MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2001 1/4
MATHÉMATIQUES II Filière PC
Notations
On désigne par l’ensemble des matrices à lignes et colonnes dont les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice on note la matrice transposée de , la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de la matrice et le rang de .
On fixe un entier et on considère , munis des
opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement et . L’espace vectoriel admet pour base canonique
.
Pour on pose , ce qui donne une matrice à lignes et colonnes dont le coefficient d’indice vaut si et sinon.
La base canonique de est constituée des matrices , , . On note la matrice identité, .
Si est une matrice élément de et un sous-espace vectoriel de , désigne l’ensemble .
Si est un sous-ensemble de , on dit que est stable par si .
Pour tout sous-ensemble de on s’intéresse aux propriétés suivantes : P1 : contient (au moins) une matrice de rang ,
P2 : contient (au moins) une matrice de rang , P3 : contient ,
P4 : est un sous-espace vectoriel de ,
P5 : est stable par produit de matrices : , P6 : si est un sous-espace vectoriel de stable par , alors soit soit .
M
p q, ( )CI p qA∈
M
p q, ( )CItA
A A
A rg A( ) A
n≥2 V =
M
n 1, ( )CI E =M
n n, ( )CI 0V 0E Ve1 1 0 0 M
0
= , e2 0 1 0 M
0
= , … , en = 0 0 0 M
1
k m,
( ) [∈ [ 1 n, ]]2 Ek m, = ek tem n
n ( )i j, 1 ( )i j, = (k m, ) 0 E n2 Ek m, 1≤ ≤k n 1≤m≤n
I I Ek k,
1≤ ≤
∑
k n=
A E W V A W( )
Aw w∈W
{ }
F E W F
∀A∈ F A W, ( ) W⊂
L
EL
1L
nL
IL
EL
A B, ∈L
⇒AB∈L
W V
L
W = { }0VW = V
Concours Centrale-Supélec 2001 2/4
Filière PC
MATHÉMATIQUES II Filière PC
Partie I - Étude de quelques exemples
I.A - Dans cette section I.A - , est l’ensemble des qui sont inversibles : .
I.A.1) Soit un vecteur non nul de . Montrer que pour tout vecteur non nul de il existe une matrice inversible telle que .
Indication : on peut considérer deux cas, a) la famille est liée,
b) la famille est libre.
En déduire que la propriété P6 est vérifiée par .
I.A.2) Indiquer celles des propriétés P1,..., P5 qui sont vérifiées par ; jus- tifier les réponses.
I.B - Dans cette section I.B - , est l’ensemble des matrices qui sont triangulaires inférieures, c’est-à-dire telles que
I.B.1) Montrer que est vecteur propre de tout . Que peut-on dire de la propriété P6 pour ?
I.B.2) Indiquer celles des propriétés P1,..., P5 qui sont vérifiées par ; jus- tifier les réponses.
I.C - Dans cette section I.C - , et est un sous-ensemble de pour lequel P3 et P4 sont vérifiées.
I.C.1) On suppose que P1 n’est pas vérifiée par (les matrices de rang appartiennent donc toutes à le complémentaire de dans ). Soit et . Quelles sont les valeurs possibles du rang de ? Montrer que est l’ensemble des homothéties vectorielles.
I.C.2) On suppose que P6 est vérifiée par . Montrer qu’alors la propriété P1 est vérifiée par .
L
A∈E
L
= GLn( )CIx V y
V A Ax = y
x y,
( )
x y,
( )
L
L
L
T = (tk m, ) E∈m>k⇒tk m, =0
en T∈
L
L
L
n = 2
L
EL
2×21 E\
L
L
EA∈
L
λ∈CI A–λIL
L
L
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Concours Centrale-Supélec 2001 3/4
Dans toute la suite du problème, P4 et P5 sont supposées vérifiées : est donc un sous-espace vectoriel de stable par produit matriciel.
Partie II -
Dans cette partie, les propriétés P3 et P6 sont supposées vérifiées par (en plus de P4 et P5). On veut montrer qu’alors P1 aussi est vérifiée.
On note
,
et on se propose de montrer que , ce qui établira P1.
On suppose dans un premier temps que . On note alors un élément de qui vérifie et on considère une base de . On
note des éléments de tels que , .
II.A - Montrer que .
On note alors un élément de qui vérifie et on pose . Montrer que est une famille libre.
II.B - Montrer que est stable par puis que
, tel que et .
En déduire que .
Conclure que .
Partie III -
Dans cette partie on suppose que et que la dimension de est supérieure ou égale à . On veut montrer que P3 et P6 sont vérifiées, puis que , c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’hyperplan de stable par produit matriciel.
III.A - Soit un sous-espace vectoriel de stable par ; on note la dimen- sion de . Montrer que est un sous-espace vectoriel de qui contient et dont la dimension vaut . En déduire que
ou . On a donc démontré P6. III.B -
III.B.1) On suppose ici : , et .
On note alors le sous-espace vectoriel de engendré par et .
Montrer que puis que contient une matrice inversible.
L
EL
m min rg M( ) M∈
L
\ 0{ }E
=
m = 1
m≥2 M0
L
rg M( 0) = m ( )zi 1≤ ≤i m M0( )V x1,… x, m V ∀i∈[[ 1 m]], M0xi = ziN z1 N∈
L
V
=
N0
L
N0z1 = x2M1 = M0N0 M0 (M0, M1)
M0( )V M0N0 α z,
( )
∃ ∈CI ×M0( )V z≠0V M0N0z = αz 0<rg M( 1–αM0) rg M< ( 0)
m = 1
n>2
L
n2–1
L
= EE
W V
L
kW {M∈E M W( ) W⊂ } E
L
n2–k n( –k) W = { }0V W = V( ) k m* ∃ , ∈ [ 1 n[ , ]]2 k≠m Ek m, ∈E\
L
H
= Vect E( k m, ,I) EEk m, I
dim (
H
∩L
) 1≥L
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Concours Centrale-Supélec 2001 4/4
III.B.2) On suppose ici que c’est le contraire de qui est vrai, donc .
Trouver une combinaison linéaire de ces qui donne une matrice inversible.
En déduire que dans tous les cas contient une matrice inversible . III.C - Montrer que pour la matrice définie ci-dessus, la famille
est une famille liée.
En déduire qu’il existe un entier et des nombres complexes tels
que et
. Montrer alors que . On a donc démontré P3.
Compte tenu de la partie II -, la propriété P1 est donc satisfaite. On note alors une matrice de rang qui appartient à , matrice que l’on peut écrire
, où .
On introduit le produit scalaire canonique sur , et pour on pose
,
, .
III.D - Soit , . Montrer que est un sous-espace vectoriel de sta- ble par et que n’est pas réduit à .
Montrer alors que et .
Montrer que . En déduire que pour tout il existe
tels que et , puis que toute matrice de rang appar- tient à . Montrer que .
••• FIN •••
( )* k≠m⇒Ek m, ∈
L
Ek m,
L
AA A A, 2, ,… An2+1
p>0 ( )λi 0≤ ≤i p λ0λp≠0
λ0I+λ1A+… λ+ pAp = 0 I∈
L
M0 1
L
M0 = v0tw0 v0, w0∈V \ 0{ }V
V (v w, )atvw v∈V
Av Lv L∈
L
=
Bv tLv L∈
L
=
Cv = (Bv) ⊥
u∈V u≠0V Cu V
L
Bu { }0V Cu = { }0V Bu = VAu = V (x y, ) V∈ 2 L M, ∈
L
Lv0 = x tMw0 = y A∈E 1
