∑ Séries entières formelles

Séries entières formelles

1. L’algèbre K[[X]].

2. Valuation.

3. Familles sommables, substitution.

4. Réversion.

5. Dérivation.

6. Exponentielle et séries usuelles.

7. Séries de Laurent, formule de Lagrange.

8. Série de Catalan, transformation de Tchebychev.

9. Applications en algèbre.

10. Applications en analyse.

11. Applications en analyse combinatoire.

12. Applications en théorie des nombres.

13. Séries doubles.

à Christophe Cornut, Pierre-Jean Hormière

____________

« L'Algèbre n'est pas vraiment une discipline indépendante, mais un fondement et un outil pour l'ensemble des mathématiques, et son développement rapide dans les dernières années a été en fait suscité et dirigé par les besoins d'autres disciplines mathématiques.»

Leopold Kronecker (1861), Math. Werke, vol V, p.387

« Qu'est-ce qu'une âme? Il est facile de la définir négativement : c'est très exac-tement cela en nous qui se rétracte quand nous entendons parler de séries algébriques. »

Robert Musil, L’homme sans qualités, II.25

Soit K un corps commutatif. Rappelons que l’algèbre K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K est, à l’origine, définie comme étant l’espace vectoriel K^(N) des suites d’éléments de K, P = (a₀, a₁, a₂, ...), nulles à partir d’un certain rang (≡ à support fini), muni de la multiplication P.Q = R , où P = (a_n) , Q = (b_n) et R = (c_n) est donné par :

c_n =

∑

= +q n p

q pb

a . ( ∀n ∈ N) (1)

On plonge K dans K[X] via a → (a, 0, 0, ... ) et, si l’on note X = (0, 1, 0, ... ) la fameuse « indéter- minée », on voit que (1, X, X², X³, ... ) est une base de K[X], d’où la notation P =

∑

a_n.Xⁿ (somme à support fini). Mais les formules (1) ont encore un sens même si les suites (a_n) et (b_n) ne sont pas à support fini, le seul point important étant que le monoïde additif (N, +) vérifie la condition :

(D) Pour tout n ∈ N, l’ensemble des couples (p, q) ∈ N² tels que p + q = n est fini.

C’est là le point de départ de la théorie des séries entières formelles, laquelle, contrairement à ce qu’affirme Robert Musil, dilate l’âme... à condition toutefois de l’exposer avec la légèreté de Cartan, et non la lourdeur de tels autres. Cette théorie purement algébrique, abstraite et dérangeante (en raison de ses liens ambigus avec les développements limités et en série entière), a de multiples applications, notamment en combinatoire. Elle a été fondée en 1891 par le géomètre algébriste italien Giuseppe Veronese (1854-1917) en vue de jeter les bases d’une géométrie non archimé- dienne.

1. L’algèbre K[[X]].

Proposition 1 : Dans l’espace vectoriel K^N des suites à éléments dans K, l’application de K^N×K^N dans K^N qui à A = (a_n) et B = (b_n) associe la suite C = (c_n) définie par :

c_n =

∑

= +q n p

q pb

a . (∀n ∈ N) (1) est bilinéaire, associative, commutative et unifère d’unité (1, 0, 0, ... ).

Remarque : La suite C est aussi appelée produit de Cauchy des suites A et B, et notée C = A * ^B.

Définition 1 : On note K[[X]] l’algèbre K^N munie de la multiplication définie ci-dessus. On l’appelle algèbre des séries entières formelles à coefficients dans K.

Il résulte de la proposition 1 que K[X] est une sous-algèbre de K[[X]].

Changement de notation : Si A = (a_n) est un élément de K[[X]], on note aussi A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a . Attention ! Il s’agit d’une notation formelle, inattendue dans un chapitre d’algèbre, qui se justifie par les lois : A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a et B =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

b A = B ⇔ (∀n ∈ N) an = b_n A + B =

∑

^+∞

=

+

0

).

(

n

n n

n b X

a _λ.A =

∑

^+∞

=0

.

n

nXn

λa ^{A.B =}

∑

^+∞

=0 n

(

∑

= +q n p

q pb a . ).Xⁿ

(Xⁿ) est une famille libre, mais n’est pas une base de K[[X]], car en général A n’est pas combinaison linéaire de (Xⁿ) ; rappelons qu’une combinaison linéaire est toujours à support fini.

(Xⁿ) n’est une base que du sous-espace K[X] des polynômes.¹ 2. Valuation.

Définition 1 : Soit A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a . On appelle valuation de A :

ω(A) = +∞ si A = 0 et ω(A) = min{ n ∈ N ; a_n≠ 0 } si A ≠ 0 . Proposition 1 : a) On a ω(A + B) ≥ min(ω(A) , ω(B)) et si ω(A) ≠ω(B) il y a égalité ; b) On a ω(λ.A) = + ∞ si λ = 0 , et ω(A) sinon ;

c) On a ω(A.B) = ω(A) + ω(B) dans N ∪ {+∞}.

Corollaire : K[[X]] est intègre.

Proposition 2 : Les inversibles de K[[X]] sont les

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a telles que a₀≠ 0, i.e. de valuation nulle.

