ECS1
Exercices: Applications linéaires
Exercice 1. Parmi les applications suivantes, déterminer celles qui sont linéaires : 1. R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (y, x) 2. R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ (x+z, y+z) 3. R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x2, y2, z2)
4. R −→ R
x 7−→ sin(x)
Exercice 2. Soitaun réel. Parmi les applications suivantes, déterminer (éventuellement en fonction des valeurs dea) celles qui sont linéaires :
1. R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x, a) 2. R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (ax, ay) 3. R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x+a, y+a) Exercice 3. Parmi les applications suivantes, déterminer celles qui sont linéaires :
1. M3,1(R) → R
X 7→ tXX 2. M3,1(R) → M3(R)
X 7→ X tX 3.
M3,1(R) → M3,1(R)
X 7→
1 2 −1
−3 1 2
0 0 1
X−X
Exercice 4. Soitf l'application de R2 dansR5dénie pour tousα, β réels par f((α, β)) = (α+ 2β, α, α+β,3α+ 5β,−α+ 2β).
1. Montrer quef est une application linéaire.
2. DéterminerKer(f)et préciser sa dimension.
3. DéterminerIm(f)et préciser sa dimension.
4. f est-elle surjective ? injective ?
Exercice 5. Soitf l'application de R3 dansR5dénie pour tousα, β, γ réels par f[(α, β, γ)] = (α+ 2β+γ, α+γ, α+β,3α+ 5β,−α+ 2β+ 3γ).
1. Montrer quef est une application linéaire.
2. DéterminerKer(f)et préciser sa dimension.
3. DéterminerIm(f)et préciser sa dimension.
4. f est-elle surjective ? injective ?
Exercice 6. SoitE=Rn[X], etf :E→E dénie par :
f(P(X)) =P(X) + (1−X)P0(X).
Montrer quef est une application linéaire et donner une base deKer(f).
Exercice 7. Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Quand la réponse est oui, sont-elles surjectives, injectives ? Déterminer leur image et leur noyau.
f : C[X] −→ C[X]
P(X) 7−→ P(X+i)
g: C[X] −→ C[X] P(X) 7−→ P(X2)
h: C[X] −→ C[X]
P(X) 7−→ P0(X) Exercice 8. Soitf l'endomorphisme de R3 déni par :∀(x, y, z)∈R3,
f((x, y, z)) =
x+y+z
2 , y,x−y+z 2
. 1. Montrer quef est un projecteur.
2. Déterminer une baseBdeKer(f)et une baseC deIm(f). 3. Montrer que la juxtaposition deB etC donne une base deR3.
Exercice 9. On considèreB= (e1, e2, e3)la base canonique deR3 et l'endomorphismef deR3 déni par : f(e1) =e1, f(e2) =−e1, f(e3) =e3.
1. Déterminer l'image parf d'un élément(x, y, z)deR3.
2. Déterminer le noyau et l'image def et donner une base de chacun d'eux.
3. Montrer quef est un projecteur, dont on précisera les caractéristiques.
Exercice 10. On considère les sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(a, b, c)∈R3|a−b+c= 0} et G= Vect ((1,1,1)). 1. Montrer queF etGsont supplémentaires.
2. Calculer le projeté d'un vecteur(a, b, c)surF parallèlement àG.
