Exercices sur les applications linéaires

(1)

Applications linéaires

Etude de linéarité

Exercice 1 [ 01703 ][correction]

Les applications entreR-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires : a)f :R³→Rdéfinie parf(x, y, z) =x+y+ 2z

b)f :R²→Rdéfinie parf(x, y) =x+y+ 1 c)f :R²→Rdéfinie parf(x, y) =xy d)f :R³→Rdéfinie parf(x, y, z) =x−z?

Soitf :R²→R²définie parf(x, y) = (x+y, x−y).

Montrer quef est un automorphisme deR² et déterminer son automorphisme réciproque.

SoitJ :C([0,1],R)→Rdéfinie parJ(f) =R1 0 f(t) dt.

Montrer queJ est une forme linéaire.

Soitϕ:C^∞(R,R)→ C^∞(R,R) définie parϕ(f) =f⁰⁰−3f⁰+ 2f. Montrer queϕest un endomorphisme et préciser son noyau.

Soientaun élément d’un ensemble X non vide et EunK-espace vectoriel.

a) Montrer queEa :F(X, E)→E définie parEa(f) =f(a) est une application linéaire.

b) Déterminer l’image et le noyau de l’applicationEa.

SoitE leR-espace vectoriel des applications indéfiniment dérivables surR. Soientϕ:E →Eet ψ:E→E les applications définies par :

ϕ(f) =f⁰ et ψ(f) est donnée par :

∀x∈R, ψ(f)(x) = Z x

0

f(t) dt

a) Montrer queϕetψ sont des endomorphismes deE.

b) Exprimerϕ◦ψet ψ◦ϕ.

c) Déterminer images et noyaux deϕetψ.

Montrer que l’application partie entière Ent :K(X)→K[X] est linéaire et déterminer son noyau.

Linéarité et sous-espaces vectoriels

Soitf une application linéaire d’unK-espace vectorielE vers un K-espace vectorielF.

Montrer que pour toute partieA deE, on a f(VectA) = Vectf(A).

SoientE, F deuxK-espaces vectoriels,f ∈ L(E, F) etA, B deux sous-espaces vectoriels deE. Montrer

f(A)⊂f(B)⇔A+ kerf ⊂B+ kerf

Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectorielE et F un sous-espace vectoriel deE.

a) Exprimeru⁻¹(u(F)) en fonction deF et de keru.

b) Exprimeru(u⁻¹(F)) en fonction deF et de Imu.

c) A quelle condition a-t-onu(u⁻¹(F)) =u⁻¹(u(F)) ?

Caractériser les sous-espacesF d’un espace vectoriel E tels que h⁻¹(h(F)) =h(h⁻¹(F))

SoitEet F desK-espaces vectoriels. On se donnef ∈ L(E, F), une famille

(2)

(Ei)16i6n de sous-espaces vectoriels deEet une famille (Fj)16j6pde sous-espaces vectoriels deF.

a) Montrer

f(

n

X

i=1

Ei) =

n

X

i=1

f(Ei)

b) Montrer que sif est injective et si la somme des E_i est directe alors la somme desf(Ei) est directe.

c) Montrer

f⁻¹(

p

X

j=1

Fj)⊃

p

X

j=1

f⁻¹(Fj)

Montrer que cette inclusion peut être stricte. Donner une condition suffisante pour qu’il y ait égalité.

Linéarité et colinéarité

SoientE unK-espace vectoriel etf ∈ L(E) tel que les vecteursxetf(x) sont colinéaires et ce pour toutx∈E.

a) Justifier que pour toutx∈E, il existe λx∈Ktel quef(x) =λx.x.

b) Montrer que pour tout couple de vecteurs non nulsxet y, on aλ_x=λ_y. (indice : on pourra distinguer les cas : (x, y) liée ou (x, y) libre.)

c) Conclure quef est une homothétie vectorielle.

Soitf ∈ L(E) tel que pour toutx∈E,xet f(x) soient colinéaires.

Montrer quef est une homothétie vectorielle.

Soientf, g∈ L(E, F). On suppose

∀x∈E,∃λ_x∈K, g(x) =λ_xf(x) Montrer qu’il existeλ∈Ktel que

g=λf

Images et noyaux

Soientf etg deux endomorphismes d’unK-espace vectorielE.

Montrer queg◦f = 0 si, et seulement si, Imf ⊂kerg.

Soientf etg deux endomorphismes d’unK-espace vectorielE.

a) Comparer kerf ∩kerg et ker(f +g).

b) Comparer Imf+ Imget Im(f +g).

c) Comparer kerf et kerf². d) Comparer Imf et Imf².

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE. Montrer a) Imf∩kerf ={0E} ⇔kerf = kerf².

b)E= Imf+ kerf ⇔Imf = Imf².

SoientE unK-espace vectoriel etf ∈ L(E) tel que f²−3f+ 2Id = 0

a) Montrer quef est inversible et exprimer son inverse en fonction def. b) Etablir que ker(f −Id) et ker(f −2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deE.

Soientf, g, h∈ L(E) tels que

f◦g=h, g◦h=f eth◦f =g a) Montrer quef, g, hont même noyau et même image.

b) Montrerf⁵=f.

c) En déduire que l’image et le noyau def sont supplémentaires dansE.

(3)

Soientf etgdeux endomorphismes d’unK-espace vectorielE vérifiantf◦g= Id ; montrer que kerf = ker(g◦f), Img= Im(g◦f) puis que kerf et Img sont supplémentaires.