Preuve : Si A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a est inversible d’inverse B, on a a₀.b₀ = 1, donc a₀≠ 0.

1 Il résulte de la théorie des espaces de dimension infinie (conséquence de l’axiome du choix) qu’on peut compléter (Xⁿ) en une base de K[[X]], mais pas de manière explicite : cette base reste purement théorique, et, donc inutilisable. De même, K[X] n’a pas de supplémentaire explicite dans K[[X]] : le paradoxe est que de tels supplémenraires sont de grandes dimensions (non dénombrable), mais introuvables. Par suite, deux applications linéaires K[[X]] → E qui coïncident sur les Xⁿ peuvent être distinctes (cf. ex. du §3).

Réciproquement, si a₀ ≠ 0, cherchons B =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

b telle que A.B = 1. Cela conduit à résoudre le système linéaire infini :

a₀.b₀ = 1 a₀.b₁ + a₁.b₀ = 0 . . . . a₀.b_n + ... + a_n.b₀ = 0

Ce système permet de déterminer les a_n par récurrence : b₀ = 1/a₀, b₁ = − a1b₀/a₀ et si b₀, ..., b_n−1 sont connus, b_n = −

0

1

a ^{( a1.bn−1 + ... + an.b0).} Exemples : 1)

−X 1

1 ₌

∑

≥0 n

Xn et X a.

1

−1 ⁼

∑

≥0 n

n nX a . 2) Série génératrice des nombres de Fibonacci :

² 1 X X

X−

− ⁼

∑

^+∞

=0 n

nXn

f , où (f_n) est la suite de Fibonacci, définie par : f₀ = 0 , f₁ = 1 , f_n+2 = f_n+1 + f_n. 3) Polynômes de Tchebychev de première et seconde espèce.

On définit dans C(x)[[X]]

² . 2 1

. 1

X X x

X x +

− − ₌

∑

^+∞

=0

).

(

n

n x Xn

T et

² . 2 1

1 X X x +

− ⁼

∑

^+∞

=0

).

(

n

n x Xn

U

1) Trouver des formules de récurrence vérifiées par les T_n(x) et U_n(x).

2) Exprimer les U_n(x) à l’aide des T'_n(x).

3) Montrer que si x = 2 1_{( z +}

z 1_{) , T}

n(x) = 2

1_{( z}n + _n z

1 ) et ( z − z 1 _).U

n(x) = ( zⁿ⁺¹ − 1₁

+

zn ^).

En déduire T_n(cos θ) = cos(nθ) et Un(cos θ) = θ θ sin

) ) 1 sin((n+

. Proposition 3 : Division selon les puissances croissantes.

Pour tout couple (A, B) ∈ K[[X]]², avec b₀≠ 0, et tout entier p ≥ 0, il existe un unique couple (Q, R) tel que : A = B.Q + X^p+1.R , où Q ∈ K[X] , deg Q ≤ p , et R ∈ K[[X]].

Le polynôme Q est la partie polynômiale de degré ≤ p de la série formelle quotient A/B ∈ K[[X]].

Preuve : L’unicité se montre par soustraction. L’existence par algorithme, et récurrence sur p : Si p = 0, prendre Q =

0 0

b

a . Si le résultat est vrai au rang p, poser :

Q' = Q + X^p+1.

0 0

b r

et R' = ( R −

0 0

b r B ).

X 1 _. Alors A = B.Q' + X^p+2.R' , deg Q' ≤ p + 1, et R' ∈ K[[X]].

Enfin, si l'on note T = A/B, écrivons T = Q + X^p+1.S , deg Q ≤ p, et S ∈ K[[X]] ; alors R = B.S.

Remarque : cette proposition fournit un procédé pratique pour calculer (à un ordre donné) le quotient de A par B, et pour inverser B :

X − X³/6 + X⁵/120 + ... 1 − X²/2 + X⁴/24 + ...

X − X³/2 + X⁵/24 + ... X + X³/3 + 2X⁵/15 + ...

X³/3 − X⁵/30 + ...

X³/3 − X⁵/6 + ...

2X⁵/15 + ...

Exercice 1 : Soit A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a une série formelle telle que a₀≠ 0, B =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

b son inverse.

Montrer que (∀n ∈ N* ) b_n = ₁

0

) 1 (

+

−

n n

a ^.

1 2 1

0 1 2 3

0 1 2

0 1

...

...

...

...

0 0 ...

0

a a

a a

a a a a

a a a

a a

n

n n− −

.

Exercice 2 : Idéaux de K[[X]].

1) Montrer que, pour tout p ∈ N, ℑ_p = { A ∈ K[[X]] ; ω(A) > p } est un idéal principal de K[[X]], et que K[[X]] = K_p[X] ⊕ℑ_p .

On peut noter ℑ_p = O(X^p+1) par analogie avec les développements limités.

2) Montrer que tout idéal de K[[X]] est de cette forme ;

3) Montrer que l’anneau K[[X]] est euclidien pour le stathme v(A) = ω(A) si A ≠ 0 , v(0) = −∞ ; 4) Montrer que X est (à associés près) le seul élément premier de cet anneau.

Remarques : 1) Il résulte de cet exercice que l’arithmétique de l’anneau des séries formelles est pauvre, contrairement à celle de son sous-anneau K[X].

