2 Convolution et approximations de l’identit´ e

EspacesL^p.

1 Espaces L

Exercice 1 Soit (X,M, µ) un espace mesur´eσ-fini. Soit 1≤p < q≤ ∞. D´emontrer que les affirmations suivantes sont ´equivalentes

1. µ(X)<∞.

2. L^q(X)⊂L^p(X).

3. L^q(X)⊂L^p(X) et l’inclusion est continue.

Exercice 2 (espacesl^p`a poids) Soitw= (wn)<sub>n≥1</sub>une suite de r´eels strictement positifs (on appellera wun poids). Soit 1≤p≤ ∞et soitq son exposant conjugu´e, c’est-`a-dire, ¹_q +¹_p = 1 avec la convention q = 1 si p = ∞ et q = ∞ si p = 1. On d´efinit `<sup>∞</sup>(w) comme ´etant l’ensemble des suites born´ees x:= (xn)n≥1de nombres complexes et pourpfini on d´efinit`^p(w) comme ´etant l’ensemble des suites telles queP

n≥1|xn|^pwn est fini. On d´efinit N∞(x) parN∞(x) = sup_n≥1|xn|et Np(x) = P

n≥1|xn|^pwn

^1/p

pour toutp∈[1,∞[.

1. Montrer que, pour 1 ≤ p ≤ ∞, `^p(w) muni des op´erations usuelles sur les suites est un espace vectoriel.

2. Pour p∈[1,∞[, montrer queN_p est une norme sur`^p(w).

3. Montrer que sip∈[1,+∞] etw_n >0 pour toutn≥1, (`^p(w), N_p) est un espace de Banach.

4. Montrer que sip∈[1,∞], pourx∈`<sup>p</sup>(w) ety∈`^q(w), on a xy∈`¹(w) etN₁(xy)≤N_p(x)N_q(y).

5. Supposonsp≤q.

(a) Montrer que siP

n≥1wn<∞alors`<sup>q</sup>(w)⊂`^p(w) en comparantNp(x) et Nq(x).

(b) Montrer que s’il existeδ >0 tel quewn ≥δ alors`<sup>p</sup>(w)⊂`^q(w).

Exercice 3 (Espaces de Lorentz) Soitf:Rⁿ →Cune fonction Lebesgue mesurable. On consid`ere la fonctionF: [0,∞)→[0,∞], d´efinie par

F(t) =m({x∈Rⁿ:|f(x)|> t}), o`u mest la mesure de Lebesgue surRⁿ. Soit 1≤p <∞.

1. Montrer quekfk^p_p=pR∞

0 t^p−1F(t)dt.

2. On noteL^p,∞(Rⁿ) l’espace des fonctions mesurablesf: Rⁿ →C(quotient´e par la relation d’´equivalence p.p.) telles que

kfk_p,∞^def= sup

t>0

t F(t)^1/p<∞.

Montrer queL^p⊂L^p,∞.

3. Observer que l’inclusion est stricte (consid´erer la fonctionx7→ |x|^−n/p).

4. D´emontrer que k · k_p,∞ est une quasi-norme, autrement dit, elle v´erifie les propri´et´es de nullit´e, d’homog´en´eit´e, et la “quasi-in´egalit´e triangulaire” :∃C >1 : kf+gk ≤C(kfk+kgk).

(Indication :|f(x) +g(x)|> t ⇒ |f(x)|> ₂^t ou|g(x)|>₂^t).

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D´efinition.Unespace vectoriel topologiqueest un couple (V,T), o`uV est un espace vectoriel surK=R ouCetT est une topologie s´epar´ee surV, telle que la sommeV ×V →V et le produit par un scalaire K×V →V sont deux applications continues.

Exemples :(i) tout e.v.n est un espace vectoriel topologique avec la topologie induite par la norme. (ii) L’espace des fonctions continues sur un ouvertC(Ω) est un espace vectoriel topologique (non normable) avec la topologie induite par la distanced(voir la section??). (iii) Tout e.v.n. muni de sa topologie faible.

(iv) Les espace L^p avec 0< p < 1 sont des espaces vectoriels topologiques (mais la topologie n’est pas issue d’une norme).

Exercice 4 (Les espacesL^p([0,1]), 0< p <1). Pour 0< p <1 etf: [0,1]→CLebesgue mesurable, on notekfk^p_p=R1

0 |f(t)|^pdt.

1. D´emontrer queL^p([0,1]) est un espace vectoriel et quek · kp est une quasi-norme.

2. Montrer que (f, g) 7→ kf −gk^p_p d´efinit une distance sur L^p([0,1]) et que cette distance donne `a L^p([0,1]) la structure d’espace vectoriel topologique.

3. D´emontrer qu’avec cette distanceL^p([0,1]) est complet.

4. Soit f ∈L^p([0,1]) et r >0. D´emontrer qu’il existe n∈N^∗ et des fonctionsg₁, . . . , g_n ∈L^p([0,1]) telles que

f = 1

n(g₁+· · ·+g_n), et ∀k, kgkk^p_p< r.

(Indication :poserg_k =nf(x)1_Ik o`u I_k est un intervalle de [0,1] bien choisi).