Soientf et gdeux endomorphismes d’un espace vectorielE surRouCvérifiant f◦g= Id.

a) Montrer que ker(g◦f) = kerf et Im(g◦f) = Img.

b) Montrer

E= kerf⊕Img c) Dans quel cas peut-on conclureg=f⁻¹? d) Calculer (g◦f)◦(g◦f) et caractériserg◦f

Soientf, g∈ L(E) tels que

g◦f◦g=g etf◦g◦f =f a) Montrer que Imf et kerg sont supplémentaires dansE.

b) Justifier quef(Img) = Imf.

L’anneau des endomorphismes

SoientE unK-espace vectoriel etf un endomorphisme deE nilpotent i.e. tel qu’il existen∈N^? pour lequelfⁿ= 0. Montrer que Id−f est inversible et exprimer son inverse en fonction def.

A quelle condition une translation et un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E commutent-ils ?

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie etF un sous-espace vectoriel de L(E) stable par composition et contenant l’endomorphisme IdE.

Montrer queF∩GL(E) est un sous-groupe de (GL(E),◦)

Projections et symétries vectorielles

SoientE unK-espace vectoriel etp∈ L(E).

a) Montrer quepest un projecteur si, et seulement si, Id−pl’est.

b) Exprimer alors Im(Id−p) et ker(Id−p) en fonction de Impet kerp.

Soientp, q∈ L(E). Montrer l’équivalence entre les assertions : (i)p◦q=petq◦p=q;

(ii)pet qsont des projecteurs de même noyau.

SoientE unK-espace vectoriel etp, qdeux projecteurs de E qui commutent.

Montrer quep◦qest un projecteur deE. En déterminer noyau et image.

SoitEunK-espace vectoriel.

Soitsun endomorphisme deE involutif, i.e. tel ques²= Id.

On poseF = ker(s−Id) etG= ker(s+ Id).

a) Montrer queF etGsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deE.

b) Montrer quesest la symétrie vectorielle par rapport àF et parallèlement àG.

Plus généralement, Soientα∈K\ {1}et f un endomorphisme deE tel que f²−(α+ 1)f+αId = 0.

On poseF = ker(f−Id) etG= ker(f −αId).

c) Montrer queF etGsont supplémentaires dans E.

d) Montrer quef est l’affinité par rapport àF, parallèlement àGet de rapportα.

Soitf ∈ L(E) tel quef²−4f + 3I= ˜0.

Montrer que ker(f−Id)⊕ker(f −3Id) =E.

Quelle transformation vectorielle réalisef?

SoientE unK-espace vectoriel etpun projecteur deE. On poseq= Id−pet on considère

L={f ∈ L(E)| ∃u∈ L(E), f =u◦p}etM ={g∈ L(E)| ∃v∈ L(E), g=v◦q}.

Montrer queLetM sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deL(E).

(4)

Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE.

a) Montrer quepetqont même noyau si, et seulement si, p◦q=petq◦p=q.

b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante semblable pour quepet qaient même image.

Soientpetqdeux projecteurs d’unK-espace vectorielE vérifiantp◦q= 0.

a) Montrer quer=p+q−q◦pest un projecteur.

b) Déterminer image et noyau de celui-ci.

Soientp, q deux projecteurs d’unK-espace vectorielE.

a) Montrer quep+qest un projecteur si, et seulement si,p◦q=q◦p= ˜0.

b) Préciser alors Im(p+q) et ker(p+q).

SoitE unC-espace vectoriel de dimension finie etu∈ L(E).

On suppose qu’il existe un projecteurpdeE tel que u=p◦u−u◦p.

a) Montrer queu(kerp)⊂Impet Imp⊂keru.

b) En déduireu²= 0.

c) Réciproque ?

SoientE un espace vectoriel de dimension finie,petqdansL(E) tels que p◦q=qetq◦p=p. Les endomorphismespet qsont-ils diagonalisables ? codiagonalisables ?

SoientE et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies respectivesnet p avecn > p.

On considèreu∈ L(E, F) etv∈ L(F, E) vérifiant u◦v= IdF

a) Montrer quev◦uest un projecteur.

b) Déterminer son rang, son image et son noyau.

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimensionn. Montrer f est un projecteur ⇔rgf + rg(Id−f) =n

Soientpetqdeux projecteurs d’unR-espace vectorielE vérifiant Imp⊂kerq

Montrer quep+q−p◦qest un projecteur et préciser son image et son noyau.

Soientf etg deux endomorphismes d’un espace vectorielE surRouCvérifiant f◦g= Id.

a) Montrer que ker(g◦f) = kerf et Im(g◦f) = Img.

b) Montrer

E= kerf⊕Img c) Dans quel cas peut-on conclureg=f⁻¹? d) Calculer (g◦f)◦(g◦f) et caractériserg◦f

Formes linéaires et hyperplans

SoitH un hyperplan d’unK-espace vectoriel deE de dimension quelconque.

Soitaun vecteur deE qui n’appartient pas àH. Montrer H⊕Vect(a) =E

SoientH un hyperplan d’unK-espace vectoriel Ede dimension quelconque et D une droite vectorielle non incluse dansH.

Montrer queD etH sont supplémentaires dansE.

SoitH un hyperplan d’unK-espace vectoriel deE de dimension quelconque.

