HAL Id: jpa-00249283
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Submitted on 1 Jan 1994
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Solution structurelle au problème posé par la flexibilité des transmissions
G. Champenois, A. Martinez, J. Rognon
To cite this version:
G. Champenois, A. Martinez, J. Rognon. Solution structurelle au problème posé par la flex- ibilité des transmissions. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1994, 4 (12), pp.2557-2582.
�10.1051/jp3:1994297�. �jpa-00249283�
Classification Physic-s Abstracts
07.50
Solution structurelle au problkme posd par la flexibilitd des transmissions
G. Champenois, A. Martinez et J. P, Rognon
LEG (ENSIEG), B-P. 46, 38402 Saint-Manin-d'Hbres Cedex, France
(Regu le J0 novembre J993, rdi,isd le J7 mai J994, accept£ le J4 septembre J994)
Rksltmk. Cet article traite des problbmes posks par le contr61e d'un actionneur klectrique associk h une charge par une transmission qui n'est pas totalement ngide. Il propose une solution, structurellement bien connue, mais qui n£cessite des precautions de mise en muvre h cause des p61es instables du correcteur de boucle.
Abstract. This paper focuses on the problems caused by a flexible transmission in the control of the electrical actuator. We suggest a practical implementation of the well-known RST structural
solution, taking into account the possible unstable or weakly damped roots of the controller.
Introduction.
L'adaptation entre moteur et charge se fait le plus souvent au moyen d'un r£ducteur ou d'un
multiplicateur m£canique. Ce type de transmission prdsente une certaine dlasticitd ; le systbme m£canique a donc au moins une fr£quence de rdsonance qui est d'autant plus basse que l'inertie
est £lev£e et que la raideur de la transmission est faible. Cette fr£quence est g%nante car elle se situe dans la bande passante de l'asservissement de vitesse et peut ttre excit£e par un ph£nombne perturbateur : couple de charge, harmoniques de couple ii ]. Nous nous proposons
d'dtudier et d'apporter une solution structurelle au problbme pos£ par la flexibilit£ des transmissions. Dans le premier paragraphe, nous £tablissons le modble de la transmission et caractdrisons les phdnombnes causds par l'dlasticitd. Ensuite, nous nous posons la question de savoir s'il est possible de contr61er l'arbre secondaire en choisissant un correcteur classique de type PI. Au troisibme paragraphe, nous proposons une approche prenant en compte le modble
global de l'arbre souple, pour inhiber les ph£nombnes de r£sonance. Elle est bas£e sur la mdthode de placement des p61es et des zdros consistant h la mise en oauvre de correcteurs RST.
Cette Etude a la particularit£ de traiter les problbmes darts le domaine lindaire et en pr£sence de limitation de la grandeur de commande, aria de ddgager une structure op£rationnelle. Au demier paragraphe, nous envisageons une autre approche consistant h contrbler directement la torsion de l'arbre.
@LeS Editions de PllyslqUe 1994 JOURNAL DE PHYS>OUEU> -T 4 N'>2, DECEMBER1994
1. Moddlisation d'une transmission flexible.
1-1 MODtLE ET MISE EN #QUATION. Pour moddliser la flexibilitd du systdme, nous
distinguons deux sous-ensembles m£caniques (moteur et charge), reli£s par un £lament dont l'dlasticitd est caractdrisde par un coefficient de torsion k et un coefficient d'amortissement d
(Fig. I). II s'agit d'un modble considdrant la raideur constante et ne prenant en compte que la rotation de l'arbre (pas de cisaillement).
Ji
t2
Cl ml
~ J2
Aci
ml Cl Cl w2 C2
n d
Fig, I.-Modkle d'une transmission flexible. Paramdtres: C6td moteur: Cj
= couple moteur, wj, H~ =
vitesse et position moteur, J~, fj = inenie, coef, de frottement visqueux. Cdl? charge
C2 " couple de charge, wz, 92
" vitesse et position charge, J~, f~
=
inertie, coef. de frottements visqueux. Transmission : C~ couple de torsion, n = rapport de r6duction, k
= coefficient de torsion, d coefficient d'amortissement.
[Model of a flexible transmission.]
A partir du modkle prdc£dent, on peut dcrire les dquations :
dwj c~
Cl
~ Ji ~ + fi WI + ~ (l)
Ct dwi
~ J2 ~ +f2 W2 + c2 j2)
Hj Wj
~t~~~p~°?) +d~j~~°2) (3)
Remarques : On peut vArifier que le systkme est
. totalement commandable par le vecteur d'entrde ~~
et par Cl ou C, pris isol£ment,
~2
. observable h partir de w
i et w~ il n'est totalement observable h partir de (Hi H~ que si
Jj J~
fi ~ f2'
1.2 IDENTIFICATION DES PARAMtTRES Du MODtLE [2]. Dans notre cas, le systbme h
identifier est composd d'un moteur h courant continu h aimants permanents contr61d par une
boucle de courant analogique[moteur], d'un accouplement £lastique et d'un moteur synchrone
h aimants autopilot£ par des boucles de courants analogiques[charge]. Les dynamiques des boucles de courant sort connues et supposdes rapides par rapport aux ph£nomknes mdcaniques.
Le modble mdcanique est trks bien maitrisd, avec une dlasticitd parfaitement localisde au niveau de l'accouplement; les paramktres (inertie et frottements visqueux) des dldments
moteur et charge sent identifids sdpardment. Les seuls paramktres mal connus ou inconnus
concement l'accouplement dlastique. A partir de ce constat, il ne nous a pas sembld utile de
mettre en oauvre une procddure d'identification paramdtrique de l'ensemble. Les paramdtres k
et d sent identifids en exploitant la fonction de transfert w~/w en absence de couple de charge.
L'ensemble des paramktres est rdsumd en annexe A.
1.3 FONCTIONS DE TRANSFERT. On obtient (es fonctions de transfert continues suivantes :
~°~~~~~~~~~ji)~~~~~~' ~i~~~
~~ ~°~ ~/~~~ ~~~~ ~
~~li)~~~
~ ~
~~
o o~ =
211~f2
c +~ii~~f c~
avec
A~p ) =
( J~ p~ +
+ I(Ji f2 + J2 fi) + djJj +J~)jp2 + jk~fi + f2) + d~fi f2) + fi f?lP + k~fi + f2)
soit
WI " ~ll ~l ~12 ~2
w~ = G~i C
j G~~ C~ avec G~j
= Gi~
Sur Gi
i et G
j~, on constate l'existence d'antirdsonances de pulsations respectivement (gales h :
/k f2 + d 2 lk fi + d 2
~°~~ J2 2 J2 ~~ ~°~~ Ji 2 Ji
Par ailleurs, toutes les fonctions de transfert prdsentent une rdsonance dont la pulsation
w~ se situe au-delh des deux prdcddentes.
Les diagrammes de Bode (Fig. 2), obtenus avec les valeurs des paramktres identifids sur le banc d'essai, mettent en dvidence les phdnombnes de rdsonance et d'antirdsonance causds par
l'dlasticitd, et dont les caractdristiques sent rdsumdes en annexe A.
1.4 EXPLOITATION DES FONCTIONS DE TRANSFERT.
. Si on s'intdresse h la vitesse primaire wi, on peut utiliser l'un des modkles suivants
(Fig. 3) :
. Si on s'intdresse h la vitesse secondaire w~, on doit obligatoirement faire appel au modble
global (Fig. 4) dans la mesure oh la grandeur de contr61e est le couple C
i et non le couple de torsion C~.
On peut donc distinguer deux approches :
. une approche considdrant le modkle complet de l'arbre, oh on peut asservir soit la vitesse primaire
w j, soit la vitesse secondaire w~. Le couple de charge C~ joue alors le r61e du couple perturbateur.
60
40
20
6 ...___
0 "'
'B -20
-40
-60
io ioo iooo ioooo
-60
-go
-120
#m -150 li
# -180 I
-210
-240
-270
io ioo iooo ioooo
w en rad.s-1
Fig. 2. Fonctions de transfert d'une transmission flexible w~/C, (I
= 1, 2).
[Speed/torque transfer functions.]
Cl ml Cl ml
Gll
=
Gll +
G12 G12
Gil
couple perturbateurmouple dechargeC2
ou
Cl i ml
Jlp+fl
couple perturbateurmcouple de torsion Ct
Fig. 3. -Modbles de l'arbre flexible (sortie
= w~).
[Models of the flexible shaft (output = w ).]
Cl
~~~ w2 Cl
~~
w2 +
G22
G21
couple penu~bateumouple de chargeC2
Fig. 4. Modble de l'arbre flexible (sortie w~).
[Models of the flexible shaft (output = w~).]
. une approche oh le couple de torsion C~ reprdsente la perturbation. Dans ce cas, le modkle du systkme est du premier ordre cette approche n'est envisageable que si on asservit la vitesse
primaire w
1.
2. Ph4nomknes indl~its par la pr4sence d'dlasticit4 lorsque le correcteur a 4t4 choisi en faisant
l'hypothkse d'un arbre rigide.
Dans ce paragraphe, le correcteur est choisi et rdgld en supposant la transmission rigide. Nos
objectifs sont :
. de vdrifier que les phdnomknes engendrds par la flexibilitd de l'arbre seront trds diffdrents selon que l'on asservit la vitesse primaire ou secondaire ;
. d'dtudier les performances maximales qu'il est possible d'atteindre, et le rdglage correspondant du correcteur.
L'dtude est rdalisde en simulation dans le domaine continu, en l'absence de bruits de mesure.
Les simulations sont effectudes avec le logiciel d'aide h la conception de systbmes de contr61e
MATRIXX (cf. annexeB).
La structure g6n6rale de l'asservissement de vitesse est reprdsentde figure 5
Co«ecteur Accouplement
continu C°effici"t dlastique
d'ordre ~°$$
wr6f + C1
PI kin
Fig. 5. Modklisation de l'asservissement de vitesse.
[Speed loop modelling.]
Nous supposons que la sortie du correcteur de vitesse (rdfdrence de couple ou de courant) n'est pas limitde. Les valeurs de courant, angle de torsion, obtenues en rdponse h un dchelon
de consigne, en absence de limitation, ne sont dvidemment pas rdalistes dans l'absolu (comme d'ailleurs l'absence de limitation et dans une certaine mesure un Echelon de consigne de vitesse). Cependant, [es formes d'ondes sont celles du systkme soumis h une sollicitation le
maintenant darts sa plage de lindaritd; l'amplitude importante des phdnomknes permet
simplement de mieux les observer.
2.1 CONTROLE DE LA VITESSE MOTEUR (wj). Pour analyser les rdponses, it faut se souvenir que lorsque l'on contr61e la vitesse primaire, le systbme peut s'analyser comme un arbre rigide (let ordre Ji, fj) soumis au couple moteur et h une perturbation reprdsentde par le couple de
torsion. En l'absence du couple de charge, on a
fl
= ~
~~ ~ ~
,
ce qui signifie que
WI J~p + ~f~ + d) + k
la vitesse secondaire (w~) oscille h la frdquence d'antirdsonance f~j et, par voie de
consdquence, le couple de torsion aussi. Si le correcteur est suffisamment performant par
rapport h cette perturbation, la vitesse et la position primaire sort peu affectdes l'amplitude
des oscillations de wi h la pulsation d'antirdsonance est donc faible, et la contribution de oj aux oscillations du couple de torsion l'est dgalement.
r6f6rence ~'
350 300
250 ~~
nlGi 200 ',
# '
j 150
) 100
>
50 o .50
0 .02 .04 ..06 .0@ .1 .12
temps (s) vltesses prlmalre et secondalre
Fig. 6. Asservissement de w (sans limitation Echelon de r6f6rence h t = 0 s et Echelon de couple h t = 0,1 s).
[Control of WI (without limitation).]
2.2 CONTROLE DE LA VITESSE EN SORTIE DE L'ARBRE (w~). Conform6ment h l'approche
thdorique ddveloppde au paragraphe 1.4, nous constatons qu'il n'est pas possible de contr61er
cette boucle. On vdrifie sur la figure 7 que les vitesses wj et w~ divergent
En conclusion, cette (tape nous a permis de savoir s'il dtait possible dans le principe de contr61er les vitesses moteur et charge en prdsence d'un accouplement dlastique avec un
correcteur de boucle classique type PI. Darts le cas oh on veut asservir la vitesse secondaire,
nous avons vu que cela est impossible : le systbme devient instable. Par contre, si on asservit la
vitesse primaire, il est possible de mettre en oauvre ce type de correcteur: on a un
comportement stable et satisfaisant pour
w ; ndanmoins, on observe atom des oscillations sur
40000
: = Wl .--.[-.---
30000 'I' ""'I
--""~l '~~ .(...
20000
")
_I_I.-( wref.w
I
10000 ')"" ""I E
~i 0
# .10000
"1
§ ',
,;, ...;.
-20000 I'
.-I- ...~;
.30000 "'I
I, ' -40000
~~~ ~~ ,ols .°2
temps (s) vltesses prlmalre et secondalre
Fig. 7. Asservissement de w~ (Sans limitation Echelon de rdfdrence h t = o s).
