Magali Rocher (IMB) 1 / 53

Courbes alg´ebriques lisses en caract´eristique p > 0 munies d’un gros p-groupe d’automorphismes.

Magali Rocher

Institut de Math´ematiques de Bordeaux 1.

14 novembre 2008.

Introduction.

Notations.

k est un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique p ≥ 0.

Si p > 0,

Fest l’endomorphisme Frobenius pour unek-alg`ebre.

℘=F−id.

C/k est une courbe alg´ebrique, projective lisse connexe de genre g ≥ 2.

Aut

(C) est le groupe des k-automorphismes de C.

Introduction.

Le cas de la caract´eristique 0.

Pourquoi consid´erer de gros groupes d’automorphismes?

En caract´eristique 0:

|Aut

(C)| ≤ 84 (g − 1) (borne d’Hurwitz 1892)

Probl`eme: classification des groupes d’automorphismes `a genre donn´e. R´eponse partielle pour les groupes G ⊂ Aut

(C) dits ”larges”:

|G| ≥ 4 (g − 1) (Kulkarni 1997, Breuer 2000)

Par la formule d’Hurwitz, g

= 0 et C → C/G ramifi´e en 3 ou 4 points

Introduction.

Le cas de la caract´eristique 0.

Pourquoi consid´erer de gros groupes d’automorphismes?

En caract´eristique 0:

|Aut

(C)| ≤ 84 (g − 1) (borne d’Hurwitz 1892)

Probl`eme: classification des groupes d’automorphismes `a genre donn´e. R´eponse partielle pour les groupes G ⊂ Aut

(C) dits ”larges”:

|G| ≥ 4 (g − 1) (Kulkarni 1997, Breuer 2000)

Par la formule d’Hurwitz, g

= 0 et C → C/G ramifi´e en 3 ou 4 points

Introduction.

Le cas de la caract´eristique 0.

Pourquoi consid´erer de gros groupes d’automorphismes?

En caract´eristique 0:

|Aut

(C)| ≤ 84 (g − 1) (borne d’Hurwitz 1892)

Probl`eme: classification des groupes d’automorphismes `a genre donn´e.

R´eponse partielle pour les groupes G ⊂ Aut

(C) dits ”larges”:

|G| ≥ 4 (g − 1) (Kulkarni 1997, Breuer 2000)

Par la formule d’Hurwitz, g

= 0 et C → C/G ramifi´e en 3 ou 4 points

Introduction.

Le cas de la caract´eristique 0.

Pourquoi consid´erer de gros groupes d’automorphismes?

En caract´eristique 0:

|Aut

(C)| ≤ 84 (g − 1) (borne d’Hurwitz 1892)

Probl`eme: classification des groupes d’automorphismes `a genre donn´e.

R´eponse partielle pour les groupes G ⊂ Aut

(C) dits ”larges”:

|G| ≥ 4 (g − 1) (Kulkarni 1997, Breuer 2000)

Par la formule d’Hurwitz, g

= 0 et C → C/G ramifi´e en 3 ou 4 points

Introduction.

Le cas de la caract´eristique p > 0.

En caract´eristique p > 0:

Aut

(C) est encore fini (Schmid 1938).

Si G ⊂ Aut

(C) d’ordre premier `a p (cas mod´er´e),

|G| ≤ 84(g − 1) (Grothendieck 1963)

Sinon, la borne est biquadratique:

|Aut

(C)| ≤ 16g

(Stichtenoth 1973) sauf pour C : W

+ W = X

, q = p

≥ 3.

Explication: apparition de ramification sauvage.

Introduction.

Le cas de la caract´eristique p > 0.

En caract´eristique p > 0:

Aut

(C) est encore fini (Schmid 1938).

Si G ⊂ Aut

(C) d’ordre premier `a p (cas mod´er´e),

|G| ≤ 84(g − 1) (Grothendieck 1963)

Sinon, la borne est biquadratique:

|Aut

(C)| ≤ 16g

(Stichtenoth 1973) sauf pour C : W

+ W = X

, q = p

≥ 3.

Explication: apparition de ramification sauvage.

Introduction.

Le cas de la caract´eristique p > 0.

En caract´eristique p > 0:

Aut

(C) est encore fini (Schmid 1938).

Si G ⊂ Aut

(C) d’ordre premier `a p (cas mod´er´e),

|G| ≤ 84(g − 1) (Grothendieck 1963)

Sinon, la borne est biquadratique:

|Aut

(C)| ≤ 16g

(Stichtenoth 1973)

sauf pour C : W

+ W = X

, q = p

≥ 3.