On suppose queF est un sous-espace vectoriel deE contenantH. Montrer F=H ouF=E

(5)

Soientf, g∈E^? telles que kerf = kerg. Montrer qu’il existeα∈Ktel quef =αg.

Soite= (e₁, . . . , e_n) une famille de vecteurs d’unK-espace vectoriel E de dimensionn∈N^?. On suppose que

∀f ∈E^?, f(e1) =. . .=f(en) = 0⇒f = 0 Montrer queBest une base deE.

Applications linéaires en dimension finie

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie,V un sous-espace vectoriel deE etf ∈ L(E). Montrer

V ⊂f(V)⇒f(V) =V

Soitf ∈ L(E, F) injective. Montrer que pour tout famille (x1, . . . , xp) de vecteurs deE, on a

rg(f(x₁), . . . , f(xp)) = rg(x₁, . . . , xp)

SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn>1 etf un endomorphisme nilpotent non nul deE. Soitple plus petit entier tel quef^p= 0.

a) Soitx /∈kerf^p−1. Montrer que la famille (x, f(x), f²(x), . . . , f^p−1(x)) est libre.

b) En déduire quefⁿ = 0.

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie.

f²+f◦g= Id Montrer quef etg commutent.

Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires suivantes : a)f :R³→R³ définie parf(x, y, z) = (y−z, z−x, x−y)

b)f :R⁴→R³ définie parf(x, y, z, t) = (2x+y+z, x+y+t, x+z−t)

c)f :C→Cdéfinie parf(z) =z+i¯z(Cest ici vu comme unR-espace vectoriel).

SoientE unK-espace vectoriel de dimensionn>1,f un endomorphisme nilpotent non nul deE etple plus petit entier tel quef^p= ˜0.

a) Montrer qu’il existex∈E tel que la famille

x, f(x), f²(x), . . . , f^p−1(x) soit libre.

b) En déduirefⁿ= ˜0.

Soitf un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensionn. Montrer que (I, f, f², . . . , fⁿ²) est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non

identiquement nul qui annulef. Exercice 54 [ 02495 ][correction]

SoitEun plan vectoriel.

a) Montrer quef endomorphisme non nul est nilpotent si, et seulement si, kerf = Imf.

b) En déduire qu’un tel endomorphisme ne peut s’écrire sous la formef =u◦v avecuet vnilpotents.

Soienta₀, a₁, . . . , a_n des éléments deux à deux distincts de K. Montrer que l’applicationϕ:Kn[X]→Kⁿ⁺¹ définie par

ϕ(P) = (P(a₀), P(a₁), . . . , P(a_n)) est un isomorphisme deK-espace vectoriel.

Soienta0, . . . , an des réels distincts etϕ:R2n+1[X]→R²ⁿ⁺² définie par ϕ(P) = (P(a0), P⁰(a0), . . . , P(an), P⁰(an))

Montrer queϕest bijective.

(6)

Rang d’une application linéaire

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf, g∈ L(E).

Montrer que

rg(f+g)6rg(f) + rg(g) puis que

|rg(f)−rg(g)|6rg(f−g)

SoientE et F deuxK-espaces vectoriels de dimension finies et f ∈ L(E, F), g∈ L(F, E) telles quef ◦g◦f =f etg◦f◦g=g.

Montrer quef, g, f◦g etg◦f ont même rang.

Soientf, g∈ L(E) oùE est un espace vectoriel sur Kde dimension finie. Montrer

|rg(f)−rg(g)|6rg(f +g)6rg(f) + rg(g)

Soientuetv deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finieE.

a) Montrer

|rg(u)−rg(v)|6rg(u+v)6rg(u) + rg(v) b) Trouveruetv dansL(R²) tels que

rg(u+v)<rg(u) + rg(v) c) Trouver deux endomorphismesuet v deR² tels que

rg(u+v) = rg(u) + rg(v)

SoientE, F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies et f, g∈ L(E, F).

Montrer

rg(f +g) = rg(f) + rg(g)⇔

(Imf ∩Img={0}

kerf+ kerg=E

Soientf etg deux endomorphismes deE. Montrer que : a) rg(f ◦g)6min(rgf,rgg).

b) rg(f◦g)>rgf + rgg−dimE.

Soientf etg deux endomorphismes d’unK-espace vectorielE de dimension finie.

a) Montrer

rg(g◦f) = rgg⇔E= Imf+ kerg b) Montrer

rg(g◦f) = rgf ⇔Imf ∩kerg={0}

Formule du rang

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finie.

Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Imf et kerf supplémentaires dans E;

(ii)E= Imf + kerf; (iii) Imf²= Imf; (iv) kerf²= kerf.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie etf, g∈ L(E) tels quef+g bijectif etg◦f = ˜0. Montrer que

rgf+ rgg= dimE Exercice 66 [ 01663 ][correction]

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finienet f un endomorphisme de E.

Montrer l’équivalence

kerf = Imf ⇔f²= 0 etn= 2rg(f) Exercice 67 [ 03127 ][correction]

SoientE unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^? etuun endomorphisme deE vérifiantu³= ˜0.

Etablir

rgu+ rgu²6n

(7)

f+g= Id et rgf + rgg= dimE Montrer quef etg sont des projecteurs complémentaires.

Soientu, v∈ L(Kⁿ) tels que

u+v= id et rg(u) + rg(v)6n Montrer queuetv sont des projecteurs.

[Images et noyaux itérés d’un endomorphisme]

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie n>1 etf un endomorphisme deE.