2) En pratique, les calculs sur les séries formelles sont toujours finis, et l’on raisonne modulo O(X^p) pour p assez grand. L’addition nécessite alors O(p) opérations, la multiplication O(p²), mais la transformée de Fourier rapide permet de ramener ce nombre à O(p.log p) opérations.

3. Familles sommables, substitution.

Définition 1 : Une famille (A_i)_i∈I de séries entières formelles, indexée par l’ensemble I, notées A_i =

∑

^+∞

=0 ,.

n i n

n X

a , est dite sommable si, pour tout p ∈ N, on a ω(A_i) ≥ p sauf pour un nombre fini d’indices. Alors, pour tout n, la famille (a_ni)_i∈I des coefficients de Xⁿ dans A_i est à support fini. On appelle somme de la famille (A_i)_i∈I la série entière S =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a , où, pour tout n, a_n =

∑

∈I i

ani . Si I est fini, S n’est autre que

∑

∈I i

Ai . Si I est infini, on note encore S =

∑

∈I i

Ai . Propriétés des familles sommables :

− Si (A_i)_i∈I est sommable et si σ est une permutation de I, (A_σ(i))_i∈I est sommable et a même somme.

− Si (A_i)_i∈I est sommable, toute sous-famille (A_i)_i∈J , J ⊂ I , est sommable.

− Si (J_h)_h∈H est une partition de I, et si (A_i)_i∈I est sommable, on a, en notant B_h =

∑

∈J_h i

Ai ,

∑

i∈I

Ai =

∑

∈H h

Bh .

− Si (A_i)_i∈I et (B_j)_j∈J sont sommables, (A_i.Bj)(i,j)∈I×J est sommable, et :

∑

×

∈I J j i

j iB A

) , (

= (

∑

∈I i

Ai ).(

∑

∈J j

B )j . Exemples : 1) Si A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a , la famille (a_n.Xⁿ)_n∈N est sommable, de somme A.

2) Soit S =

∑

≥ +

0

²) (

n

X n

X . C’est la somme d’une famille de séries entières formelles (en fait, de polynômes), de valuations échelonnées, donc sommable :

1

+ X + X²

+ X² + 2.X³ + X⁴

+ X³ + 3.X⁴ + 3.X⁵ + X⁶ + . . . . ___________________________________

1 + X + 2.X² + 3.X³ + 5.X⁴ + 8.X⁵ + ...

On obtient S =

∑ ∑

≥0 + =

) (

n

n n m k

mk X

C , où Cm^k désigne le coefficient binômial avec la convention Cm^k = 0 si k > m, ou k < 0. Et l’on devine que S =

∑

≥

+ 0

. 1 n

n Xn

f , ce qui sera expliqué ci après.

Exercice 1 : 1) Montrer que d(A, B) = 2−ω(A−B) est une distance ultramétrique sur K[[X]].

2) Montrer que (A, B) → A + B , (A, B) → A.B , A → A' sont continues pour cette distance.

3) Montrer que (K[[X]], d) est complet, et que K[X] est dense dans K[[X]].

4) Soient u et v deux endomorphismes de l’espace vectoriel K[[X]]. Pour qu’ils coïncident, il suffit qu’ils vérifient les deux conditions :

(1) u(Xⁿ) = v(Xⁿ) (∀n ∈ N) ;

(2) Pour toute suite (A_n) telle que ω(A_n) → +∞, ω(u(A_n)) et ω(v(A_n)) → +∞ . 5) Montrer que si (A_n) est une famille sommable de séries entières, A =

∑

≥0 n

An est la limite des sommes partielles. Plus généralement, si (A_i)_i∈I est famille sommable de séries entières,

∑

_i∈IA_i est la limite des sommes finies

∑

_j∈JA_j selon le filtre de Fréchet.

La substitution d’une série dans une autre rentre dans le cadre des familles sommables.

Définition 2 : Soient A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a et B =

∑

^+∞

=1

.

n nXn

b deux séries entières formelles telles que b₀ = 0. La famille (a_n.Bⁿ)_n≥1 est sommable. Sa somme s’appelle composée de A par B et se note AoB, ou A(B). On dit qu’elle s’obtient par substitution de B à X dans A.

La sommabilité de (a_n.Bⁿ) découle de ce que ω(an.Bⁿ) ≥ n. À noter que la condition b₀ = 0 est tout à fait essentielle : si elle n’est pas remplie, on sort du domaine de l’algèbre.

Naturellemment si l’on substitue X à X (resp. 0 à X), on obtient A(X) = A (resp. A(0) = a₀).

Propriétés de la substitution : • ω(A ^o B) = ω(A).ω(B) ;

• Si B est fixé de valuation > 0, A → A^oB est un morphisme d’algèbre de K[[X]] :

(A₁ + A₂) o B = A_{1 o} B + A_{2 o} B , (λ.A) ^o B = λ.(A ^o B) , (A₁.A₂) o B = (A_{1 o} B).(A_{2 o} B) ; Ce morphisme prolonge le morphisme de substitution A ∈ K[X] → A(B) ∈ K[[X]].