Les ”grosses actions”.

Introduction des grosses actions.

Id´ee: comme en caract´eristique 0, consid´erer de ”gros” groupes d’automorphismes pour fixer g

et la ramification de C → C/G.

D´efinition (Lehr-Matignon)

Soit C/k une courbe projective lisse connexe de genre g. Soit G un sous-groupe fini de Aut

(C).

On dit que (C, G) est une

si: g ≥ 1.

G est un p-groupe.

|G| > 2p

p − 1 g.

Les ”grosses actions”.

Introduction des grosses actions.

Id´ee: comme en caract´eristique 0, consid´erer de ”gros” groupes d’automorphismes pour fixer g

et la ramification de C → C/G.

D´efinition (Lehr-Matignon)

Soit C/k une courbe projective lisse connexe de genre g.

Soit G un sous-groupe fini de Aut

(C).

On dit que (C, G) est une

si:

g ≥ 1.

G est un p-groupe.

|G| > 2p

− g.

Les ”grosses actions”.

Propri´et´es g´en´erales sur les grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit h l’invariant de Hasse-Witt de C.

Formules d’Hurwitz et Deuring-Shafarevitch `a C → C/G:

[Nakajima 1987]

|G|>_p−1^2p gimpliqueh=0.

un seul point∞∈Cest ramifi´e et mˆeme totalement ramifi´e.

Soit G

le i-i`eme groupe de ramification inf´erieure de G au point

Comme G est un p-groupe, G = G

= G

= G

.

|G| >

g implique C/G

'

et C/G

'

. [Stichtenoth 1973]

En particulier, G

6= {e}.

Les ”grosses actions”.

Propri´et´es g´en´erales sur les grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit h l’invariant de Hasse-Witt de C.

Formules d’Hurwitz et Deuring-Shafarevitch `a C → C/G:

[Nakajima 1987]

|G|>_p−1^2p gimpliqueh=0.

un seul point∞∈Cest ramifi´e et mˆeme totalement ramifi´e.

Soit G

le i-i`eme groupe de ramification inf´erieure de G au point

Comme G est un p-groupe, G = G

= G

= G

.

|G| >

g implique C/G

'

et C/G

'

. [Stichtenoth 1973]

En particulier, G

6= {e}.

Les ”grosses actions”.

Propri´et´es g´en´erales sur les grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit h l’invariant de Hasse-Witt de C.

Formules d’Hurwitz et Deuring-Shafarevitch `a C → C/G:

[Nakajima 1987]

|G|>_p−1^2p gimpliqueh=0.

un seul point∞∈Cest ramifi´e et mˆeme totalement ramifi´e.

Soit G

le i-i`eme groupe de ramification inf´erieure de G au point

Comme G est un p-groupe, G = G

= G

= G

.

|G| >

g implique C/G

'

et C/G

'

. [Stichtenoth 1973]

En particulier, G

6= {e}.

Les ”grosses actions”.

Propri´et´es g´en´erales sur les grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit h l’invariant de Hasse-Witt de C.

Formules d’Hurwitz et Deuring-Shafarevitch `a C → C/G:

[Nakajima 1987]

|G|>_p−1^2p gimpliqueh=0.

un seul point∞∈Cest ramifi´e et mˆeme totalement ramifi´e.

Soit G

le i-i`eme groupe de ramification inf´erieure de G au point

Comme G est un p-groupe, G = G

= G

= G

.

|G| >

g implique C/G

'

et C/G

'

. [Stichtenoth 1973]

En particulier, G

6= {e}.

Les ”grosses actions”.

Propri´et´es g´en´erales sur les grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit h l’invariant de Hasse-Witt de C.

Formules d’Hurwitz et Deuring-Shafarevitch `a C → C/G:

[Nakajima 1987]

|G|>_p−1^2p gimpliqueh=0.

un seul point∞∈Cest ramifi´e et mˆeme totalement ramifi´e.

Soit G

le i-i`eme groupe de ramification inf´erieure de G au point

Comme G est un p-groupe, G = G

= G

= G

.

|G| >

g implique C/G

'

et C/G

'

. [Stichtenoth 1973]

En particulier, G

6= {e}.

Les ”grosses actions”.

Le probl`eme de plongement.

|G| >

g est n´ecessaire pour avoir l’inclusion

G

G

= G.

(contre-exemple: W

− W = X

, p > 2).

Soit X tel que C/G

− {∞} = Speck[X].

G/G

' {X → X + y, y ∈ V} o`u V est un

-sous-espace vectoriel de k. D’o`u la suite exacte:

0 −→ G

−→ G = G

−→

V ' (

/ p

)

−→ 0, avec

π

:

G → V

g → g(X) − X.

Les ”grosses actions”.

Le probl`eme de plongement.

|G| >

g est n´ecessaire pour avoir l’inclusion

G

G

= G.

(contre-exemple: W

− W = X

, p > 2).

Soit X tel que C/G

− {∞} = Speck[X].

G/G

' {X → X + y, y ∈ V} o`u V est un

-sous-espace vectoriel de k.

D’o`u la suite exacte:

0 −→ G

−→ G = G

−→

V ' (

/ p

)

−→ 0, avec

π

:

G → V

g → g(X) − X.

Les ”grosses actions”.

Le probl`eme de plongement.

|G| >

g est n´ecessaire pour avoir l’inclusion

G

G

= G.

(contre-exemple: W

− W = X

, p > 2).

Soit X tel que C/G

− {∞} = Speck[X].

G/G

' {X → X + y, y ∈ V} o`u V est un

-sous-espace vectoriel de k.

D’o`u la suite exacte:

0 −→ G

−→ G = G

−→

V ' (

/ p

)

−→ 0, avec

π

:

G → V

g → g(X) − X.

Les ”grosses actions”.

Plan de la th`ese.

Chapitre 1: Mise en perspective dans le cadre g´en´eral des G-actions de courbes.

Chapitre 2: [MR] ”Smooth curves having a large automorphism p-group in characteristic p > 0.”

Conditions n´ecessaires surG₂. En particulier,G₂=D(G).

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposant quelconque.

Chapitre 3: [Ro1] ”Large p-group actions with a p-elementary abelian derived group.”

Param´etrisation des grosses actions avec D(G) ' (

/p

)

. Chapitre 4: [Ro2] ”Large p-group actions with

≥

(p²−1)²

.”

R´esultats de finitude et poursuite de la classification des grosses actions.

Les ”grosses actions”.

Condition de transfert.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit H un sous-groupe distingu´e de G tel que H

G

.

Alors, (C/H, G/H) est une grosse action telle que (G/H)

= G

/H.

Application: Prendre H = Fratt (G

) = D(G

) G

.

On obtient ainsi une grosse action (C, G) avec G

' (Z/p

. ([Ro1]).

Cas particulier: (C,G) grosse action avec G

'

/p

.

Les ”grosses actions”.

Condition de transfert.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit H un sous-groupe distingu´e de G tel que H

G

.

Alors, (C/H, G/H) est une grosse action telle que (G/H)

= G

/H.

Application: Prendre H = Fratt (G

) = D(G

) G

.

On obtient ainsi une grosse action (C, G) avec G

' (

/p

)

. ([Ro1]).

Cas particulier: (C,G) grosse action avec G

'

/p

.

Les ”grosses actions”.

Condition de transfert.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action de genre g ≥ 2.

Soit H un sous-groupe distingu´e de G tel que H

G

.

Alors, (C/H, G/H) est une grosse action telle que (G/H)

= G

/H.

Application: Prendre H = Fratt (G

) = D(G

) G

.

On obtient ainsi une grosse action (C, G) avec G

' (

/p

)

. ([Ro1]).

Cas particulier: (C,G) grosse action avec G

'

/p

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

Caract´erisation des grosses actions avec G

' Z /p Z .

Th´eor`eme (L-M)

Soit (C,G) une grosse action de genre g ≥ 2 telle que G

'

/p

. Alors,

C ∼ C

: W

− W = f (X) := c X + X S(X) ∈ k[X]

o`u S(X) = (a

id + a

F + . . . a

F

) (X) est additif de degr´e p

, s ≥ 1.

On d´efinit le polynˆome palindromique de S (Elkies): Ad

:= 1

a

F

s

∑

j=0

( a

F

+ F

a

) et V ⊂ Z(Ad

) ' (Z/p

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

Caract´erisation des grosses actions avec G

' Z /p Z .

Th´eor`eme (L-M)

Soit (C,G) une grosse action de genre g ≥ 2 telle que G

'

/p

. Alors,

C ∼ C

: W

− W = f (X) := c X + X S(X) ∈ k[X]

o`u S(X) = (a

id + a

F + . . . a

F

) (X) est additif de degr´e p

, s ≥ 1.

On d´efinit le polynˆome palindromique de S (Elkies):

Ad

:= 1 a

F

s

∑

j=0

( a

F

+ F

a

) et V ⊂ Z(Ad

) ' (Z/p

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

Caract´erisation des grosses actions avec G

' Z /p Z .

Th´eor`eme

Soit A

le groupe d’inertie sauvage de Aut

(C) au point

0 −→ Z(A

) = D(A

) '

/p

−→ A

−→

Z(Ad

) ' (

/p

)

−→ 0 Pour p > 2, unique groupe extrasp´ecial d’exposant p et d’ordre p

.

Il existe un

-sous-espace vectoriel V ⊂ Z(Ad

) tel que: 0 −→

/p

−→ A

−→

Z(Ad

) −→ 0

||

0 −→

/p

−→ G −→

V −→ 0

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

Caract´erisation des grosses actions avec G

' Z /p Z .

Th´eor`eme

Soit A

le groupe d’inertie sauvage de Aut

(C) au point

0 −→ Z(A

) = D(A

) '

/p

−→ A

−→

Z(Ad

) ' (

/p

)

−→ 0 Pour p > 2, unique groupe extrasp´ecial d’exposant p et d’ordre p

. Il existe un

-sous-espace vectoriel V ⊂ Z(Ad

) tel que:

0 −→

/p

−→ A

−→

Z(Ad

) −→ 0

||

0 −→

/p

−→ G −→

V −→ 0

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

Caract´erisation des grosses actions avec G

' Z /p Z .

Th´eor`eme R´eciproque:

Soit

C

: W

− W = f (X) := c X + X S(X) ∈ k[X]

o`u S(X) est un polynˆome additif de k[X] de degr´e p

avec s ≥ 1.

Alors, (C

,A

) est une grosse action dont le G

est cyclique d’ordre p.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

D´etermination alg´ebrique de G

.

Corollaire (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2. Alors, G

= D(G).

En particulier, G n’est pas ab´elien.

Preuve: Si D(G)

G

,

Par transfert, on se ram`ene `a une grosse action (C/H, G/H) avec (G/H)

'

/p

.

Alors, C/H : W

− W = X S(X) + cX, o`u S est additif de degr´e p

. G/H sous-groupe ab´elien normal d’un groupe extrasp´ecial: d’o`u

|G/H| ≤ p

.

Comme g

=

(p − 1) p

, on trouve

C/H

≤

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

D´etermination alg´ebrique de G

.

Corollaire (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2. Alors, G

= D(G).

En particulier, G n’est pas ab´elien.

Preuve: Si D(G)

G

,

Par transfert, on se ram`ene `a une grosse action (C/H, G/H) avec (G/H)

'

/p

.

Alors, C/H : W

− W = X S(X) + cX, o`u S est additif de degr´e p

. G/H sous-groupe ab´elien normal d’un groupe extrasp´ecial: d’o`u

|G/H| ≤ p

.

Comme g

=

(p − 1) p

, on trouve

C/H

≤

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

D´etermination alg´ebrique de G

.

Corollaire (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2. Alors, G

= D(G).

En particulier, G n’est pas ab´elien.

Preuve: Si D(G)

G

,

Par transfert, on se ram`ene `a une grosse action (C/H, G/H) avec (G/H)

'

/p

.

Alors, C/H : W

− W = X S(X) + cX, o`u S est additif de degr´e p

. G/H sous-groupe ab´elien normal d’un groupe extrasp´ecial: d’o`u

|G/H| ≤ p

.

Comme g

=

(p − 1) p

, on trouve

C/H

≤

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

D´etermination alg´ebrique de G

.

Corollaire (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2. Alors, G

= D(G).

En particulier, G n’est pas ab´elien.

Preuve: Si D(G)

G

,

Par transfert, on se ram`ene `a une grosse action (C/H, G/H) avec (G/H)

'

/p

.

Alors, C/H : W

− W = X S(X) + cX, o`u S est additif de degr´e p

.

G/H sous-groupe ab´elien normal d’un groupe extrasp´ecial: d’o`u

|G/H| ≤ p

.

Comme g

=

(p − 1) p

, on trouve

C/H

≤

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

D´etermination alg´ebrique de G

.

Corollaire (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2. Alors, G

= D(G).

En particulier, G n’est pas ab´elien.

Preuve: Si D(G)

G

,

Par transfert, on se ram`ene `a une grosse action (C/H, G/H) avec (G/H)

'

/p

.

