Applications linéaires
(résumé)
f :E !F est linéaire si f( x) = f(x)
f(x+y) =f(x) +f(y) , çàd ssif( x+y) = f(x) +f(y).
ÊTRE LINÉAIRE()PRÉSERVER LES COMBINAISONS LINÉAIRES.
SIf EST LINÉAIRE, ON A TOUJOURSf(0) = 0
morphisme d’ev :f linéaire deE versF çàdf 2L(E; F); endomorphisme : on reste dansE=F çàd f 2L(E); isomorphisme :f bijectif ;
automorphisme : AUTO = ENDO + ISO çàdf 2GL(E)(groupe linéaire) ; forme linéaire :f(x)est un NOMBRE, çàdF =K.
Applications linéaires usuelles.
1. Les homothétiesx7! xsont des endomorphismes.
2. La dérivation des fonctionsf 7!f0 est linéaire.
3. La limite est une forme linéaire(an)7!liman sur les suites convergentes.
4. Les parties réelle et imaginaire sont des formes linéaires surC=R2. 5. Le produit scalaire est une forme linéaire en chacune de ses deux variables.
6. L’évaluation des fonctionsf 7!f(a0)est une forme linéaire.
7. L’intégration des fonctionsf 7!Rb0
a0 f(x)dxest une forme linéaire.
8. Le produit vectoriel est un endomorphisme deR3 en chacune de ses deux variables.
9. FUne application constantex7!x0 n’est jamais linéaire (sauf six0= 0).
10. FUne translationx7!x+x0n’est jamais linéaire (sauf si x0= 0).
11. FUn polynôme n’est presque jamais une forme linéaire, sauf si tous ses monômes sont de degré 1 (pas de constantes (degré 0), ni de carrés (degré 2) ni de cubes (degré 3)...)
Stabilité de la linéarité. Les applications linéaires sont stables par combinaison linéaire (çàd par + et ), par composition et (si bijectives) par réciproque :
|{z}
scalaire
|{z}f
linéaire
+ g
|{z}
linéaire
|{z}h
linéaire
est linéaire f
|{z}
linéaire
bijectif=)f 1linéaire.
Nouveau: dansL(E), se distribue sur+ On peut donc développer/factoriser dansL(E)où le produit est la composition. Fle produit n’est pas commutatif !
Noyau (kernel) :x2Kerf ()f(x) = 0. Sif linéaire,Kerf et Imf sont des sev.
Injectivité: FFF Si f linéaire, alors f injective () Kerf =f0g. FFF
Équations linéaires. Sif(x0) =y0avecf linéaire, alorsf(x) =y0() 9k2Kerf; x=x0+k.
Projecteurs et symétries linéaires.
DansE=A B, laprojection psurAparallèlement àB envoie|{z}a
2A
+|{z}b
2B
sura.
Alorsp2=p,A= Imp
|{z}
vecteurs …xés parp
et B= Kerp. FRetenirE= Kerp Imp.
Réciproque : sif2=f dansL(E), alorsf est la projection surImf parallèlement àKerf. DansE=A B, lasymétrie spar rapport àAparallèlement àB envoie a
|{z}
2A
+ b
|{z}
2B
sura b.
Alorss2= Id,A= Ker (s Id)
| {z }
vecteurs …xés pars
etB= Ker (s+ Id)
| {z }
vecteurs "anti-…xés" pars
. FRetenirE= Ker (s Id) Ker (s+ Id).
Réciproque : sif2= IddansL(E), alorsf est la symétrie p. r. àKer (f Id)parallèltàKer (f+ Id).
1