• Si (A_i)_i∈I est famille sommable de séries entières, (

∑

_i∈IA_i) o B =

∑

_i∈I (A_{i o} B) ;

• Si B et C sont de valuations > 0, (A o B) o C = A o (B o C) (associativité de la composition formelle). Cela découle de la propriété précédente :

(A o B) o C = (

∑

_n≥0 a_n.Bⁿ ) o C =

∑

_n≥0 a_n.( Bn o C ) =

∑

_n≥0 a_n.( B o C )ⁿ = A o (B o C) . • X est neutre à droite et à gauche pour la composition : X ^o A = A o X = A.

• D(A o B) = (D(A) o B).D(B) , autrement dit : (A o B)'(X) = A'(B(X)).B'(X) (cf. §5).

Remarque : Substituer des valeurs scalaires dans une série entière formelle conduirait à des paradoxes.

Ainsi, formellement U = 1 + X + X² + X³ + ... = 1 + X.U , d’où U =

−X 1

1 _.

En particulier, si l’on fait X = −1 ou X = 2, on obtient : 1 − 1 + 1 −1 + ... =

2

1 et 1 + 2 + 2² + 2³ + ... = −1 (1) De même si l’on substituait X = −1 dans l’identité 1 + 2X + 3X² + ... =

)² 1 (

1

−X , il viendrait : 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ... =

4

1 ₍₂₎

Bien entendu, on ne peut substituer des réels ou des complexes dans une série entière qu’à l’intérieur de son disque de convergence. ²

4. Réversion.

Problème : Soit A ∈ K[[X]]. Peut-on trouver des séries B, resp. C, dans K[[X]] telles que : A o B = X , resp. C o A = X . A-t-on B = C ?

Théorème : Soit A ∈ K[[X]]. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) A(0) = 0 et A'(0) ≠ 0 , i.e. ω(A) = 1 ;

ii) Il existe B ∈ K[[X]] vérifiant B(0) = 0 et A o B = X ; iii) Il existe C ∈ K[[X]] vérifiant C o A = X.

B et C sont uniques, et égales.

On l’appelle série réciproque, ou réversée, de A, et on la note A^<−1>. Preuve : ii) ⇒ i) Si A o B = X, 1 = ω(A o B) = ω(A).ω(B) , donc ω(A) = 1.

i) ⇒ ii) Réciproquement, si A est de valuation 1, cherchons B =

∑

_{n≥1 bn.Y}ⁿ telle que A o B = X.

Cela conduit à résoudre le système triangulaire infini non linéaire en les b_n :

a₁.b₁ = 1 , a₁.b₂ + a₂.(b₁)² = 0 , a₁.b₃ + 2 a₂.b₁.b₂+ a₃.(b₁)³ = 0 , ... (S)

Ces équations permettent de déterminer les b_n par récurrence forte, car la n-ème équation est du type a₁.b_n + P_n(a₂, ..., a_n, b₁, ... , b_n−1) = 0

où P_n est un polynôme bien déterminé à coefficients entiers ≥ 0, linéaire en les a_i. ii) ⇒ iii) Appliquant ii) à B, qui est de valuation 1, soit A' telle que B o A' = X. Alors : A' = X o A' = (A o B) o A' = A o (B o A') = A o X = A , donc B o A = X. iii) ⇒ i) est facile.

En pratique, si A est de valuation 1, pour trouver sa réversée, plutôt que de résoudre le système (S), qui est non linéaire en les b_n, mieux vaut résoudre le système linéaire :

b₁.a₁ = 1 , b₁.a₂ + b₂.(a₁)² = 0 , b₁.a₃ + 2.b₂.a₁.a₂ + b₃.(a₁)³ = 0 , ... (T) Il découle des formules relatives à la dérivée d’une série composée que : B'(Y) =

) )(

' (

1 Y oB

A ^.

Remarques : a) Il résulte de ce théorème que l’ensemble

M M M M

des séries formelles de valuation > 0 est un monoïde pour la loi o, de neutre X, et les séries de valuation 1 forment le groupe des éléments inversibles de (

M M M M

_{, o).}

b) Il existe une remarquable formule donnant les coefficients de B à l’aide de ceux de A : c’est la formule de Lagrange, qui sera vue au § 7. Pour l’instant, indiquons des algorithmes de réversion.

2 Les substitutions précédentes fournissent des résultats fantaisistes, mais auxquels on peut donner un statut rigoureux, car l’imagination des matheux est sans limites... cf. le chapitre sur les séries divergentes.

Exercice 1 : Soit A(X) =

∑

^+∞

=1

.

n nXn

a une série formelle telle que a₁= 1. On note B(Y) = A^<−1>(Y) sa réversée, et l’on pose F(X) = X − A(X).

1) Vérifier que B(Y) = Y + (F o B)(Y).

2) On définit la suite : B₁(Y) = Y , B_n+1(Y) = Y + (F o B_n)(Y).

Montrer que B(Y) ≡ Bn(Y) mod O(Yⁿ⁺¹).

On pourra penser au théorème de point fixe dans un sous-ensemble convenable de (K[[X]], d).