Alors, C/H : W

− W = X S(X) + cX, o`u S est additif de degr´e p

. G/H sous-groupe ab´elien normal d’un groupe extrasp´ecial: d’o`u

|G/H| ≤ p

.

Comme g

=

(p − 1) p

, on trouve

C/H

≤

.

Les grosses actions avecG₂'Z/pZ.

D´etermination alg´ebrique de G

.

Corollaire (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2. Alors, G

= D(G).

En particulier, G n’est pas ab´elien.

Preuve: Si D(G)

G

,

Par transfert, on se ram`ene `a une grosse action (C/H, G/H) avec (G/H)

'

/p

.

Alors, C/H : W

− W = X S(X) + cX, o`u S est additif de degr´e p

. G/H sous-groupe ab´elien normal d’un groupe extrasp´ecial: d’o`u

|G/H| ≤ p

.

Comme g

=

(p − 1) p

, on trouve

C/H

≤

.

Classification des grosses actions.

Classification des grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action avec g ≥ 2. Le crit`ere de classification est

.

|G|

g²

≤

(Stichtenoth).

D’autre part, par la formule d’Hurwitz:

|G|

g

≥ M > 0 ⇒ |G

| ≤ 4 M

|G

/G

|

(|G

/G

| − 1)

o`u G = G

= G

G

= . . . = G

G

= . . ..

Lorsque M =

, G

'

/p

et deux cas sont possibles: [L-M]

g² =_(p−1)^4p ₂. [A_∞,1:G] =petVhyperplan deZ(Ad_S). Dans ce cas,^|G|

g² = ⁴

(p−1)².

([Ro2]) Poursuite de la classification pour M =

.

Classification des grosses actions.

Classification des grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action avec g ≥ 2. Le crit`ere de classification est

.

|G|

g²

≤

(Stichtenoth).

D’autre part, par la formule d’Hurwitz:

|G|

g

≥ M > 0 ⇒ |G

| ≤ 4 M

|G

/G

|

(|G

/G

| − 1)

o`u G = G

= G

G

= . . . = G

G

= . . ..

Lorsque M =

, G

'

/p

et deux cas sont possibles: [L-M]

g² =_(p−1)^4p ₂. [A_∞,1:G] =petVhyperplan deZ(Ad_S). Dans ce cas,^|G|

g² = ⁴

(p−1)².

([Ro2]) Poursuite de la classification pour M =

.

Classification des grosses actions.

Classification des grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action avec g ≥ 2. Le crit`ere de classification est

.

|G|

g²

≤

(Stichtenoth).

D’autre part, par la formule d’Hurwitz:

|G|

g

≥ M > 0 ⇒ |G

| ≤ 4 M

|G

/G

|

(|G

/G

| − 1)

o`u G = G

= G

G

= . . . = G

G

= . . ..

Lorsque M =

, G

'

/p

et deux cas sont possibles: [L-M]

g² =_(p−1)^4p ₂. [A_∞,1:G] =petVhyperplan deZ(Ad_S). Dans ce cas,^|G|

g² = ⁴

(p−1)².

([Ro2]) Poursuite de la classification pour M =

.

Classification des grosses actions.

Classification des grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action avec g ≥ 2. Le crit`ere de classification est

.

|G|

g²

≤

(Stichtenoth).

D’autre part, par la formule d’Hurwitz:

|G|

g

≥ M > 0 ⇒ |G

| ≤ 4 M

|G

/G

|

(|G

/G

| − 1)

o`u G = G

= G

G

= . . . = G

G

= . . ..

Lorsque M =

, G

'

/p

et deux cas sont possibles: [L-M]

G=A_∞,1etV=Z(Ad_S). Dans ce cas,^|G|

g² =_(p−1)^4p ₂. [A_∞,1:G] =petVhyperplan deZ(Ad_S). Dans ce cas,^|G|

g² = ⁴

(p−1)².

([Ro2]) Poursuite de la classification pour M =

.

Classification des grosses actions.

Classification des grosses actions.

Soit (C, G) une grosse action avec g ≥ 2. Le crit`ere de classification est

.

|G|

g²

≤

(Stichtenoth).

D’autre part, par la formule d’Hurwitz:

|G|

g

≥ M > 0 ⇒ |G

| ≤ 4 M

|G

/G

|

(|G

/G

| − 1)

o`u G = G

= G

G

= . . . = G

G

= . . ..

