• Aucun résultat trouvé

114 – Anneau des séries formelles.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "114 – Anneau des séries formelles."

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

114 – Anneau des séries formelles.

« C'est pas : on peut définir, c'est bien ! C'est : c'est bien défini ! Ca devrait être en un mot d'ailleurs... Je biendéfinis, tu biendéfinis... »

Un petit commentaire avant de commencer : Une leçon élaborée par une collègue qui a du se débrouiller toute de seule de par la nouveauté de la leçon en 2010. A mon humble avis, cette leçon tient bien la route.

Le plan :

I) Suites dans un anneau, série génératrice.

Construction de A[[X]]. Loi +,x. Exemples. Notion d’ordre, conventions. Propriétés de l’ordre.

Conséquences sur l’intégrité de A[[X]]. Séries formelles emboîtées, valuation. Série formelle dérivée.

II) Propriétés de l’anneau A[[X]].

Eléments inversibles, irréductibles. Corps des fractions. Principalité, localité sous conditions.

Noethérien, A principal=>A[[X]] factoriel et noethérien.

III) Lien avec les fractions rationnelles.

Propriété universelle du corps des fractions. Exemple : K (X)

0

. Contre exemple. Relation de récurrence linéaire dans une série formelle. App : suite de Fibonacci.

IV) Structure d’espace métrique.

Définition de la métrique. Rq. : c’est une ultramétrique. Lien entre suite de Cauchy et convergence. Complétude de K [[X]].

V) Utilisation des séries formelles.

Nombre de dérangements. Parenthésages de Catalan.

Les développements :

A32 : Relation de récurrence linéaire et étude de la suite de Fibonacci A33 : Problème des parenthésages de Catalan

La bibliographie :

[CaA]-[LF1]-[GoC]-[Arn]

Références

Documents relatifs

Dire lesquels parmi eux poss` edent un sous-groupe de type fini libre de rang non nul.. Montrer que le groupe de Galois de l’extension K|Q s’identifie ` a un sous-groupe du groupe

R´ epondre ci-dessous et au verso en justifiant bri` evement.. Indiquer un id´ eal premier

Enfin, certaines propriétés arithmétiques des séries rationnelles déjà étudiées dans le cas d'une variable [26, 1], peuvent être généralisées aux séries formelles à

6 Il s’agit de Jakob Bernoulli (Bâle, 1655 – Bâle, 1705), aîné des frères Bernoulli, et fondateur de la célèbre dynastie de mathématiciens suisses.. Montrer que, pour que A 2

(1) Montrer qu’un anneau A est un anneau de Jacobson si et seulement s’il vérifie la propriété suivant : pour tout anneau quotient intègre R de A, si R admet un élément b tel que

Notons d’abord que toute puissance (d’exposant un entier naturel) d’un entier admet les mêmes diviseurs premiers que cet entier (s vaut 1 ou − 1 suivant que l’entier est

Une condition nécessaire est que la valuation soit paire et que le premier coeffi- cient non nul soit un carré.. En fait c’est une

[r]