3) Comment étendre les résultats précédents au cas où a₁≠ 0 ? Exercice 2 : réversion par méthode de Newton. ³

On reprend les notations de l’exercice 1, et l’on note f(X) = A(X) − Y. On définit la suite : B₁(Y) = Y , B_n+1(Y) = B_n(Y) −

)) ( '(

)) ( (

Y B f

Y B f

n

n = B_n(Y) −

)) ( '(

)) ( (

Y B A

Y Y B A

n

n − _.

Montrer que : (∀n) B(Y) ≡ B_n(Y) mod O(Y^{2^n}). 5. Dérivation.

Définition 1 : Si A =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a , on appelle série dérivée : A' =

∑

^+∞

=

− 0

. 1 n

nXn

na =

∑

^+∞

= + +

0

1. ) 1 (

n

n Xn

a

n .

Propriétés de la dérivation :

− L’application D : A → A' est une dérivation de l’algèbre K[[X]], i.e. une application linéaire telle que D(A.B) = D(A).B + A.D(B) ; de plus D(1) = 0, D(X) = 1.

D prolonge la dérivation des polynômes.

− Pour toute famille sommable (A_i)_i∈I , (D(A_i))_i∈I est sommable, et D(

∑

_{i∈IAi) =}

∑

_{i∈ID(Ai) .}

− Si a₀≠ 0 et B = 1/A, alors (1/B)' = −A'/A².

− Si b₀ = 0, D(A o B) = [D(A) o B].D(B).

− Si K est de caractéristique 0, D est surjectif, de noyau K.

Exemple : Par dérivations successives,

−X 1

1 = 1 + X + X² + X³ + ... donne : (1 )²

1

−X ⁼

∑

^+∞

= +

0

).

1 (

n

Xn

n , ₃ ) 1 (

2

−X ⁼

∑

^+∞

= + +

0

).

1 )(

2 (

n

Xn

n

n , _p

X) 1 (

−1 ⁼

∑

^+∞

= + − 0

1.

n

n n p

n X

C .

Application combinatoire : Cnⁿ+p−1 = card{ (n₁, ... , n_p) ∈ N^p ; n₁+ ... + n_p = n }.

Il suffit de considérer _p X) 1 (

−1 comme produit de Cauchy de

−X 1

1 p fois par elle-même.

Exercice 1 : c₁, c₂, …, c_k désignent des entiers naturels.

Montrer que a_n =

∑

= + + c n c

k

k

c c c

...

2 1

1

... =

)!

1 2 (

) 1 )(

1 )...(

1 )(

1

( − + −− + + −

k

k n k n n

n

n .

[ Indication : Noter que

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a =

[ ∑

_m≥0 m.X^m

]

^k. ]

3 Compléments dans Knuth, t.2 p. 508-511.

Exercice 2 : Soit A(X) =

∑

^+∞

=0

.

n nXn

a , X = Y

−Y

1 ^{, Y =} X

+X 1 ^.

1) Montrer que X.A(X) = Y.B(Y) , où B(Y) =

∑

_n≥0b_n.Yⁿ , avec b₀ = a₀ , b_n =

∑

= n

k k nka C

0

. . 2) Quelle identité formelle obtient-on en faisant X = 1 ( Euler ) ?

Équations différentielles linéaires dans K[[X]] ( K = R ou C ).

Les équations différentielles ordinaires de l’analyse se résolvent parfois par séries entières. La méthode consiste à chercher les séries entières formelles solutions, puis à déterminer leur rayon de convergence. Mettons l’accent ici sur le premier point.

Exercice 3 : Soient A, B ∈ K[[X]]. Résoudre dans K[[X]] les équations différentielles Y' + A.Y = 0 . et Y' + A.Y = B. Quel énoncé peut-on en déduire relatif aux équations différentielles :

y'(x) + a(x).y(x) = 0 et y'(x) + a(x).y(x) = b(x) , lorsque a et b sont dse au V(0) ? Exercice 4 : Même questions relatives aux équations du second ordre Y" + A.Y' + B.Y = 0 et

y"(x) + a(x).y'(x) + b(x).y(x) = 0.

Exemple 1 : équation d’Airy. Résoudre Y" − X.Y = 0 et y"(x) − x.y(x) = 0.

Exemple 2 : équations de Bessel. Résoudre X².Y" + X.Y' + (X²− n²).Y = 0 (n ∈ N).

Exemple 3 : équation hypergéométrique. Résoudre X(1 − X)Y" + ( c − (a + b + 1)X )Y' − abY = 0 , où a, b, c ∈ C, − c ∉ N.

Exercice 5 : fonction de Stieltjes.

On cherche une fonction F ∈ C(R⁺ , R) telle que : (∀n) F⁽ⁿ⁾(0) = (−1)ⁿ.(n!)² . 1) Montrer que si F existe, elle est loin d’être unique ; est-elle dse au V(0) ? 2) On considère la série de Taylor formelle A =

( )

n n

n

n X

∑

F

≥0 ! ) 0

( .

Montrer que A vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 1 que l’on trouvera.

3) Résoudre l’équation différentielle x² y'(x) + (x + 1) y(x) = 1 sur R*₊. 4) Montrer l’identité :

(∀x > 0) F₀(x) = x

1_e1/x

∫

_]0,x]

t

1_{e−1/t dt =}

∫

_[0,+∞[

v x

v . 1

) exp(+ −

dv (poser v = t 1 ₋

x 1₎ Étudier F₀. Montrer qu’elle vérifie les conditions initiales.⁴

6. Exponentielle et séries usuelles.

Dans ce §, on suppose K = C (ou au moins K de caractéristique 0).

Définition 1 : On appelle exponentielle formelle de X la série exp X =

∑

≥0 !

n n

n X .

Si MMMM désigne l’ensemble des séries formelles de valuation > 0, on note pour tout A ∈ MMMM _: exp(A) = exp(X) o A = 1 +

! 1

A ₊

! 2

² A ₊

! 3 A3

+ ...

Proposition 1 : L’exponentielle formelle est l’unique série entière formelle E telle que : E(0) = 1 et E'(X) = E(X).

Elle vérifie : ∀(a, b) ∈ C² exp(a.X).exp(b.X) = exp((a + b).X).

Plus généralement, pour tout couple (A, B) ∈ MMMM², on a exp(A + B) = exp(A).exp(B).

4 Cet exercice pose des problèmes philosophiques très intéressants. Cf chap sur les séries entières.

Preuve : Montrons la dernière assertion : la famille (

!

! . q p

B A^{p q}

)_(p,q)∈N² est sommable. Sa somme vaut exp(A).exp(B), mais aussi, si on la somme par diagonales p + q = n :

∑

∈ ² ) ,

(pq N !. ! 1

q

p ^{Ap.Bq =}

∑

∈N n

∑

+q=n

p ! !

. q p

B A^{p q}

=

∑

∈N

n !

1 n

∑

= +q n p

np

C .A^p.B^q =

∑

∈

+

N n

n

n B A

! )

( = exp(A + B).

Définition 2 : On note Log(1 + X) la série

∑

^+∞

=

− − 1

1. ) 1 (

n n

n Xⁿ

(logarithme formel).

Plus généralement si N ∈MMMM , on note Log(1 + N) = Log(1 + X) o N = N − 2

² N ₊

3 N3

− 4 N4

+ ...

Attention il s’agit d’une simple notation, justifée par l’analogie avec les développements limités, et par les résultats suivants. Le logarithme n’est défini que pour les séries U telles que U(0) = 1.

Proposition 2 : a) exp(Log(1 + X)) = 1 + X et Log(1 + (exp(X) − 1)) = X.

b) Plus généralement, si UUUU est le groupe multiplicatif des séries formelles U telles que U(0) = 1, l’application A → exp(A) est un isomorphisme du groupe additif MMMM sur le groupe multiplicatif UUUU_. L’isomorphisme réciproque est l’application U = 1 + N → Log(U) = Log(1 + N) : autrement dit, pour tout couple (U, V) ∈ UUUU² , on a Log(U.V) = Log(U) + Log(V).

c) De plus pour tout U ∈UUUU , D(Log U) = D(U)/U.

Preuve : a) Notant C = exp(Log(1 + X)) , on a C' = X +C

1 ^{, d’où D(} X +C

1 ^{) = 0 et} X +C

1 = cste. Or le terme constant de C est 1 ; donc C = 1 + X. La seconde assertion s'en déduit.

b) Si A est de valuation > 0 , exp A = 1 + A/1! + ... = 1 + N , où N est de valuation > 0, donc exp(A)∈UUUU . On a (exp(X) − 1) o A = N ; comme Log(1 + X) est la réversée de exp(X) − 1, on a : A = Log(1 + X) o N. Ainsi, pour tout U = 1 + N ∈UUUU , il existe un et un seul A ∈MMMM tel que exp(A)

= U. C’est A = Log(1 + N).

c) Si l’on dérive exp(A) = U, il vient D(A).exp(A) = D(U), d’où D(A) = D(U)/U.

Définition 3 : On appelle série formelle du binôme B_α(X) = (1 + X)α = exp(α.Log(1 + X)) (α∈ C) (composée de séries formelles).

Proposition 3 : On a ( 1 + X )α+β = ( 1 + X )α.( 1 + X )β

D((1 + X)α) = α.(1 + X)α−1 , et B_α(X) est l’unique série telle que ( 1 + X ).D(B_α) = α.B_α . ( 1 + X )α =

∑

_n≥0 C(α, n).Xⁿ = 1 + α.X +

! 2

) 1 (α−

α _{.X2 + ... +}

!

) 1 )...(

1 (

n n+

−

− α

α

α _{.Xn + ...}

Autres séries formelles usuelles : cos X =

2

1[exp(i.X) + exp(−i.X)] =

∑

^+∞

= −

0

) 1 (

n n

)!

2 (

2

n X ⁿ

sin X =

i 2

1 _{[exp(i.X) − exp(−i.X)] =}

∑

^+∞

=

−

0

) 1 (

n n

)!

1 2 (

1 2

+

+

n X ⁿ

tan X = X X cos

sin _{= X +} . 3

31 X + 15

2 _X⁵ ₊ . 7

31517 X + … ch X =

2

1[exp(X) + exp(−X)] =

∑

^+∞

=0

n (2 )!

2

n X ⁿ

sh X = 2

1[exp(X) − exp(−X)] =

∑

^+∞

=0

n (2 1)!