Lorsque M =

, G

'

/p

et deux cas sont possibles: [L-M]

G=A_∞,1etV=Z(Ad_S). Dans ce cas,^|G|

g² =_(p−1)^4p ₂. [A_∞,1:G] =petVhyperplan deZ(Ad_S). Dans ce cas,^|G|

g² = ⁴

(p−1)².

Classification des grosses actions.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2 telle que

≥

(p²−1)²

. Alors, G

' (

/p

)

, 1 ≤ n ≤ 3.

Preuve:

|G

| divise p

.

On en d´eduit que G

est ab´elien. On exclut le cas G

'

/p

×

/p

M´ethode: ´etude de la filtration de ramification de G

.

Reste `a exclure les cas cycliques: G

'

/p

et G

'

/p

.

M´ethode: consid´erer le probl`eme de plongement.

Classification des grosses actions.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2 telle que

≥

(p²−1)²

. Alors, G

' (

/p

)

, 1 ≤ n ≤ 3.

Preuve:

|G

| divise p

.

On en d´eduit que G

est ab´elien. On exclut le cas G

'

/p

×

/p

M´ethode: ´etude de la filtration de ramification de G

.

Reste `a exclure les cas cycliques: G

'

/p

et G

'

/p

.

M´ethode: consid´erer le probl`eme de plongement.

Classification des grosses actions.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2 telle que

≥

(p²−1)²

. Alors, G

' (

/p

)

, 1 ≤ n ≤ 3.

Preuve:

|G

| divise p

.

On en d´eduit que G

est ab´elien.

On exclut le cas G

'

/p

×

/p

M´ethode: ´etude de la filtration de ramification de G

.

Reste `a exclure les cas cycliques: G

'

/p

et G

'

/p

.

M´ethode: consid´erer le probl`eme de plongement.

Classification des grosses actions.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2 telle que

≥

(p²−1)²

. Alors, G

' (

/p

)

, 1 ≤ n ≤ 3.

Preuve:

|G

| divise p

.

On en d´eduit que G

est ab´elien.

On exclut le cas G

'

/p

×

/p

M´ethode: ´etude de la filtration de ramification de G

.

Reste `a exclure les cas cycliques: G

'

/p

et G

'

/p

.

M´ethode: consid´erer le probl`eme de plongement.

Classification des grosses actions.

Proposition (MR)

Soit (C,G) une grosse action avec g ≥ 2 telle que

≥

(p²−1)²

. Alors, G

' (

/p

)

, 1 ≤ n ≤ 3.

Preuve:

|G

| divise p

.

On en d´eduit que G

est ab´elien.

On exclut le cas G

'

/p

×

/p

M´ethode: ´etude de la filtration de ramification de G

.

Reste `a exclure les cas cycliques: G

'

/p

et G

'

/p

.

M´ethode: consid´erer le probl`eme de plongement.

Grosses actions avecG₂cyclique.

Grosses actions avec G

cyclique.

Plus g´en´eralement:

Th´eor`eme (MR)

Soit (C,G) une grosse action. Si G

'

/p

, alors n = 1.

Preuve:

Par transfert, on se ram`ene au cas n = 2, i.e. G

'

Soient L := k(C) et k(X) := L

.

Alors, L/k(X) est une extension d’Artin-Schreier-Witt: [W

, V

]

− [W

,V

] = [f

(X), g

(X)] ∈ W

(k[X]). Probl`eme de plongement. R´esoudre mod

(k[X])) :

∀ y ∈ V, [f

(X + y), g

(X + y)] = n(y) [f

(X), g

(X)] n(y) ∈ (

/p

)

Grosses actions avecG₂cyclique.

Grosses actions avec G

cyclique.

Plus g´en´eralement:

Th´eor`eme (MR)

Soit (C,G) une grosse action. Si G

'

/p

, alors n = 1.

Preuve:

Par transfert, on se ram`ene au cas n = 2, i.e. G

'

Soient L := k(C) et k(X) := L

.

Alors, L/k(X) est une extension d’Artin-Schreier-Witt: [W

, V

]

− [W

,V

] = [f

(X), g

(X)] ∈ W

(k[X]). Probl`eme de plongement. R´esoudre mod

(k[X])) :

∀ y ∈ V, [f

(X + y), g

(X + y)] = n(y) [f

(X), g

(X)] n(y) ∈ (

/p

)

Grosses actions avecG₂cyclique.

Grosses actions avec G

cyclique.