[Control of w~ (without limitation).]
w~ dues h l'dlasticitd de l'accouplement. Pour diminuer ces oscillations, il faudrait diminuer la bande passante de la boucle de vitesse, au ddtriment des performances, ou d'introduire un filtre de consigne afin de ne pas exciter la rdsonance h ce niveau cependant, elle le sera par le
couple de perturbation, comme on peut l'observer sur la figure 6.
3. Solution structurelle au problkme posd par l'klasticitd.
L'architecture et le rdglage d'un asservissement de vitesse doivent permettre le suivi de rdfdrence avec la prdcision requise, en ddpit des perturbations et de la flexibilitd de la transmission. Nous considdrons donc le modkle complet d'ordre3 parmi les solutions
possibles[1-3], nous choisissons de mettre en oauvre un correcteur RST h paramktres
constants, afin de ddcoupler au moins partiellement les comportements en suivi de consigne et en rdgulation ; l'ordre du correcteur est choisi pour permettre le placement des p61es et des 2dros des fonctions de transfert en boucle fermde du syst~me. La structure gdndrale de principe de la commande est reprdsentde sur la figure 8. Nous avons considdrd le cas continu (ou une approche continue) dans les ddveloppements thdoriques mais les rdsultats sont facilement
extrapolables en dchantillonnd certains rdsultats prdsentds par la suite ont d'ailleurs dtd obtenus avec un correcteur dchantillonnd.
Les trois dldments de rdglage qui agissent respectivement sur la commande, la mesure et la
consigne sont notds R, S, T.
A partir de la figure 8, on peut exprimer les fonctions de transfert
w B~T
~o B~R
~~~W~~~~AR+B~S ~~ ~~~C~~AR+B~S'
Si on asservit wj (en continu) :
B~ =J~p~+ ~f~+d)p+k
B~ =dp+k.
+ ~
T Gi Gc
R
Aci
s
Grandeur asservie w1 w2
Gm= G11 G21
Gp = G12 G22
Fig. 8. -Commande d'axe avec correcteur RST. G,: fonction de transfen de la boucle de courant.
Ci
Rappelons qu'elle est assimil£e h un gain pur. G,=-=km (coefficient de couple moteur).
',if
G~ fonction de transfen du capteur de vitesse (grin£ratrice tachymdtrique) pour cette dtude de principe,
nous l'assimilons h un gain I. w~~ = vitesse de r6f6rence. 1,~~ = courant de rdfdrence. Cj
= couple
moteur. AC
j = perturbation du couple moteur, C2
~
couple de charge. w =
vitesse moteur ou charge.
w~ = vitesse mesurde
= w.
[RST controller.
Si on asservit w~ (en continu) :
B~=dp+k
B~ =Jip~+~fi+d)p+k.
3.I PRINCIPE DE SYNTH#SE CORRECTEUR RST PLACEMENT DES POLES ET DES ZiROS EN
BoucLE FERMtE. La mdthode de placement des pbles et des z6ros d6riv6e de la th60rie des
Equations polynomiales et rationnelles est largement ddcrite darts la littdrature [5-9].
. Les principes gdndraux de rdglage, ainsi que les Equivalences entre le correcteur RST et d'autres structures bien connues (retour d'dtat avec observateur d'dtat en particulier) sont
rdsumds dans l'annexe C [IO, II].
. les choix des rdglages faits dans ce cas particulier et leurs consdquences sur les racines des
polyn6mes T, S, R sont expliquds dans l'annexe D
. les rdsultats obtenus en rdponse h des Echelons de consigne et de perturbations, en absence de limitation de la grandeur de commande sort prdsent£s sur la figure 9a (cas continu) et 9b (cas dchantillonnd). II faut rioter que, darts le premier cas toutes les racines de R' sont stables,
que darts le second cas une des racines de R' est instable (annexe D).
On peut vdrifier la parfaite concordance des rdsultats obtenus avec les correcteurs continu et dchantillonnd. On constate dgalement que la vitesse w~ est contr61de de la mdme manibre par rapport h la consigne, que l'on asservisse w
i ou w~. Par ailleurs, en terme de rdjection des
wtmncc ~ An ~ c2 ~
Ho 210
iao iao
, lso lso
e~ 120
j Wl 120 Wl
80 80
f
~n ~n
3o 3o
o o
.Q2 .04 .06 .08 .1 .12 o .02 .04 .06 .08 .1 .12
a) b)
250 ma iso ioo
w so
o
~o
.Q2 .04 .06 .08 .1 .12
temps (s) vlte-es pdmalre et secondslre
C)
Fig. 9. Rdsultats en l'absence de limitation jm 1), (a) contr61e w (T, S, R (continu), (b) contr61e w~(T, S, R) (6chantillonn6), (c) contr61e w~jT, S, R) (6chantillonn6).
[Results without limitations.]
perturbations de couple, le comportement est diffdrent mais les performances sort globalement
similaires ; les diffdrences de comportement sort dues aux zdros des diffdrentes fonctions de transfert T~. Ce rdsultat est important darts la mesure oh it est commun de placer le capteur plut6t sur l'arbre moteur. Dons la suite, on ne considdrera que l'asser;issement de
W j.
3.2 CORRECTEUR RST MISE EN IIIUVRE PRATIQUE.
3.2.I Structuies ddiivdes du schdma thdorique : prob/Jmes dventue/s. Trots structures
d'implantation ddrivdes du schdma de principe peuvent dtre proposdes
. la premibre reprend directement le schdma thdorique T, S, R sous sa forrne rdalisable ;
. la deuxidme fait intervenir un correcteur de boucle ~
et un terme anticipatif
T S
R
. la troisidme fait intervenir un correcteur de boucle ~
et un terme de retour
T-S R
Pour chacune des structures, nous indiquons les probldmes pratiques qu'elles engendrent.
3.2. I.I Structure T, S, R (Fig. IO). Po est un polyn6me du mdme ordre que R, S, T : ii
garantit la faisabilitd des blocs de transfert; les modes correspondant aux racines de
Po ne sort pas observables ; ils doivent donc obligatoirement dtre stables et rapides [8, 9].
Po est choisi dgal h ~p + a)~ avec a ~ 0 darts le cas continu et h z~ darts le cas dchantillonnd.
L'inconvdnient d'une telle structure est qu'une erreur au niveau du gain du transfert T se traduit par une erreur de la variable contr61de par rapport h la rdfdrence.
wr£r T + Po irif
po R
s Po
Fig. 10. Structure T, S, R.
[T, S, R structure.]
3,2,1.2 Structure ~ ~
,
~ (Fig, I I). Le terme ~ ~
correspond h un terme anticipatif sur
R R R
la consigne et le terrne ~
correspond au rdgulateur de la boucle. Le principal inconvdnient de R
cette structure est que la fonction de transfert ~ ~
peut dtre instable, si R' a des racines R
instables ( ~ ~ n'a pas d'intdgration). Darts ce cas, le terme anticipatif diverge dds que la R
consigne est non nulle car ii intervient en boucle ouverte ; ga n'a pas de consdquence tart que le
terme de boucle peut annuler cet effet, mais dds que ce dernier atteint ses limites, le systdme
cesse d'avoir le comportement thdorique attendu. On vdrifie bier que
s AR B~(T- S)
Ii ~ p ~ ~°rdf
P
(T-S)
12 "
~ Wrdf.
Si R a des racines instables (autres que celles lifes aux nit£grations qui sont compensdes par les racines de T S), ii et i~ peuvent individuellement diverger lorsque la rdfdrence est constante.
T S
~
i~
@r6f + S ii ~ b6f ~
@
+
Fig. ii. Structure ~ ~
,
~
l~
~
~
,
~ structure,
3.2,1.3 Structure ~, ~ ~
(Fig. 12) ill ]. Comme la prdcddente, cette structure dlimine
R R
les inconvdnients du schdma thdorique T, S, R. en effet, la rdfdrence est directement comparde
h la grandeur h contr61er et le correcteur de boucle contient une intdgration. II ne peut donc pas y avoir d'erreur statique due h une erreur de gain sur le polyn6me T. En revanche, it importe de savoir si elle dlimine les probldmes rdsultant de la prdsence de racines instables darts R'. Pour ce faire, calculons les expressions de ii et de i~:
TAR-B~(T-S)
ii ~ p ~~
~ ~ ~ ~°rdf
TB~(T-S)
12"§~~
~~ ~~°rdf.
Si R' a des racines instables, ii et i~ peuvent diverger lorsque la rdfdrence est constante. Cette
structure pose donc les mdmes probldmes que la prdcddente.
@r6f + T ii + b6f
R +
T S
@
Fig. 12. Structure ~
,
~ ~
IT T S
R R ~~~~~~~~~'
