A. Applications linéaires
Exercice I.
Etudier la linéarité des applications suivantes. Lesquelles sont des endomorphismes ?
1. f : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x y z
7−→ 0 3x−2y
!
2. f : M3,1(R) −→ M2,1(R)
x y z
7−→ x+y+z
−2z
!
3. f : R3 −→ R3
x, y, z
7−→
−3x+y+z, x−3y+z, x+y−3z 4. f : M3,1(R) −→ M3,1(R)
x y z
7−→
x+y+z 1−xy
−x+y+z2
5. f : M3,1(R) −→ M3,1(R)
x y z
7−→
x+y−z x−y+z
−x+y+z
6. f : M3,1(R) −→ M4,1(R)
x y z
7−→
y−x−z x−2z x−3y 2x+y+z
7. f : M2,1(R) −→ M3,1(R) x
y
!
7−→
x+y
−4y
−x−y
8. f : R4 −→ M2(R)
(x, y, z, t) 7−→ x−y y−z z−t t−x
!
9. T r: Mn(R) −→ R
M = (Mi,j)16i,j6n 7−→
n
X
i=1
Mi,i
10. Det: M2(R) −→ R
a b c d
!
7−→ ad−bc
11. f : R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ 3x−4y+ 2z
12. f : R4 −→ R4
(x, y, z, t) 7−→ (x−2y+z, t, y−x, z−x) 13. f : R3[X] −→ R3[X]
P 7−→ P0
14. f : R2[X] −→ R2[X]
P 7−→ (X7−→P(X+ 1))
15. f : R2[X] −→ R2[X]
P 7−→ (X7−→P(X)−P(X−1))
16. f : R3[X] −→ R5[X]
P 7−→ (X7−→X2P(X)−3P00(X)) 17. f : C0(R) −→ C0(R)
f 7−→
x7−→
Z x 0
f(t)dt
18. f : R2[X] −→ R3[X]
P 7−→
x7−→
Z x 0
P(t)dt
19. f : R3[X] −→ R[X]
P 7−→ x7−→
Z x2 1
(P(t) +tP0(t))dt
!
20. f : RN −→ RN
(un)n∈N 7−→ (vn)n∈N avec vn=un+1−un
Exercice II.
Soientf etgles endomorphismes deR2définis par f(x, y) = (0, x+y) et g(x, y) = (y,−x) pour(x, y)∈R2. Donner les expressions de :
1. f +g 2. 2f−4g
3. f◦g 4. g◦f
5. f2 6. g2
7. f ◦(3g−4Id) 8. (f −3Id)◦(g+ 2Id)
Exercice III.
Soituetvles applications définies par u: R[X] −→ R[X]
P 7−→ (X 7−→XP(X)) et v: R[X] −→ R[X] P 7−→ P0 . 1. Montrer queuetvsont deux endomorphismes deR[X].
2. Déterminer v◦u−u◦v.
3. Montrer que ∀n∈N, v◦un−un◦v=nun−1.
Exercice IV.
Soit A∈ Mn(R) et fA: Mn(R) −→ Mn(R) M 7−→ AM A . 1. Montrer quefAest un endomorphisme.
2. Que peut-on dire de plus siAest inversible ?
Exercice V.
1. SoitEun ev de dimension3.
Soit u∈ L(E), tel qu’il existe un vecteur x∈E, tel que u2(x)6= 0E et u3(x) = 0E. Montrer que la famille (x, u(x), u2(x)) est une base deE.
2. Plus généralement, soitEun ev de dimensionn∈N∗.
Soit u∈ L(E), tel que fn= 0 et fn−16= 0. Soit x∈E, avec x /∈Ker(fn−1).
Montrer que la famille (x, f(x), f2(x), ..., fn−1(x)) est une base deE.
Exercice VI.
SoientEun espace vectoriel de dimensionnet f ∈ L(E) tel qu’il existe k∈N∗ tel que fk= 0. 1. