Théorème de Müntz
On désigne parC([0,1]) l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,1]. Pour tout∏ 0, on note¡∏l’élément deC([0,1]) défini par¡∏(x)=x∏. Par convention on a posé 00=1 de sorte que¡0est la fonction constante 1.
Soit (∏k)k2Nune suite de réels 0 deux à deux distincts. On noteW le sous- espace vectoriel deC([0,1]) engendré la famille (¡∏k)k2N. Le but du problème est d’établir des critères de densité de l’espaceW dansC([0,1]) pour l’une ou l’autre des deux normes classiquesN1ouN2définies par :
N1(f)= sup
x2[0,1]|f(x)| et N2(f)= µZ1
0 |f(x)|2d x
∂12 . La question préliminaire et les parties A, B, C et D
sont indépendantes les unes des autres.
Question préliminaire
1) Montrer que (¡∏)∏ 0est une famille libre deC([0,1]).
A. Déterminants de Cauchy
On considère un entiern>0 et deux suites finies (ak)1…k…n et (bk)1…k…nde réels telles queak+bk6=0 pour toutk2{1,2,...,n}. Pour tout entiermtel que 0<m…n, ledéterminant de Cauchyd’ordremest défini par :
Dm= ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ
a1+1b1 1
a1+b2 ··· a1+1bm
a2+1b1 1
a2+b2 ··· a2+1bm
... ... ...
am1+b1 1
am+b2 ··· am+1bm ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ .
On définit la fraction rationnelle :
R(X)=
n°1Y
k=1
(X °ak) Yn
k=1
(X+bk)
·
2
Pour le lundi 25 novembre 2019
2) Montrer que siR(X) est de la formeR(X)= Xn k=1
Ak
X+bk, alors AnDn=R(an)Dn°1.
On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir deDnen remplaçant la dernière colonne par
0 BB B@
R(a1) R(a2)
...
R(an) 1 CC CA.
3) En déduire que
Dn= Y
1…i<j…n
(aj°ai)(bj°bi) Y
1…i…n 1…j…n
(ai+bj) ·
B. Distance d’un point à une partie dans un espace normé
SoitE un espace vectoriel normé par une normek·k. On rappelle que la distance d’un élémentx2Eà une partie non videAdeEest le réel notéd(x,A) défini par :
d(x,A)=inf
y2Akx°yk.
4) Montrer qued(x,A)=0 si et seulement sixest adhérent àA.
5) Montrer que si (An)n 0 est une suite croissante de parties de E et si A=S
n 0Analorsd(x,A)=limnd(x,An).
On considère un sous-espace vectorielV dedimension finie deE, et on note B={y;ky°xk … kxk}.
6) Montrer queB\V est compacte et que d(x,V)=d(x,B\V) pour tout x2E.
7) En déduire que pour tout x 2 E, il existe un élément y 2 V tel que d(x,V)=kx°yk.
C. Distance d’un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien
Dans cette partie, on suppose que la norme sur l’espace vectorielE est dé- finie à partir d’un produit scalaire (·|·) surE :kxk=p(x|x).
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8) Montrer que siV est un sous-espace vectoriel de dimension finie deE, alors pour tout x2E, la projection orthogonale dexsurV est l’unique élémenty2V vérifiantd(x,V)=kx°yk.
Pour tout suite finie (x1,x2,...,xn)2Enon désigne parG(x1,x2,...,xn) le déter- minant de lamatrice de Gramd’ordrendéfinie par :
M(x1,x2,...,xn)= 0 BB B@
(x1|x1) (x1|x2) ··· (x1|xn) (x2|x1) (x2|x2) ··· (x2|xn)
... ... ...
(xn|x1) (xn|x2) ··· (xn|xn) 1 CC CA.
9) Montrer queG(x1,x2,...,xn)=0 si et seulement si la famille (x1,x2,...,xn) est liée.
10) On suppose que la famille (x1,x2,...,xn) est libre et l’on désigne parV l’espace vectoriel qu’elle engendre. Montrer que, pour toutx2E,
d(x,V)2=G(x1,x2,...,xn,x) G(x1,x2,...,xn) ·
D. Comparaison des normes N
1et N
2Pour toute partieA deC([0,1]) on note A1etA2les adhérences deApour les normesN1etN2, respectivement. Pour f 2C([0,1]) la notationd(f,A) dé- signe toujours la distance de f àA relativement à la norme N2(on ne considé- rera jamais, dans l’énoncé, la distance d’un élément à une partie relativement à la normeN1).
11) Montrer que pour tout f 2C([0,1]),N2(f)…N1(f). En déduire que pour toute partieAdeC([0,1]) on aA1ΩA2.
On considère l’ensemble V0=©
f 2C([0,1]) ;f(0)=0™
, et on rappelle que¡0 désigne la fonction constante 1.
12) Montrer que¡02V02
.
13) En déduire queV0est dense dansC([0,1]) pour la norme N2, mais n’est pasdense pour la normeN1.
14) Montrer que siV est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé, alors son adhérenceV est également un espace vectoriel.
15) Montrer qu’un sous-espace vectorielVdeC([0,1]) est dense pour la norme N1si et seulement si pour tout entierm 0,¡m2V1.
16) En déduire qu’un sous-espace vectorielV deC([0,1]) est dense pour la normeN2si et seulement si pour tout entierm 0,¡m2V2.
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E. Un critère de densité de W pour la norme N
2Pour toutn2N, on noteWnl’espace vectoriel engendré par la famille finie (¡∏k)0…k…n.
17) Montrer que l’espaceW est dense dansC([0,1]) pour la norme N2si et seulement si limnd(¡µ,Wn)=0 pour tout entierµ 0.
18) Montrer que pour toutµ 0,
d(¡µ,Wn)= 1 p2µ+1
Yn k=0
|∏k°µ|
∏k+µ+1. 19) Montrer que pour tout µ 0, la suite ≥ |∏k°µ|
∏k+µ+1
¥
k2N tend vers 1 si et seulement si la suite (∏k)k2Ntend vers+1.
(On pourra pour cela étudier les variations de la fonction x2[0,µ]7! µ°x
x+µ+1·)
20) En déduire que l’espaceW est dense dansC([0,1]) pour la normeN2si et seulement si la sérieX
k
1
∏k est divergente.
F. Un critère de densité de W pour la norme N
121) Montrer que siW est dense dansC([0,1]) pour la normeN1, alors la série X
k
1
∏k est divergente.
22) Soit√=Pn
k=0ak¡∏k un élément quelconque deWn. Montrer que si∏k 1 pour toutk2{0,1,...,n}, alors pour toutµ 1, on a :
N1(¡µ°√)…N2°
µ¡µ°1° Xn k=0
ak∏k¡∏k°1¢ .
23) On suppose que la suite (∏k)k2Nvérifie les deux conditions suivantes : ((i) : ∏0=0
(ii) : ∏k 1 pour toutk 1.
Montrer que sous ces conditions, si la sérieX
k
1
∏k est divergente, alorsW est dense dansC([0,1]) pour la normeN1.
24) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible :
(ii0) : inf
k 1∏k>0.