Plus g´en´eralement:

Th´eor`eme (MR)

Soit (C,G) une grosse action. Si G

'

/p

, alors n = 1.

Preuve:

Par transfert, on se ram`ene au cas n = 2, i.e. G

'

Soient L := k(C) et k(X) := L

.

Alors, L/k(X) est une extension d’Artin-Schreier-Witt:

[W

,V

]

− [W

,V

] = [f

(X), g

(X)] ∈ W

(k[X]).

Probl`eme de plongement. R´esoudre mod

(k[X])) :

∀ y ∈ V, [f

(X + y), g

(X + y)] = n(y) [f

(X), g

(X)] n(y) ∈ (

/p

)

Grosses actions avecG₂cyclique.

Grosses actions avec G

cyclique.

Plus g´en´eralement:

Th´eor`eme (MR)

Soit (C,G) une grosse action. Si G

'

/p

, alors n = 1.

Preuve:

Par transfert, on se ram`ene au cas n = 2, i.e. G

'

Soient L := k(C) et k(X) := L

.

Alors, L/k(X) est une extension d’Artin-Schreier-Witt:

[W

,V

]

− [W

,V

] = [f

(X), g

(X)] ∈ W

(k[X]).

Probl`eme de plongement. R´esoudre mod

(k[X])) :

∀ y ∈ V, [f

(X + y), g

(X + y)] = n(y) [f

(X), g

(X)] n(y) ∈ (

/p

)

Grosses actions avecG₂cyclique.

Remarque

Probl`eme: obstruction li´ee au cocycle de Witt.

Il faut donc chercher G

sous la forme:

G

' (

/p

) × (

/p

)

Question: trouver une borne inf´erieure sur t.

Dans la suite, on construit de telles actions avec t = O(log

g).

Grosses actions avecG₂cyclique.

Remarque

Probl`eme: obstruction li´ee au cocycle de Witt.

Il faut donc chercher G

sous la forme:

G

' (

/p

) × (

/p

)

Question: trouver une borne inf´erieure sur t.

Dans la suite, on construit de telles actions avec t = O(log

g).

Grosses actions avecG₂cyclique.

Remarque

Probl`eme: obstruction li´ee au cocycle de Witt.

Il faut donc chercher G

sous la forme:

G

' (

/p

) × (

/p

)

Question: trouver une borne inf´erieure sur t.

Dans la suite, on construit de telles actions avec t = O(log

g).

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Grosses actions avec G

ab´elien d’exposant p

.

Notations: q := p

, e ∈

, K :=

(X), K

fix´e, m ∈

D´efinition

(K. Lauter 1999, R. Auer 1999) On appelle K

⊂ K

l’extension ab´elienne maximale de K

de conducteur ≤ m∞

totalement d´ecompos´ee au-dessus de S := {(X − y), y ∈

}.

Remarque

Gm

:= Gal(K

/K) ' 1 + Z

[[Z]]

h 1 + Z

[[Z]], 1 − yZ, y ∈

i , avec Z = X

(Lauter)

est d’exposant 1 ou p ⇔ m < m

:= p

+ p + 1.

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Grosses actions avec G

ab´elien d’exposant p

.

Notations: q := p

, e ∈

, K :=

(X), K

fix´e, m ∈

D´efinition

(K. Lauter 1999, R. Auer 1999) On appelle K

⊂ K

l’extension ab´elienne maximale de K

de conducteur ≤ m∞

totalement d´ecompos´ee au-dessus de S := {(X − y), y ∈

}.

Remarque

Gm

:= Gal (K

/K) ' 1 + Z

[[Z]]

h1 + Z

[[Z]], 1 − yZ, y ∈

i , avec Z = X

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Exemples de grosses actions avec G

ab´elien d’exposant p

.

Proposition (MR)

{X → X + y, y ∈

} s’´etend en un p-groupe G

⊂ Aut

(K

):

0 −→

−→ G

−→

−→ 0.

Soit C

/

la courbe projective lisse de corps de fonctions K

.

Son deuxi`eme groupe de ramificationGm₂ ab´elien d’exposant p².

Remarque

De mˆeme pour obtenir G

ab´elien d’exposant quelconque.

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Exemples de grosses actions avec G

ab´elien d’exposant p

.

Proposition (MR)

{X → X + y, y ∈

} s’´etend en un p-groupe G

⊂ Aut

(K

):

0 −→

−→ G

−→

−→ 0.

Soit C

/

la courbe projective lisse de corps de fonctions K

.

