(11/12

= 1 ₊

OC)-Notons _{enfin que les courbes donnant}

_’By

ou

K(X)

sont _{obtenues à mieux que 10-3}

_près

en

utilisant les

_{développements}

limités au 2e terme

(en

X4 ou

X4).

6-3. COMPARAISON AVEC UNE LENTILLE A FER

SANS PÔLES. - Hand et

Panofsky

ont

_proposé

récemment

_[4]

la construction de lentilles à fer sans

pôles, composées

de bobines du

_type

_précédent

placées

dans une carcasse d’acier doux. On ne

connaît de ces _{lentilles que}

_{l’expression}

du terme

fondamental

du

_{gradient [4], [5], qui}

_s’écrit,

dans

le cas d’une lentille à ouverture carrée de côté

2b,

avec des bobines

d’épaisseur

2a :

au lieu de

D’où,

pour une même intensité I un

_rapport

Ce

_rapport,

_égal

à

_n/2

si a

_{= 0,}

n’est

_plus

_que de

_1,23

environ si b =

2a,

et tend _vers 1 si a

devient très

_grand.

VII. Bobines

_{rectangulaires}

de

largeur

inférieure

au côté du carré. - Par

analogie

_avec le _cas des

couches

_minces,

ici encore on

peut espérer

réduire

les

variations

de

_K(X)

en

agissant

sur le

_rapport

t z

L/b.

7-1. INDUCTION ET GRADIENT SUR ÔX. - La

FIG. 16.

section des bobines est maintenant 21 X 2a

_{(fig. 16)}

et j

reste constant. En

_{posant :}

L’expression

de

_K(X)

est encore relativement

simple :

ici encore elle est constituée

_uniquement

par le coefficient du terme en X. Posons

On obtient :

7-2. RÉSULTATS. - Nous

avons calculé

_K(u)

pour deux valeurs de v

correspondant

à oc =

0,25

et ce =

0,5,

et _pour

quelques

valeurs de t. La

figure

17 donne 1 es courbes ainsi obtenues. Comme

pour les couches

minces,

il y a relèvement du

gra-dient en X = b

lorsque t

décroît. Dans le _cas de

bobines

_épaisses

_(ce

_{= 0,5,}

soit b

_{= 2a),}

on

_peut

obtenir

_{pour t}

=

0,92

_un

gradient

_constant à

mieux que 3 .10-3

_près

de u = 0 à _u

= 1, et

l’écart

ne

_dépasse

_{pas 10-4}

jusqu’en

u =

0,9 (soit

4.10-5 entre l’induction

BY

et l’induction idéale

Bi

=

K(0)X.

Pour des bobines minces

(a/b

=

0,25

par

exemple),

l’écart serait

plus

grand.

Lorsque 1

décroît,

le

_gradient

_K(0)

varie selon la loi de la

_figure

18 sur

_laquelle

on a

_{représenté,}

pour cc =

0,5

la courbe

K(0)t/K(0)1.

Sit

_{= 1, on a :}

et

_{pour t}

==

0,92 :

c’est-à-dire une réduction de 3

_%

environ, alors que la section des

bobines,

et par

conséquent I,

a subi une réduction de 8

_%.

.

FIG. 17.

FIG. 18.

VIII. Conclusion. - Des

répartitions

d’induc-tions à

_gradient

constant

_peuvent

être obtenues

avec une bonne

_{approximation,}

_grâce

à des bobi-nages sans

_fer,

à densité

_constante,

_placés

sur les

côtés d’un carré : _{soit des nappes minces de} courant

des bobines

_{rectangulaires}

de

_largeur

2b et

d’épais-seur

2a,

ou

_mieux,

de

_largeur

21

_légèrement

infé-rieure à 2b.

On

_peut

donc

_envisager

la construction de

len-tilles

_{quadrupolaires}

sans fer

_ayant

des aberrations

équivalentes

ou inférieures à celles des lentilles à

fer

_classiques.

Cette aberration

d’ouverture

peut

s’annuler

_lorsque

le

_gradient

croit

selon OX et

décroît sur Ox

_{[1] :}

les lentilles à bobines

rectan-gulaires

pourront

donc être

_corrigées,

_par un choix

approprié

du

_rapport

x =

a/b.

Pour un même courant total I dans

_chaque

bobine,

le

_gradient

est inférieur à celui d’une lentille

à fer

_classique,

mais on _{pourra utiliser}

avanta-geusement

ces lentilles sans fer dans deux

do-maines : celui des

_{champs faibles,}

où on évitera les

phénomènes parasites

dûs au

champ

_{rémanent ;}

celui des

_champs

très

_forts,

en

_impulsions

ou en

continu,

évitant ainsi la limitation due à la

satu-ration du fer des carcasses

magnétiques.

Tous les calculs ont été _{effectués pour des nappes}

ou bobines indéfinies suivant Oz. Comme dans

toutes les lentilles

_réelles,

les

_champs

de fuites d’extrémité

_joueront

un rôle

_important,

tout au

moins pour des lentilles

courtes,

mais les

répar-titions d’induction dans ces

_champs

de fuite ne

sont _{pas calculables.}

_Seules,

des mesures

permet-tront d’en tracer la

_carte,

de déterminer les aber-rations de ces

_lentilles,

et _{de les comparer à celles}

des lentilles

_{quadrupolaires classiques.}

Les

résul-tats de ces

_expériences

feront

l’objet

d’une autre

publication.