Pour toutp∈N, on poseIp = Imf^p etNp= kerf^p.

a) Montrer que (Ip)p>0 est décroissante tandis que (Np)p>0 est croissante.

b) Montrer qu’il existes∈Ntel queIs+1=Iset Ns+1=Ns. c) Soitrle plus petit des entierssci-dessus considérés.

Montrer que

∀s>r, Is=Iret Ns=Nr

d) Montrer queI_ret N_rsont supplémentaires dans E.

[Images et noyaux itérés d’un endomorphisme]

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finien>1.

Pour toutp∈N, on pose

Ip= Imf^p etNp= kerf^p

a) Montrer que les suites (I_p)p>0 et (N_p)p>0 sont respectivement décroissante et croissante et que celles-ci sont simultanément stationnaires.

b) On noterle rang à partir duquel les deux suites sont stationnaires. Montrer Ir⊕Nr=E

SoitH un supplémentaire de kerf dansE.

On considèreh:H →Ela restriction de g◦f à H.

a) Montrer que

ker(g◦f) = kerh+ kerf b) Observer que

rgh>rgf−dim kerg c) En déduire que

dim ker(g◦f)6dim kerg+ dim kerf

SoientE, F, G, H desK-espaces vectoriels de dimensions finies etf ∈ L(E, F), g∈ L(F, G),h∈ L(G, H) des applications linéaires. Montrer

rg(g◦f) + rg(h◦g)6rgg+ rg(h◦g◦f)

Soientv∈ L(E, F) etu∈ L(F, G). Etablir

rgu+ rgv−dimF 6rg(u◦v)6min(rgu,rgv)

Etablir que

dim (ker(g◦f))6dim (kerg) + dim (kerf)

Soientf ∈ L(E) et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer dim kerf ∩F >dimF−rgf

(8)

On dit qu’une suite d’applications linéaires {0}→^u⁰E1

u₁

→E2 u₂

→ · · ·^u→ⁿ⁻¹En u_n

→ {0}

est exacte si on a Imu_k = keru_k+1 pour toutk∈ {0, . . . , n−1}. Montrer que si tous lesEk sont de dimension finie, on a la formule dite d’Euler-Poincaré :

n

X

k=1

(−1)^kdimEk = 0

Soituun endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finie.

Montrer

∀k, `∈N,dim keru^k+`

6dim keru^k

+ dim keru^`

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie n,f etg deux endomorphismes deE.

a) En appliquant le théorème du rang à la restrictionhdef à l’imageg, montrer que

rgf+ rgg−n6rg(f◦g)

b) Pourn= 3, trouver tous les endomorphismes deEtels que f²= 0.

Applications linéaires et espaces supplémentaires

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E) tel que rg(f²) = rg(f).

a) Etablir Imf²= Imf et kerf²= kerf.

b) Montrer que Imf et kerf sont supplémentaires dansE.

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finie vérifiant rg(f²) = rgf

a) Etablir

Imf²= Imf et kerf²= kerf b) Montrer

kerf⊕Imf =E

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien.

Soientuetv deux endomorphismes deE tels que E= Imu+ Imv= keru+ kerv

Etablir que d’une part, Imuet Imv, d’autre part keruet kerv sont supplémentaires dansE.

On suppose

Imf+ Img= kerf+ kerg=E Montrer que ces sommes sont directes.

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE vérifiantf³= Id.

Montrer

ker(f−Id)⊕Im(f−Id) =E

g◦f◦g=f etf◦g◦f =g a) Montrer que kerf = kerg et Imf = Img.

On pose

F = kerf = kerget G= Imf = Img b) Montrer que

E=F⊕G

(9)

f◦g◦f =f etg◦f◦g=g Montrer que kerf et Imgsont supplémentaires dans E.

g◦f◦g=g etf◦g◦f =f a) Montrer que

Imf ⊕kerg=E b) Justifier que

f(Img) = Imf

Soientf₁, . . . , f_n des endomorphismes d’unK-espace vectorielE vérifiant f1+· · ·+fn= Id et∀16i6=j6n, fi◦fj = 0

a) Montrer que chaquefi est une projection vectorielle.

b) Montrer que ⊕ⁿ

i=1

Imfi=E.

SoientE unC-espace vectoriel de dimension finie etp₁, . . . , p_m des projecteurs de E dont la somme vaut Id_E. On noteF₁, . . . , F_mles images dep₁, . . . , p_m. Montrer

E = ⊕^m

k=1

Fk

SoientE, F, GtroisK-espaces vectoriels etu∈ L(E, F),v∈ L(F, G) etw=v◦u.

Montrer quewest un isomorphisme si, et seulement si,uest injective,vest surjective et

Imu⊕kerv=F

Applications linéaires définies sur une base

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn∈N.

Montrer qu’il existe un endomorphismef tel que Imf = kerf si, et seulement si, nest pair.

Justifier qu’il existe une unique application linéaire deR³ dansR²telle que : f(1,0,0) = (0,1), f(1,1,0) = (1,0) etf(1,1,1) = (1,1)

Exprimerf(x, y, z) et déterminer noyau et image def.

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie n∈N^?et f un endomorphisme deE tel qu’il existe un vecteurx₀∈E pour lequel la famille

(x₀, f(x₀), . . . , fⁿ⁻¹(x₀)) soit une base deE. On note C={g∈ L(E)/g◦f =f◦g}

a) Montrer queC est un sous-espace vectoriel deL(E).

b) Observer que C=

a0Id +a1f+· · ·+a_n−1fⁿ⁻¹|a0, . . . , a_n−1∈K c) Déterminer la dimension deC.