Son deuxi`eme groupe de ramificationGm₂ ab´elien d’exposant p².

Remarque

De mˆeme pour obtenir G

ab´elien d’exposant quelconque.

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Exemples de grosses actions avec G

ab´elien d’exposant p

.

Proposition (MR)

{X → X + y, y ∈

} s’´etend en un p-groupe G

⊂ Aut

(K

):

0 −→

−→ G

−→

−→ 0.

Soit C

/

la courbe projective lisse de corps de fonctions K

.

Son deuxi`eme groupe de ramificationGm₂ ab´elien d’exposant p².

Remarque

De mˆeme pour obtenir G

ab´elien d’exposant quelconque.

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Remarque

(Lien avec les courbes alg´ebriques avec beaucoup de points rationnels).

N

= |C

(

)| = 1 + q|

| = 1 + |G

| D’o`u,

|G

| g

∼ N

g

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Probl`eme:

On sait donner les ´equations de l’extension K

/K.

On cherche `a pr´esent une sous-extension de K

telle que: G

' (

/p

) × (

/p

)

avec t ≥ 1 minimal.

Difficult´e:

PourK^m2, la stabilit´e parFqest assur´ee par l’unicit´e et la maximalit´e. Comment r´eduire le syst`eme d’´equations en conservant la stabilit´e par X→X+y,y∈Fq?

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Probl`eme:

On sait donner les ´equations de l’extension K

/K.

On cherche `a pr´esent une sous-extension de K

telle que:

G

' (

/p

) × (

/p

)

avec t ≥ 1 minimal.

Difficult´e:

PourK^m2, la stabilit´e parFqest assur´ee par l’unicit´e et la maximalit´e. Comment r´eduire le syst`eme d’´equations en conservant la stabilit´e par X→X+y,y∈Fq?

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Probl`eme:

On sait donner les ´equations de l’extension K

/K.

On cherche `a pr´esent une sous-extension de K

telle que:

G

' (

/p

) × (

/p

)

avec t ≥ 1 minimal.

Difficult´e:

PourK^m2, la stabilit´e parFqest assur´ee par l’unicit´e et la maximalit´e.

Comment r´eduire le syst`eme d’´equations en conservant la stabilit´e par X→X+y,y∈Fq?

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Construction d’une extension ”minimale”.

Proposition

q = p

(cas e pair).[MR]

Soient p > 2, K =

(X), avec q = p

, e = 2s et r = p

. Soit L := K(W

,W

. . . W

) l’extension de K param´etr´ee par:







W

− W

= f

(X) := a X

a 6= 0, a ∈ {γ ∈

,

+

= 0}

[W

, W

]

− [W

, W

] = [f

(X),0]

W

− W

= f

(X) := X

(X

− X) ∀ i ∈ {1, . . . , p − 1}

Soit C

/

la courbe projective lisse de corps de fonctions L.

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Proposition

L est une extension ab´elienne de K telle que toutes les places de S se d´ecomposent totalement dans L. En particulier, L ⊂ K

.

Gal(L/K) satisfait:

G

:= Gal(L/K) '

/p

× (

/p

)

avec t = (p −1)e = O(log

(g))

{X → X + y, y ∈

} s’´etend en un p-groupe G ⊂ Aut

(L): 0 −→ G

−→ G −→

−→ 0.

Pour e ≥ 4, (C

,G) est une grosse action avec G

= G

.

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Proposition

L est une extension ab´elienne de K telle que toutes les places de S se d´ecomposent totalement dans L. En particulier, L ⊂ K

.

Gal(L/K) satisfait:

G

:= Gal(L/K) '

/p

× (

/p

)

avec t = (p −1)e = O(log

(g))

{X → X + y, y ∈

} s’´etend en un p-groupe G ⊂ Aut

(L): 0 −→ G

−→ G −→

−→ 0.

Pour e ≥ 4, (C

,G) est une grosse action avec G

= G

.

Exemples de grosses actions avecG₂ab´elien d’exposantp².

Proposition

L est une extension ab´elienne de K telle que toutes les places de S se d´ecomposent totalement dans L. En particulier, L ⊂ K

.

Gal(L/K) satisfait:

G

:= Gal(L/K) '

/p

× (

/p

)

avec t = (p −1)e = O(log

(g))

{X → X + y, y ∈

} s’´etend en un p-groupe G ⊂ Aut

(L):

0 −→ G

−→ G −→

−→ 0.

Pour e ≥ 4, (C

,G) est une grosse action avec G

= G

.