Contr d’Alg M2 2012-13

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2012-13

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre M2

durée: 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Soit f l’endomorphisme de

défini par :

∀

x, y, z

_f

_{x, y, z}

_6x

− 2y − 2z, 7x − 3y − z, 4x − 2y

1) Soient a1  6, 7, 4 , a2  −2, −3, −2 et a3  −2, −1, 0 trois vecteurs de R3 .

1.a) Trouver deux nombres réels,  ∈ R tel que : a1  a2  a3

1.b) En déduire le rang du systèmea1, a2, a3 .

1.c) Donner une base du sous espace vectoriel F  vecta1, a2, a3 .

2)

2.a) Détérminer la matrice A  M f ,B de f par rapport à la base canonique

B  e1, e2, e3 de R3 .

2.b) Détérminer le rang de f (

on peut utiliser la question 1

3) Soient e1′  2, 3, 2 , e′2  2, 2, 1 et e3′  1, 2, 1 trois vecteurs de R3 .

3.a) Vérifier que le système B′  e₁′, e2′, e3′ est une base de R3 .

3.b) Donner la matrice de passage P de la base canonique B  e1, e2, e3 de R3

à la base B′  e₁′, e2′, e3′ de R3 .

3.c) Calculer l’inverse P−1 de la matrice P .

4) En déduire la matrice A′  M f ,B′ de f par rapport à la base B′  e₁′, e2′, e3′ de R3 .

5)

5.a) Détérminer ker f .

5.b) Calculer le déterminant : 6 −2 1 7 −3 2 4 −2 1 . 5.c) En déduire que :

i)a1, a2, e3′ est une base de R3 .

ii) F et ker f sont supplémentaires dans R3 _.