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn >1 (avecK=RouC) Soitf un endomorphisme deE nilpotent d’ordren.

On note

C(f) ={g∈ L(E)/g◦f =f◦g}

a) Montrer queC(f) est un sous-espace vectoriel deL(E).

b) Soitaun vecteur deE tel que fⁿ⁻¹(a)6= 0E.

Montrer que la famille (a, f(a), . . . , fⁿ⁻¹(a)) constitue une base deE.

c) Soitϕa:C(f)→E l’application définie parϕa(g) =g(a).

Montrer queϕ_a est un isomorphisme.

d) En déduire que

C(f) = Vect(Id, f, . . . , fⁿ⁻¹)

(10)

SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE de dimension finien.

Former une condition nécessaire et suffisante surF et Gpour qu’il existe un endomorphismeudeE tel que Imu=F et keru=G.

Soitf ∈ L(R⁶) tel que rgf²= 3. Quels sont les rangs possibles pourf?

Formes linéaires en dimension finie

SoitE unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^? etϕune forme linéaire non nulle surE.

Montrer que pour toutu∈E\kerϕ, kerϕet Vect(u) sont supplémentaires dans E.

SoientE unK-espace vectoriel de dimensionnet (f₁, f₂, . . . , f_n) une famille de formes linéaires surE.

On suppose qu’il existe un vecteurx∈E non nul tel que pour tout i∈ {1, . . . , n}, f_i(x) = 0.

Montrer que la famille (f₁, f₂, . . . , fn) est liée dansE^?.

Soitf un endomorphisme deR³ tel quef²= 0.

Montrer qu’il existea∈R³et ϕ∈(R³)^? tels que pour toutx∈R³on a f(x) =ϕ(x).a.

Soienta0, a1, . . . , an∈Rdeux à deux distincts. Montrer qu’il existe (λ0, . . . , λn)∈Rⁿ⁺¹unique vérifiant

∀P ∈Rn[X], Z 1

0

P(t) dt=

n

X

k=0

λ_kP(a_k)

Soienta0, a1, . . . , an des réels non nuls deux à deux distincts.

On noteFj l’application deRn[X] dansRdéfinie par Fj(P) =

Z a_j 0

P Montrer que (F0, F1, . . . , Fn) est une base de (Rn[X])^?. Exercice 102 [ 03140 ][correction]

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien>1. Montrer

∀x, y∈E, x6=y⇒ ∃ϕ∈E^?, ϕ(x)6=ϕ(y)

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf,g deux formes linéaires non nulles surE. Montrer

∃x∈E, f(x)g(x)6= 0

Soientf₁, . . . , f_n des formes linéaires sur unK-espace vectoriel E de dimensionn.

On suppose qu’il existex∈E non nul tel que f₁(x) =. . .=fn(x) = 0 Montrer que la famille (f1, . . . , fn) est liée.

SoitE etF des espaces vectoriels surK, de dimensions finies ou non. Montrer que (E×F)^? et E^?×F^? sont isomorphes.

Espaces d’applications linéaires

SoientE etF deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies etGun sous-espace vectoriel deE. On pose

A={u∈ L(E, F)/G⊂keru}

a) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deL(E, F).

b) Déterminer la dimension deA.

(11)

Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimension finie.

Montrer que l’ensemble des endomorphismesgdeE tels que f◦g= 0 est un sous-espace vectoriel deL(E) de dimension dimE×dim kerf.

SoientE et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies.

SoitW un sous-espace vectoriel deE

SoitAl’ensemble des applications linéaires deE dansF s’annulant sur W. a) Montrer queAest un espace vectoriel.

b) Trouver la dimension deA.

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie netF un sous-espace vectoriel deE de dimensionp. On note

A_F ={f ∈ L(E)/Imf ⊂F} etB_F ={f ∈ L(E)/F ⊂kerf} a) Montrer queAF et BF sont des sous-espaces vectoriels deL(E) et calculer leurs dimensions.

b) Soientuun endomorphisme deL(E) etϕ:L(E)→ L(E) définie par ϕ(f) =u◦f. Montrer queϕest un endomorphisme deL(E). Déterminer dim kerϕ.

c) Soitv∈Imϕ. Etablir que Imv⊂Imu. Réciproque ? Déterminer rgϕ.

SoientE et F desK-espaces vectoriels de dimensions finies etf ∈ L(F, E).

Exprimer la dimension de{g∈ L(E, F)/f◦g◦f = 0}en fonction du rang def et des dimensions deE et F.

Endomorphismes opérant sur les polynômes

Soitn∈N^? et ∆ :Kn+1[X]→Kn[X] l’application définie par

∆(P) =P(X+ 1)−P(X)

a) Montrer que ∆ est bien définie et que ∆ est une application linéaire.

b) Déterminer le noyau de ∆.

c) En déduire que cette application est surjective.

Soientn∈N^?,E=Rn[X] et ∆ l’endomorphisme de Edéterminé par

∆(P) =P(X+ 1)−P(X).

a) Justifier que l’endomorphisme ∆ est nilpotent.

b) Déterminer des réelsa0, . . . , an, an+1 non triviaux vérifiant :

∀P ∈Rⁿ[X],

n+1

X

k=0

akP(X+k) = 0

Soit ∆ :C[X]→C[X] l’application définie par

∆ (P) =P(X+ 1)−P(X)

a) Montrer que ∆ est un endomorphisme et que pour tout polynômeP non constant deg (∆(P)) = degP−1.

b) Déterminer ker ∆ et Im∆.

c) SoitP ∈C[X] etn∈N. Montrer

∆ⁿ(P) = (−1)ⁿ

n

X

k=0

(−1)^k n k

!

P(X+k) d) En déduire que si degP < nalors

n

X

k=0

n k

!

(−1)^kP(k) = 0

Soitϕ:Kn+1[X]→Kn[X] définie parϕ(P) = (n+ 1)P−XP⁰. a) Justifier queϕest bien définie et que c’est une application linéaire.

b) Déterminer le noyau deϕ.

c) En déduire queϕest surjective.

a) Montrer queϕ:Rn[X]→Rn[X] définie parϕ(P) =P(X) +P(X+ 1) est bijective.

On en déduit qu’il existe un uniquePn∈Rn[X] tel que Pn(X) +Pn(X+ 1) = 2Xⁿ

(12)

Montrer que pour toutn∈N, il existePn∈Rn[X] unique tel que Pn(X) +Pn(X+ 1) = 2Xⁿ

b) Justifier qu’on peut exprimerPn(X+ 1) en fonction deP0, . . . , Pn.

c) En calculant de deux façonsPn(X+ 2) +Pn(X+ 1) déterminer une relation donnantPn en fonction deP0, . . . , Pn−1.

SoientAun polynôme non nul deR[X] etr:R[X]→R[X] l’application définie par :

∀P ∈R[X] ,r(P) est le reste de la division euclidienne deP parA Montrer querest un endomorphisme deR[X] tel quer²=r◦r=r.

Déterminer le noyau et l’image de cet endomorphisme.

Soienta, b∈Rdistincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme ϕde R[X] vérifiant

ϕ(1) = 1,ϕ(X) =X et ∀P ∈R[X], P(a) =P(b) = 0⇒ϕ(P) = 0

SoitP ∈R[X]. Montrer que la suite (P(n))n∈Nvérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

Pourp∈Neta∈R\ {0,1}, on noteSp l’ensemble des suites (un) vérifiant

∃P∈Rp[X],∀n∈N, un+1=aun+P(n) a) Montrer que siu∈Sp,P est unique ; on le noteraPu. b) Montrer queSp est unR-espace vectoriel.

c) Montrer queφ, qui àuassociePu, est linéaire et donner une base de son noyau.

Que représente son image ?

d) Donner une base deSp (on pourra utiliserRk(X) = (X+ 1)^k−aX^k pour k∈[[0, p]]).

e) Application : déterminer la suite (un) définie par u0=−2 etun+1= 2un−2n+ 7

Isomorphisme induit

SoientE un espace vectoriel,F1et F2 deux sous-espaces vectoriels deE.

a) Montrer que siF1et F2ont un supplémentaire commun alors ils sont isomorphes.

b) Montrer que la réciproque est fausse.

Soitf ∈ L(E) tel quef²= 0 avecE unK-espace vectoriel de dimension finie Montrer que

∃g∈ L(E),f◦g+g◦f = IdE ⇔Imf = kerf

[Factorisation par un endomorphisme]

Montrer

Img⊂Imf ⇔ ∃h∈ L(E), g=f ◦h

[Factorisation par un endomorphisme]

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf, g∈ L(E). Montrer kerf ⊂kerg⇔ ∃h∈ L(E), g=h◦f

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etu, v∈ L(E).

Résoudre l’équationu◦f =v d’inconnuef ∈ L(E).

(13)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a) oui b) non c) non d) oui

Soientλ, µ∈Ret~u= (x, y), ~v= (x⁰, y⁰)∈R²

f(λ~u+µ~v) =f(λx+µx⁰, λy+µy⁰) donne

f(λ~u+µ~v) = ((λx+µx⁰) + (λy+µy⁰),(λx+µx⁰)−(λy+µy⁰)) donc

f(λ~u+µ~v) =λ(x+y, x−y) +µ(x⁰+y⁰, x⁰−y⁰) =λf(~u) +µf(~v) De plusf :R²→R²doncf est un endomorphisme deR².

Pour tout (x, y)∈R² et tout (x⁰, y⁰)∈R² (x⁰ =x+y

y⁰=x−y ⇔

(x= (x⁰+y⁰)/2 y= (x⁰−y⁰)/2

Par suite, chaque (x⁰, y⁰)∈R² possède un unique antécédent parf : ((x⁰+y⁰)/2,(x⁰−y⁰)/2)

f est donc bijective.

Finalementf est un automorphisme de R² et f⁻¹: (x⁰, y⁰)7→((x⁰+y⁰)/2,(x⁰−y⁰)/2).

Soientλ, µ∈Retf, g∈ C([0,1],R), J(λf+µg) =

Z 1 0

λf(t) +µg(t) dt et par linéarité de l’intégrale

J(λf+µg) =λ Z 1

0

f(t) dt+µ Z 1

0

g(t) dt=λJ(f) +µJ(g) De plusJ :C([0,1],R)→RdoncJ est une forme linéaire surC([0,1],R).

Soientλ, µ∈Retf, g∈ C^∞(R,R),

ϕ(λf+µg) = (λf+µg)⁰⁰−3(λf+µg)⁰+ 2(λf+µg) puis

ϕ(λf+µg) =λ(f⁰⁰−3f⁰+ 2f) +µ(g⁰⁰−3g⁰+ 2g) donc

ϕ(λf+µg) =λϕ(f) +µϕ(g)

De plusϕ:C^∞(R,R)→ C^∞(R,R) doncϕest un endomorphismeC^∞(R,R).

f ∈kerϕ⇔f⁰⁰−3f⁰+ 2f = 0

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristiquer²−3r+ 2 = 0 de racines 1 et 2. La solution générale est

f(x) =C₁e^x+C₂e^2x Par suite

kerϕ=

C₁e^x+C₂e^2x/C₁, C₂∈R

a) Soientλ, µ∈Ketf, g∈ F(X, E),

Ea(λf+µg) = (λf+µg)(a) =λf(a) +µg(a) =λEa(f) +µEa(g) Par suiteEa est une application linéaire.

b)f ∈kerEa⇔f(a) = 0. kerEa={f ∈ F(X, E)/f(a) = 0}.

ImEa⊂E et∀~x∈E, en considérant f :X →E la fonction constante égale à~x, on aEa(f) =~x. Par suite~x∈ImEa et doncE⊂ImEa. Par double inclusion ImEa=E.

a) Soientλ, µ∈Retf, g∈E,

ϕ(λf+µg) = (λf+µg)⁰ =λf⁰+µg⁰=λϕ(f) +µϕ(g) et

∀x∈R,ψ(λf+µg)(x) = Z x

0

λf(t) +µg(t) dt=λ Z x

0

f(t) dt+µ Z x

0

g(t) dt= (λψ(f)+µψ(g))(x)

(14)

donc

ψ(λf+µg) =λψ(f) +µψ(g)

De plusϕ:E→E etψ:E→E doncϕetψsont des endomorphismes deE.

b) On a

∀f ∈E, (ϕ◦ψ) = (ψ(f))⁰ =f carψ(f) est la primitive def qui s’annule en 0. Ainsi

ϕ◦ψ= Id_E Aussi

∀f ∈E,∀x∈R, (ψ◦ϕ)(f)(x) = Z x

0

f⁰(t) dt=f(x)−f(0) c)ϕ◦ψ est bijective doncϕest surjective etψ injective.

ϕest surjective donc Imϕ=E. kerϕest formé des fonctions constantes.

ψest injective donc kerψ=˜0 . Imψest l’espace des fonctions deE qui s’annulent en 0.

Soientλ, µ∈Ket F, G∈K(X). On peut écrire

F = Ent(F) + ˆF etG= Ent(G) + ˆG avec deg ˆF ,deg ˆG <0.

Puisque

λF +µG=λEnt(F) +µEnt(G) +λFˆ+µGˆ avec deg(λFˆ+µG)ˆ <0 on a

Ent(λF +µG) =λEnt(F) +µEnt(G) Ainsi Ent est linéaire.

ker Ent ={F ∈K(X)/degF <0}

f(VectA) est un sous-espace vectoriel deF et A⊂VectAdoncf(A)⊂f(VectA).

Par suite Vectf(A)⊂f(VectA).

Inversement,f⁻¹(Vectf(A)) est un sous-espace vectoriel deE qui contientAdonc A⊂f⁻¹(Vectf(A)) puisf(A)⊂f(f⁻¹(Vectf(A)))⊂Vectf(A).

Par double inclusion l’égalité.

(⇒) Supposonsf(A)⊂f(B).

Soit~x∈A+ kerf. On peut écrire~x=~u+~v avec~u∈Aet~v∈kerf. f(~x) =f(~u)∈f(A)⊂f(B) donc il existew~ ∈B tel quef(~x) =f(w).~

On a alors~x=w~ + (~x−w) avec~ w~ ∈B et~x−w~ ∈kerf. Ainsi~x∈B+ kerf. (⇐) SupposonsA+ kerf ⊂B+ kerf.

Soit~y∈f(A). Il existe~x∈Atel que~y=f(~x). Or~x∈A⊂A+ kerf ⊂B+ kerf donc on peut écrire~x=~u+~v avec~u∈B et~v∈kerf. On a alors

~

y=f(~x) =f(~u)∈f(B).

a)u⁻¹(u(F)) est un sous-espace vectoriel deE qui contientF et kerudonc F+ keru⊂u⁻¹(u(F))

Inversement, soitx∈u⁻¹(u(F)). On au(x)∈u(F) donc il existea∈F tel que u(x) =u(a) et alors pourb=x−aon ax=a+baveca∈F etb∈keru. Ainsi

u⁻¹(u(F)) =F+ keru

b)u(u⁻¹(F)) est un sous-espace vectoriel de E inclus dansF et dans Imudonc u(u⁻¹(F))⊂F∩Imu

Inversement, soitx∈F∩Imu. Il existea∈E tel que x=u(a). Or, puisque x∈F,a∈u⁻¹(F) et doncx=u(a)∈u(u⁻¹(F)). Ainsi

u(u⁻¹(F)) =F∩Imu c) On au(u⁻¹(F)) =u⁻¹(u(F)) si, et seulement si,

F+ keru=F∩Imu Si cette condition est vérifiée alors

F ⊂F+ keru=F∩Imu⊂F et donc

F =F+ keru=F∩Imu ce qui entraîne

keru⊂F etF ⊂Imu

Inversement, si ces conditions sont vérifiées, on a immédiatement F+ keru=F =F∩Imu.