APPENDICE 1

Expression

de l’induction créée par un

_fil,

une _{nappe mince et} une barre

_{rectangulaire}

1)

FIL. - Soit _un conducteur indéfini

parallèle

à Oz de section ds ---

dç. dl} (fig. 19)

situé _{en un}

FIG. 19.

point

M de

_{coordonnées § et,}

et

_transportant

un

courante

I. En un

_point

_{P(x, y)}

l’induction dB

est _{telle que}

.

j

est la densité de courant. En

_projetant

sur les

directions Ox et

_Oy

on obtient :

2)

BANDE MINCE. 2013 On considère

une bande

mince

_{d’épaisseur d§}

située en x

_{=S, parallèle}

à Oz et s’étendant de

_{y = - b à y = + b}

_{(fig. 20).}

L’induction AB créée en _{P par} cette bande s’obtient en

_intégrant

les

_expressions

_(45).

On pose :

’

On a alors

On

_peut

_exprime

aussi

AB,,

et A

_Bv

en fonction

de l’intensité totale I

_{= 2bj d§,}

des distances

_{Rl R2}

et des

_angles

_xi

_{et OC2}

_(avec

les sens

indiqués

sur la

3)

BARRE RECTANGULAIRE. - Soit _une barre de

FIG. 21.

section 2a X

_2b,

centrée en 0 et

_transportant

un

courant +

I de

_{densité j}

=

I /4ab ( fig. 21a)

On pose :

On utilise les relations

et

On obtient finalement

ou, sous une autre

_forme,

en utilisant les notations

de la

_figure

2 b

APPENDICE II

Association de

_quatre

nappes ou bobines 1. Association de 4 _nappes minces. -- 1-1.

EXPRESSION DE B EN UN POINT _QUELCONQUE

Il suffit d’écrire les

_expressions

de

_Bu

_{et B,}

_pour

chaque

nappe dans le nouveau

_système

de

coor-données OX et

_OY,

et de faire la somme, pour les

1

FIG. 22.

quatre couches,

des

_composantes

_{correspondantes.}

La

_largeur

_{des nappes 21} est inférieure à b

_{( fig.}

_22).

1-2. VALEUR DE B SUR LES AXES. - Sur

OX,

on

obtient,

par raison de

symétrie :

soit : o o

et,

en utilisant la relation

_Log

Pour obtenir un

_{développement}

limité au

voisi-nage de

0,

il est commode de poser

llb

= t et

Xib

= _lie On obtient alors :

En utilisant les relatons 1

on

_peut

_développer

_jusqu’au

terme en u9.

Condor-

°

mément aux résultats

_{généraux du § 1,}

seuls

sub-sistent les termes en _u, U5 et

_u9,

et on a

l’expression :

soit :

Sur

_Ox,

les formules sont

_{plus compliquées.}

On obtient :

soit,

avec les mêmes notations que

_{précédemment}

Après

des calculs

_fastidieux,

on retrouve bien

et

1-3.

GRADIENT. -:-

Le

_gradient

sur

OX

est

obtenu _par dérivation de

_{(54) :}

Le

_{développement}

de cette

_expression

donne

1-4. CAS PARTICULIER : t = 1. - Il

est

évidem-ment

_plus

_simple

de calculer B et K

_directement,

mais on

_peut

les tirer des

_{expressions générales :}

Sur OX :

Sur Ox :

ou

en

_posant

14

II. Association de

_quatre

bobines

_{rectangulaires}

de

_largeur

_égale

au côté du carré. -- Par suite de la

complication

des

_expressions

donnant

_{Bx et Boy}

en un

_{point quelconque,}

nous ne les donnerons que sur OX et Ox.

2-1. INDUCTION ET GRADIENT SUR OX

( fLg.

14).

On a

₀₀₁

= h. Les bobines

(1)

et

(2)

trans-portent

le

_{courant +}

I et les bobines

₍₃₎

et

₍₄₎

le

courant - 1. On

pose h

+ a

h

- a =

y et

À = llo l/81tab = [Lo j /21t.

Il vient :

Pour effectuer le

_{développement}

de cette

expres-sion au

_voisinage

de

0,

il est _{commode de poser}

Les

_quatre

_premiers

termes de

₍₆₆₎

_peuvent

alors être mis sous la forme

Le

_{développement}

de ces termes

s’écrit, après

retour aux

grandeurs a,

h et X :

Le terme en X de

₍₆₆₎

est de la forme

ou, en

_posant

Après

dérivation de

_A1(v)

et

_A2(v),

dévelop-pement

des

_expressions

obtenues

_{puis intégration}

et retour aux

_{grandeurs initiales,}

on obtient :

D’où

_{l’expnession}

_globale

de

qui

permet

d’obtenir les coefficients

_Ks

et

_Klo

définis

_{au §}

1.

Si on fait tendre a vers

_zéro,

le terme

D’où:

on retrouve

l’expression

de

BY

fournie par

_quatre

nappes minces de

largeur

b.

Par dérivation de.

(66),

on

_{s’aperçoit}

_{que seuls}

subsistent les termes

_qui

constituent le coefficient

de X dans

_F2(X)

==tous les autres s’annulent deux

à deux. On obtient alors :

15

2-2. INDUCTION ET GRADIENT SUR OX. - En un

point

P de coordonnées X = Y =

xlB,IÎ,

_{on a :}

et

Le

_gradient

s’écrit

Manuscrit reçu le 7 janvier 1960.

BIBLIOGRAPHIE

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quadru-polaires magnétiques, CERN 58-25, octobre 1958,

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