5. En d´eduire de la question pr´ec´edente que tout convexeC, avecC6=L^p([0,1]), est d’int´erieur vide.

6. On d´efinit comme d’habitude (L^p)^∗ comme l’espace de toutes les applications f: L^p([0,1]) → C lin´eaires et continues. D´eduire de la question pr´ec´edente que (L^p)^∗={0}.

Exercice 5 Soitf: Rⁿ →Cune fonction Lebesgue mesurable. Pour touth∈Rⁿ, on poseτ_hf =f(·−h).

Soit 1≤p <∞. D´emontrer que sif ∈L^p(Rⁿ), alors lim_h→0kτ_hf−fk_p= 0.

2 Convolution et approximations de l’identit´ e

D´efinition. Une approximation de l’identit´e est une famille (φ)_>0 telle que φ ∈ L¹(Rⁿ), φ ≥ 0, R

Rⁿφ= 1, et lim_→0R

|x|≥δφ= 0 pour toutδ >0.

Exemple.Siφ∈L¹(Rⁿ),φ≥0 etR

Rⁿφ= 1 alorsφ=⁻ⁿφ(·/) est une approximation de l’identit´e.

Exercice 6 (Th´eor`eme d’approximation) Soit (φ) une approximation de l’identit´e.

1. Montrer que sif ∈L¹(Rⁿ) alorsφ∗f ^L→¹ f pour→0. (On pourra utiliser l’exercice pr´ec´edent).

2. Soit f ∈C_c(Rⁿ). Montrer que φ∗f est continue et queφ∗f →f uniform´ement dans Rⁿ pour →0.

3. Soit 1< p <∞etf ∈L^p(Rⁿ). Montrer queφ∗f ^L→^pf pour→0.

Exercice 7 Soitf une fonction localement int´egrable dansRⁿ. Montrer que les trois conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i)f = 0 p.p. (ii)∀x∈Rⁿ,et ∀r >0, R

B(x,r)f = 0 (iii)R

Rⁿf ϕ= 0 pour touteϕ∈C_c^∞(Rⁿ).

Exercice 8 (L’´equation de la chaleur dansRⁿ) Le probl`eme de Cauchy pour l’´equation de la chaleur s’´ecrit

(∂_tu= ∆u, (x, t)∈Rⁿ×(0,∞) u|t=0=f, x∈Rⁿ

Ici f =f(x), o`u f ∈L<sup>p</sup>(R<sup>n</sup>) est une fonction donn´ee (1≤p <∞) et l’inconnue u=u(x, t) exprime la temp´erature au point xet `a l’instant t.

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1. Soit, pour x ∈ Rⁿ et t > 0, Kt(x) = ^e−|x|

2/(4t)

(4πt)^n/2 . V´erifier que (x, t) 7→ Kt(x, t) est solution de l’´equation de la chaleur dans (x, t)∈Rⁿ×(0,∞) (cette solution est dite “solution fondamentale”).

2. Justifier les identit´es dans Rⁿ×(0,∞) :

∂t(Kt∗f) = (∂tKt∗f) et D^m_x

j(Kt∗f) = (D^m_x

jKt∗f), (m= 1,2).

3. En d´eduire queu=Kt∗f est solution de l’´equation de la chaleur ∂tu= ∆u.

4. V´erifier que (Kt)t>0 est une approximation de l’identit´e pour t → 0. En d´eduire que u(·, t) ^L→^p f pour t→0 (ceci permet de donner un sens `a la conditionu|t=0=f). Montrer que sif ∈Cc(Rⁿ) alorsu(x, t)→f(x) pour t→0, uniform´ement pourx∈Rⁿ.

D´efinition (produit de convolution dans le tore). On note L¹(T) l’ensemble des fonctions 2π- p´eriodiquesf:R→Cet int´egrables dans [0,2π), norm´e par kfk1= _2π¹ R2π

0 |f(θ)|dθ. Pourf, g∈L¹(T), on d´efinitf ∗g(x) = _2π¹ R2π

0 f(x−t)g(t)dt. On d´efinit ensuite (comme dansRⁿ) les approximations de l’id´entit´e (φ) dans le tore.

Remarque.Les in´egalit´es de Young et le th´eor`eme d’approximation restent valables dans le tore avec les mˆemes d´emonstrations.

Exercice 9 (Le probl`eme de Dirichlet pour le Laplacien dans le disque) On se propose de trouver une fonctionv, harmonique dans l’int´erieur du disque{x∈R<sup>2</sup>:|x|<1} (c’est `a dire,v de classe C²et ∆v= 0), telle que v|_{x:|x|=1}=g, o`u gest une fonction donn´ee sur le cercle.

Pour 0≤r <1, etθ∈R, on posePr(θ) =P∞

n=−∞r^|n|e^inθ. 1. D´emontrer que

P_r(θ) = 1−r² 1−2rcosθ+r².

2. D´emontrer quePr est une approximation de l’identit´e pourr→1 (c’est `a dire,φ=P₁₋ est une approximation de l’identit´e).

3. On consid`ere l’op´erateur diff´erentielL= _∂r^∂22 +¹_r∂r^∂ +_r¹2

∂²

∂θ². V´erifier queLPr= 0.

4. Soitf ∈L¹(T). On poseu(r, θ) =Pr∗f(θ). V´erifier queLu= 0 et queu(r, θ)→f(θ) pourr→1 dansL¹(T). Que peut-on dire de plus sif est est continue sur le cercle ?

5. Conclure.

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