le 17 F´evrier 2011 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
T D N
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espaces vectoriels
Exercice 1 Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels sur R? 1. {x=a+bi;a, b∈Q}.
2. V ={(Un)n∈N; (Un)n∈N suite r´eelle convergente} (les lois sont : (un) + (vn) = (un+vn) et λ(un) = (λun) pour(un),(vn)∈V et λ∈R).
3. F={P(X);P(X) polynˆome `a co´efficients r´eels tel que P′(0) = 0 etP′′(0) = 0}.
4. {f ∈ C2(R,R)/f′′+f′+f = 0} muni des op´erations classiques sur F(R,R).
Exercice 2 Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels sur R ou C? 1 - {
a a a
−a 0 ia
0 a a
;a∈C} 2 - {
a 0 0 0 b 0 d 0 c
;a, b, c, d∈R, abc= 1} 3 - {
a 0 0 0 b 0 d 0 c
;a, b, c, d∈R, a+b+c= 0}
Exercice 3 Montrer que R∗+ est un espace vectoriel sur R muni des lois suivantes : - loi interne . telle que ∀a, b∈R∗+, a.b=ab,
- loi externe∧ telle que ∀a∈R∗+,λ∈R, λ∧a=aλ.
Exercice 4( R2 muni des lois + et. ci-dessous est-il un espace vectoriel ? a
b )
+ ( c
d )
=
( a+c b+d
) et λ.
( a b
)
= ( a
λb )
.
Exercice 5 Les ensemble suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R3? F ={
x y z
∈R3,2x+y+z= 0, x−y=z−2x}
F ={
x y z
∈R3,2x+y+z= 0,(x−y)2 =z−2x}
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Exercice 6 On d´esigne par E le K-espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1]. Les en- sembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E?
{f ∈E,2.f(0) =f(1)},{f ∈E, f(0) + 1 =f(1)},{f ∈E,∀x∈[0,1]f(x) =f(1−x)}.
Exercice 7 Soient E un espace vectoriel, F etG deux sous-espaces vectoriels de E.
1)F∩G est il un sous-espace vectoriel deE? Si oui, le d´emontrer, sinon, donner un contre- exemple.
2)F∪G est il un sous-espace vectoriel deE? Si oui, le d´emontrer, sinon, donner un contre- exemple.
Exercice 8 Soient : P =−X+ 2X2, Q=i+ 4X+ 2X2, R= 3i+ 13X+ 4X2
des polynˆomes de C[X] (l’ensemble des polynˆomes `a coefficients complexes : c’est un espace vectoriel sur C).
1- Le polynˆome R appartient-il au sous-espace engendr´e par P et Q? 2- Quel est le sous-espace vectoriel engendr´e par ces trois polynˆomes ?
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