Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 26 (31/05 – 04/06)
NB : Les après-midis sont à nouveau en distanciel cette semaine.Peut-être faudra-t-il comme la dernière fois prévoir de décaler certaines colles de sorte à laisser le temps aux étudiants de revenir au lycée ; ou de faire certaines colles en distanciel, pour les étudiants qui ont beaucoup de trajet. Les colles en présentiel doivent tout de même rester la norme (consigne de l’administration)
Chapitre 24 : Applications linéaires
1. Généralités
‚ Définition, respect du neutre, caractérisation par conservation des CL
‚ Exemples. En particulier l’exemple générique X ÞÑ M X, M étant une matrice (le calcul matriciel est vaguement connu, mais le cours sur les matrices n’a pas encore eu lieu)
‚ NotationLpE, Fq. Structure d’ev deLpE, Fq.
‚ Composée de deux AL. Bilinéarité de la composition.
‚ Images directes et réciproques de sev.
‚ Noyau et image d’une AL. Ce sont des sev deE etF respectivement.
‚ Caractérisation de l’injectivité.
‚ Comment obtenir une famille génératrice de Impfq à partir d’une famille génératrice de E. Cas de f P LpKp,Knqdéfini par une matrice.
‚ Isomorphisme. Réciproque d’un isomorphisme (démonstration non refaite, on avait justifié cette propriété dans une situation générale, pour une structure munie d’un certain nombre de lois).
‚ Endomorphismes. NotationLpEq, structure d’algèbre. Endomorphismes nilpotents.
‚ Polynômes d’endomorphisme. pP Qqpuq “Ppuq ˝Qpuq. Polynôme annulateur, polynôme minimal (HP en sup). Existence.
‚ Automorphismes,GLpEq, structure de groupe.
2. Projecteurs et symétries
‚ Définitions algébriques (par polynôme annulateur)
‚ Définition des projections et symétries géométriques (vectorielles).
‚ Caractérisation des éléments de l’image d’un projecteur.
‚ Caractérisation géométrique des projecteurs et des symétries 3. Applications linéaires et familles de vecteurs
‚ Détermination d’une AL par l’image d’une base (propriété de rigidité)
‚ Exemple : base deLpE, Fqadaptée à des bases deEet de F. Dimension deLpE, Fq.
‚ Caractérisation de l’injectivité par l’image de toutes les familles libre, ou par l’image d’une base (sous reserve d’existence d’une base, ce qui est assuré en dimension finie, ou de façon générale en admettant l’AC).
‚ Caractérisation de la surjectivité par l’image de toutes les familles génératrices, ou par l’image d’une base (sous reserve d’existence d’une base).
‚ Caractérisation de la bijectivité par l’image d’une base
‚ Comparaison des dimensions d’espaces isomorphes.
‚ Détermination d’une AL par restriction à des sous-espaces décomposantE en somme directe.
4. Applications linéaires en dimension finie
‚ Rang d’une AL, majoration pardimE et dimF, cas d’égalité, pour chacune des deux majorations.
‚ Caractérisation des isomorphismes en dimension finie.
‚ La composition diminue le rang. Cas d’égalité. Invariance du rang par composition par un isomorphisme.
‚ Noyau d’une restriction.
‚ SiS est un supplémentaire de Kerpfq, f˜:SÑImpfqest un isomorphisme.
‚ Théorème du rang.
5. Formes linéaires
‚ Forme linéaire. Espace dual.
‚ Hyperlplan. Caractérisation par la dimension (en dimension finie). Caractérisation par la codimension i.e.
par l’existence d’un supplémentaire de dimension 1.
‚ Comparaison de deux équations de H : siH “Kerpϕq, alorsH “Kerpψq ðñψPVectpϕqzt0u.
‚ Minoration de la dimension de l’intersection d’hyperplans.
‚ (en dim finie) Tout sev de codimensionm s’écrit comme intersection demhyperplan.
‚ NB : Pas de dualité au programme (pas de base duale, d’adjoint, de principe de dualité etc)
Chapitre 25 : Matrices
POUR L’INSTANT, NOUS AVONS SURTOUT FAIT DES EXERCICES CONCRETS ET NUMÉRIQUES : CAL- CULS DE RANG, DE PUISSANCES, D’INVERSES, EXPRESSION D’UNE MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE, MAIS SANS CHANGEMENT DE BASE ETC.
1. Matrice d’une AL ; opérations matricielles
‚ L’ensemble des matrices de typepn, pq
˚ Définition d’une matrice à coefficients dans un corpsK. NotationMn,ppKq.
˚ Matrices carrées, notationMnpKq.
˚ Matrice-colonne, matrice-ligne
‚ Matrice d’une AL
˚ Matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur dans une base. Matrice des coordonnées d’une famille de vecteurs dans une base.
˚ Définition de la matrice d’une AL relativement aux bases B (de l’espace de départ) etC (de l’espace d’arrivée).
˚ MatB,C est une bijection de LpE, Fq dans Mn,ppKq (avec p “ dimE, n “ dimF). On ne parle pas encore d’isomorphisme, puisque la définition de la structure d’ev deMn,ppKqn’est pas encore donnée à ce stade.
˚ Des exemples importants, notamment :
— la matrice relativement aux bases canoniques dansLpKp,Knq: on retrouveM telle quefpXq “M X (forme générale d’un élément deLpKp,Knqjustifiée lors du chapitre précédent)
— Matrice d’un endomorphisme nilpotent d’indice n, d’un espace lui-même de dimension n, dans une base bien choisie.
‚ Structure d’espace vectoriel deMn,ppKq.
˚ Définition de la somme de deux matrices et du produit par un scalaire, par transfert des opérations correspondantes dansLpE, Fq, après choix de bases fixées, via la bijectionMatB,C.
˚ Description par les coefficients, indépendance vis-à-vis du choix des espaces E etF et de leurs bases.
˚ Le théorème de transfert (déjà démontré avant) assure le transfert de la structure d’ev de LpE, Fqet le fait queMatB,C est alors un isomorphisme.
˚ Base canonique deMn,ppKq(directement ou par exemple par image de la basepui,jqdeLpE, Fqdéfinie par les basesBet CdeE et deF. Dimension deMn,ppKq.
‚ Produit matriciel
˚ Définition par transfert de la composition des AL. Description par CL des colonnes de la matrice de gauche. Indépendance vis-à-vis du choix deE,F et leurs bases.
˚ Par définition, on obtient le théorème relatif à la matrice associée à une composée (Matpf ˝ gq “ MatpfqMatpgqavec les bonnes bases pour chaque matrice)
˚ Propriétés transférés : associativité, distributivité. Le produit matriciel n’est pas commutatif
˚ Définition :In“MatB,BpidEqquel que soitEde dimensionnet une baseB. ConséquenceIn est neutre à gauche dansMn,ppKq, etIp est neutre à droite.
‚ Produit matriciel revisité
˚ Description coefficient par coefficient.
˚ Description comme combinaison linéaire des lignes de la matrice de droite.
˚ Produit de matrices Ei,j de la base canonique.
‚ Expression matricielle de l’évaluation.
˚ rfpXqsC “MatB,CpfqrXsB
˚ Comment trouver les coordonnées de vecteurs du noyau def, en cherchant des relations entre les colonnes deMatB,Cpfq.
‚ Transposition
˚ Définition, linéarité
˚ Transposée d’un produit.
˚ NB : la notion d’adjoint n’est pas au programme et n’a pas été évoquée, sauf au détour d’une question posée.
2. Matrices carrées
‚ L’algèbreMnpKq
˚ Matrice d’un endomorphisme (avec même base au départ et à l’arrivée), notation allégéeMatBpfq.
˚ Structure d’algèbre de MnpKq(par transfert de celle deLpEq). NeutreIn.
˚ Propriétés calculatoires découlant de la structure d’anneau : factorisation de Bernoulli, formule du bi- nôme. Attention à l’hypothèse de commutation.
˚ Exemple : calcul deAn par méthode du binôme
˚ Polynôme annulateur, existence d’un polynôme annulateur non nul. Polynôme minimal.
˚ Utilisation d’un polynôme annulateur pour le calcul de An.
‚ Matrices triangulaires, matrices diagonales
˚ Définitions. Décompositions de MnpKqen sommes directes associées aux matrices triangulaires, diago- nales, strictement triangulaires.
˚ Produit de deux matrices triangulaires. description des coefficients diagonaux.
˚ Produit de matrices diagonales.
˚ Structure d’algèbre de Dn, Tn`et Tn´.
˚ (HP) On a aussi évoqué les règles de produit de matrices deTn,k` pKq(matrices de type triangulaires avec première diagonale non nulle décalée).
˚ NB : contrairement aux années passées, la notion de drapeau n’a pas été évoquée, toutes les preuves ont été faites directement avec la description des coefficients.
‚ Matrices symétriques et antisymétriques
˚ Définitions. Diagonale d’une matrice antisymétrique
˚ Supplémentarité. Dimensions.
‚ Matrices inversibles
˚ Définition, caractérisation par la bijectivité d’un endomorphisme associé.
˚ CS : il suffit queA(carrée) soit inversible à gauche ou à droite.
˚ NotationGLnpKq, structure deGLnpKq.
˚ Inverse d’un produit. Inverse d’une transposée.
˚ CNS d’inversibilité pour les matrices triangulaires.
‚ Expression matricielle du pivot de Gauss
˚ Traduction des opérations sur les lignes par multiplication à gauche par certaines matrices inversibles de codage des opérations.
˚ Expression des inverses de ces matrices
‚ Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
˚ Par résolution d’un système
˚ Par la méthode du pivot, en appliquant les mêmes opérations sur les lignes à la matrice identité. Lien entre les 2 méthodes.
˚ Inverse d’une matrice2ˆ2par la comatrice.
˚ Calcul de l’inverse à l’aide d’un polynôme annulateur.
3. Rang d’une matrice
‚ Image et noyau d’une matrice. Définition du rang d’une matrice. Théorème du rang pour les matrices.
‚ Rang d’une matrice échelonnée en lignes.
‚ Conservation du noyau (resp. de l’image) par multiplication à gauche (resp. à droite) par une matrice inversible. Conservation du rang par multiplication par une matrice inversible.
‚ Conservation du noyau (resp. de l’image) par opérations sur les lignes (resp. colonnes). Conservation du rang.
‚ Calcul du rang par la méthode du pivot.
‚ Trouver une base échelonnée de l’image, une base d’un supplémentaire, en échelonnant en colonnes.
‚ Rang d’une matrice échelonnée en colonnes
‚ Invariance du rang par transposition.
‚ Matrice extraite, comparaison de son rang avec celui de la matrice initiale.
‚ Caractérisation du rang par les matrices carrées inversibles extraites.
PAS ENCORE D’EXERCICES SUR LES PARAGRAPHES QUI SUIVENT (UNIQUEMENT LE COURS) 4. Changements de base
‚ Changements de base pour les applications linéaires
˚ Matrice de passage. Inversibilité.
˚ Caractérisation des bases par inversibilité de la matrice de la famille relativement à une base connue.
˚ Toute matrice inversible est une matrice de passage ; on peut même imposer soit la base de départ, soit la base d’arrivée.
˚ Effet d’un changement de base sur les coordonnées
˚ Formule de changement de base pour les applications linéaires. La plus importante de ce paragraphe.
Doit absolument être connue sans s’embrouiller dans les matrices de passage et leurs inverses.
‚ Matrices équivalentes
˚ Définition. L’équivalence matricielle est une relation d’équivalence.
˚ Les matrices d’une même AL dans des bases différentes sont équivalentes. La récirpoque est vraie, en fixant les bases de départ.
˚ Toute matrice deMn,ppKqde rangrst équivalente àIn,p,r.
˚ Description des classes d’équivalence matricielle : classification par le rang.
‚ Changements de base pour les endomorphismes
˚ Matrice d’un endomorphisme (avec même choix de base au départ et à l’arrivée)
˚ Expression de la formule de changement de base pour les endomorphismes (avec même changement de base au départ et à l’arrivée)
˚ Premier exemple de diagonalisation d’une matrice2ˆ2 (par analyse-synthèse)
‚ Matrices semblables
˚ Définition de la similitude. C’est une relation d’équivalence.
˚ Les matrices d’un même endomophisme dans différentes bases sont semblables.
˚ Vague commentaire sur la recherche de représentants privilégiés dans les classes de similitude, problème non trivial relié à la réduction.
˚ problème plus facile : trouver des CN pour que deux matrices soient semblables, sous forme d’invariants de similitude (une certains quantité doit prendre la même valeur). Cela permet parfois de répondre facilement à la négative à la question de savoir si deux matrices sont semblables. Le plus simple des invariants de similitude est exposé dans le paragraphe suivant.
‚ Trace d’une matrice, d’un endomorphisme
˚ Définition, linéarité, invariance par transpositionn.
˚ Invariance par commutation interne. Mise en garde : on ne peut effectuer que des permutations circulaires des termes à l’intérieur de la trace.
˚ Invariance de la trace par similitude.
˚ Définition de la trace d’un endomorphisme. Cas d’un projecteur.
‚ Introduction rapide à la réduction des endomorphismes
Au fil du cours et dans les devoirs, les élèves ont rencontré la notion de valeur propre, vecteur propre, un peu de diagonalisation, et ont eu un aperçu de la jordanisation. Les éléments propres peuvent éventuellement intervenir dans les exercices, mais cela ne doit pas constituer le coeur de l’exercice. Il ne s’agit pas d’un chapitre centré sur la réduction.
5. Calcul matriciel par blocs
‚ Théorème de produit par blocs. Nous n’en avons donné en cours que la déminstration directe par les coefficients, pas la version vectorielle (donnée en polycopié). Aucune des deux démonstrations n’est exigible.
‚ Exemple important : Produit de deux matrices diagonales par blocs (avec blocs de même taille). Cas des puissances d’une matrice diagonale par blocs. Par exemple une réduite de Jordan.