Finalementu(u⁻¹(F)) =u⁻¹(u(F)) si, et seulement si,F est inclus dans l’image d’un endomorphisme injectif.

(15)

Les inclusions suivantes sont toujours vraies

F ⊂h⁻¹(h(F)) eth(h⁻¹(F))⊂F Sih⁻¹(h(F)) =h(h⁻¹(F)) alors

h⁻¹(h(F)) =F eth(h⁻¹(F)) =F

Les inclusionsh⁻¹(h(F))⊂F etF ⊂h(h⁻¹(F)) entraînent respectivement kerh⊂F etF ⊂Imh.

Inversement, supposons

kerh⊂F ⊂Imh

Pourx∈h⁻¹(h(F)), il existea∈F tel queh(x) =h(a). On a alors x−a∈kerh⊂F et doncx=a+ (x−a)∈F. Ainsih⁻¹(h(F))⊂F puis h⁻¹(h(F)) =F

Aussi poury∈F ⊂Imh, il existea∈E tel quey=h(a) et puisquey∈F, a∈h⁻¹(F). AinsiF ⊂h(h⁻¹(F)) puisF =h(h⁻¹(F)).

Finalement

h⁻¹(h(F)) =h(h⁻¹(F))

a) Siy∈f(

n

P

i=1

E_i) alors on peut écrirey=f(x₁+· · ·+x_n) avecx_i∈E_i. On alors y=f(x1) +· · ·+f(xn) avecf(xi)∈f(Ei) et ainsif(

n

P

i=1

Ei)⊂

n

P

i=1

f(Ei).

Siy∈

n

P

i=1

f(Ei) alors on peut écrirey=f(x1) +· · ·+f(xn) avecxi∈Ei. On a alorsy=f(x) avecx=x₁+· · ·+x_n∈

n

P

i=1

E_i doncf(

n

P

i=1

E_i)⊃

n

P

i=1

f(E_i).

b) Sif(x1) +· · ·+f(xn) = 0 avecxi∈Ei alorsf(x1+· · ·+xn) = 0 donc x1+· · ·+xn= 0 carf injective puisx1=. . .=xn= 0 car lesEi sont en somme directe et enfinf(x₁) =. . .=f(x_n) = 0. Ainsi lesf(E_i) sont en somme directe.

c) Soitx∈

p

P

j=1

f⁻¹(Fj). On peut écrirex=x1+· · ·+xp avecf(xj)∈Fj donc f(x) =f(x1) +· · ·+f(xp)∈

p

P

j=1

Fj. Ainsi

p

P

j=1

f⁻¹(Fj)⊂f⁻¹(

p

P

j=1

Fj).

On obtient une inclusion stricte en prenant par exemple pourf une projection sur une droiteD et en prenantF₁, F₂ deux droites distinctes deD et vérifiant

D⊂F₁+F₂.

f = 0 ouf = Id sont des conditions suffisantes faciles. . .

Plus finement, supposons chaqueFj inclus dans Imf (etp>1) Pourx∈f⁻¹(

p

P

j=1

F_j), on peut écriref(x) =y₁+· · ·+y_p avecy_j ∈F_j. Or Fj ⊂Imf donc il existexj∈Evérifiantf(xj) =yj. Evidemmentxj∈f⁻¹(Fj).

Considérons alorsx⁰₁=x−(x2+· · ·+xp), on af(x⁰₁) =y1 doncx⁰₁∈f⁻¹(Fj) et x=x⁰₁+x₂+· · ·+x_p∈

p

P

j=1

f⁻¹(F_j). Ainsif⁻¹(

p

P

j=1

F_j)⊂

p

P

j=1

f⁻¹(F_j) puis l’égalité.

a) Six= 0E alors n’importe quelλxconvient..

Sinon, la famille (x, f(x)) étant liée, il existe (λ, µ)6= (0,0) tel que λx+µf(x) = 0E.

Siµ= 0 alors λx= 0E, or x6= 0E doncλ= 0 ce qui est exclu car (λ, µ)6= (0,0).

Il resteµ6= 0 et on peut alors écrire f(x) =λ_xxavecλ_x=−λ/µ.

b) Cas (x, y) liée : on peut écrirey=µxavecµ6= 0 (carx, y6= 0_E).

D’une partf(y) =λ_yy=µλ_yx. D’autre partf(y) =f(µx) =µf(x) =µλ_xx.

Sachantµ6= 0 etx6= 0_E, on conclut : λ_x=λ_y. Cas (x, y) libre :

D’une partf(x+y) =λx+y(x+y), d’autre part f(x+y) =f(x) +f(y) =λxx+λyy.

Ainsiλx+y(x+y) =λxx+λyy.

Par liberté de la famille (x, y), on peut identifier les coefficients et on obtient λx=λx+y=λy.

c) L’applicationx7→λxest constante surE\ {0E}. Notonsλla valeur de cette constante.

On a∀x∈E\ {0E}, f(x) =λx, de plus cette identité vaut aussi pourx= 0E et doncf =λId.

Pour toutxnon nul, la liaison de la famille (x, f(x)) permet d’écriref(x) =λ_xx avecλ_x∈Kunique.

Soientx, ynon nuls.

Cas (x, y) liée :

On peut écrirey=µxet alors

Of(y) =µλxx=λxy etf(y) =λyy doncλy =λx.