1 2

+

+

n X ⁿ

th X = chX

shX _{= X −} . 3

31 X + 15

2 _X⁵₋ . 7

31517 X + … Arctan X =

∑

^+∞

=

−

0

) 1 (

n n

1 2

1 2

+

+

n X ⁿ

On définit aussi les séries Arcsin X, Argsh X, Argth X, etc.

Exercice 1 : Une formule d’inversion.

1) Soient (u_n) et (v_n) deux suites complexes. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes : (∀n ∈ N) v_n =

∑

= n

k k nku C

0

. ⇔ (∀n ∈ N) u_n =

∑

=

− − n

k

k nk k

n C v

0

. . ) 1

( .

(∀n ∈ N) v_n =

∑

= −

n

k

k nk kC u

0

. ) 1

( ⇔ (∀n ∈ N) u_n =

∑

= −

n

k

k nk kC v

0

. . ) 1

( .

[ Indication : on pourra considérer les séries formelles U(X) =

∑

≥0 !

n n

n

u _Xn et V(X) =

∑

≥0 !

n n

n v _Xn ]. 2) Application : On note r(n) le nombre de recouvrements d’un ensemble à n éléments (rappelons qu’un recouvrement peut être formé de la partie vide : r(0) = 1, r(1) = 2 car {x} a deux recouvrements {{x}} et {∅, {x}}. Montrer que 2²ⁿ=

∑

≤

≤k n nk

C

0

r(k). En déduire une expression de r(n).

Exercice 2 : Montrer que T : P → exp(−X)

∑

≥0 ! ) (

n

Xn

n n

P est un automorphisme de K[X] préservant le degré, et tel que T⁻¹ o D o T = ∆ , où ∆ : P → P(X + 1) − P(X).

Exercice 3 : On note a₀ = 1 , a₁ = 2 1 _{, a}

k =

) 2 ...(

6 . 4 . 2

) 1 2 ...(

5 . 3 . 1

k k−

.

Calculer le déterminant D_n = det(m_ij)_1≤i,j≤n , où m_ij = a_1+i–j pour j ≤ i + 1, 0 sinon.

Exercice 4 : 1) Montrer que Arctan'(X) =

² 1

1

+X ⁼ 2

−i

[

Log(1 + i.X) − Log(1 − i.X)

]

. 2) Montrer que tan(Arctan X) = Arctan(tan X). ⁵

3) Montrer que tan'(X) = 1 + [ tan X ]².

4) Trouver plusieurs méthodes pour déterminer tan X. Comment en déduire th X ? Exercice 5 : Nombres de Bernoulli. ⁶

On considère la série formelle Φ(X) =

1 ) exp(X −

X _. 1) Vérifier que Φ(X) = −

2 X ₊

2 X _coth

2 X _. 2) On pose Φ(X) = 1 −

2 X ₊

∑

≥

− − 1

) 1

1 (

k

k B_k. )!

2 (

2

k X ^k

( les B_k sont les nombres de Bernoulli ).

a) Écrire une relation de récurrence vérifiée par les B_k. b) Calculer B_k pour 1 ≤ k ≤ 6 , et montrer que B_k ∈ Q.

3) Exprimer à l’aide des B_k les développements en série formelle de : X.coth(X) , th(X) ,

shX

X , puis X.cotg(X) , tg(X) et X X sin ^.

5 Situation différente des fonctions de variable réelle : tan(Arctan x) = x mais Arctan(tan x) ≠ x en général.

6 Il s’agit de Jakob Bernoulli (Bâle, 1655 – Bâle, 1705), aîné des frères Bernoulli, et fondateur de la célèbre dynastie de mathématiciens suisses.

[ On pourra noter que th(X) = 2coth(2X) − coth(X) et

) 2 (

1 X

sh = − coth(2X) + coth(X) ] 4) Montrer que les B_k sont > 0 [ Indication : Noter que tg'(X) = 1 + tg(X)²].

Exercice 6 : équations du second degré dans C[[X]].

1) Montrer que l’équation A² = 1 + X a deux solutions dans C[[X]] ; les déterminer.

2) Soit B ∈ C[[X]]. Montrer que, pour que A² = B ait une solution, il faut et il suffit que B ait une valuation paire ; si cette solution est remplie, B admet deux racines carrées.

3) Cns pour que l’équation A² − S.A + P = 0 d’inconnue A ait une solution dans C[[X]].

4) Montrer que l’équation A^k = 1 + X a exactement k solutions dans C[[X]] ; étudier plus géné- ralement l’équation A^k = B.

5) Reprendre ces questions en remplaçant C par R, puis par un corps quelconque.

Exercice 7 : théorème des fonctions implicites.

Soit P(X, Y) = P₀(X) + P₁(X).Y + ... + P_n(X).Yⁿ un polynôme à deux indéterminées à coefficients dans K, tel que P(0, 0) = P₀(0) = 0 et P'_Y(0, 0) = P₁(0) ≠ 0.

Montrer qu’il existe une série formelle et une seule, Y = A(X) = a₁.X + a₂.X² + ... , telle que P(X , A(X)) = 0.

[ Indication : si l’on suppose trouvées des constantes a₁, ... , a_p telles que le polynôme P(X , a₁.X + ... + a_p.X^p) soit de valuation ≥ r, montrer qu’il existe a_p+1 tel que le polynôme

P(X , a₁.X + ... + a_p+1.X^p+1) soit de valuation ≥ r + 1. ]

Application 1 : calculer Y = A(X) si P(X, Y) = ( 1 − X )^p − Y^q , où p et q sont des entiers > 0.

Application 2 : calculer Y = A(X) lorsque P(X, Y) = X – Y + Y².

Remarque : Ce résultat s’étend au cas où P est une série formelle à deux indéterminées ; il conduit à la théorie de Newton-Puiseux.

7. Séries de Laurent, formule de Lagrange.

On se propose de décrire le corps des fractions K((X)) de l’anneau intègre K[[X]], puis d’étudier l’intersection K[[X]] ∩ K(X).

Problème 1

1) Soit E le sous-espace vectoriel de K^Z formé des suites à support minoré. Montrer que l’application qui aux éléments A = (a_n) et B = (b_n) de E associe la suite C = (c_n) définie par :

c_n =

∑

= +q n p

q pb

a . (∀n ∈ Z) (1)

munit E d’une structure d’algèbre associative commutative unifère et intègre.

2) a) Montrer que l’algèbre K[[X]] se plonge dans E, et que E est un corps. On le note K((X)) ; ses éléments, notés A =

∑

^+∞

−∞

= k

kXk

a . , se nomment séries de Laurent formelles ou séries méromorphes.

b) Montrer que K((X)) est un corps des fractions de K[[X]].

( Observer que tout élément de E s’écrit A/X^p, où A ∈ K[[X]] ).

c) Montrer que K(X) est un sous-corps de K((X)).

3) Substitution. Etendre aux séries de Laurent la notion de famille sommable, et la substitution dans une série de Laurent, d’une série formelle de valuation ≥ 1.

4) Dérivation. Si A =

∑

^+∞

−∞

= k

k kX

a . _∈ K((X)), on note A’ =

∑

^+∞

−∞

= + +

k

k

k X

a k 1) .

( ₁ sa dérivée.

Montrer que (A.B)’ = A’.B + A.B’ ∀(A, B) ∈ K((X))×K((X)) (Aⁿ)’ = n.A’.An−1

∀(n, A) ∈ Z×K((X))−{0}

( F o A )’ = A’.( F o A ). ∀(F, A) ∈ K((X))×K[[X]] , ω(A) ≥ 1 5) Résidus. Si A =

∑

^+∞

−∞

= k

k kX

a . ∈ K((X)), on appelle résidu de A le scalaire Res(A) = a₋₁. Montrer que F ∈ K((X)) est la dérivée d’une série de Laurent si et seulement si Res(F) = 0.

et en déduire que∀(F, A) ∈ K((X))×K[[X]] , ω(A) = 1, Res(F) = Res(A’.(F o A)).

6) Formule de réversion de Lagrange.

Soit A =

∑

_n≥1an.Xⁿ une série formelle telle que a₁ ≠ 0, B = A^<−1> sa réversée.

Montrer que les coefficients de B sont donnés par la formule : (∀k ≥ 1) c_k(B) =

k 1_c

−1( _k A

1 _{) =} k 1_c

k−1((

A X ₎k) .

7) Application : Soient A = X.exp(X) =

∑

≥₁( −1)!

n n

n

X , W sa réversée (série de Lambert).

Montrer que W =

∑

≥

− − 1

) 1

1 (

k k

!

1

k k^k−

X^k .

( Pour une très belle application à la formule de Borchardt, cf. le problème d’ENS 2002.) ___________

Problème 2

Seule la partie III utilise les séries formelles.

Première partie : Identité de Desnanot-Jacobi.

Soit A = (a_ij) ∈ Mp(C) une matrice carrée d’ordre p ≥ 3 à coefficients complexes.

On note A_ij le cofacteur de a_ij dans A, et B = (b_ij) la matrice carrée d’ordre p−2, d’élément général b_ij = a_i+1,j+1 (1≤ i , j ≤ p−2) obtenue en supprimant dans A les lignes et colonnes d’indices 1 et p.

1) Soit D =





















−

−

p p p

p p p

p p p

A A

A A

A A

A A

A A

1 ,

1 , 1

, 1

3 13

2 12

1 11

0 ...

0 0

1 ...

0 0

...

...

...

...

...

...

0 ...

1 0

0 ...

0 1

0 ...

0 0

.

a) Montrer l’identité det(A.D) = (det A)².(det B) = (det A).[ A₁₁.A_pp − Ap1.A_1p ] b) En déduire que si det A ≠ 0, (det A).(det B) = A₁₁.A_pp− A_p1.A_1p (DJ) 2) Montrer que l’identité (DJ) reste valable si det A = 0.

On pourra pour cela utiliser l’une ou l’autre des deux méthodes suivantes :

a) Remarquer que (DJ) est valable si on remplace A par A − λ.I , où det(A − λ.I) ≠ 0 ; b) Montrer que la comatrice de A est de rang 0 ou 1.

Deuxième partie : Déterminants de Hankel.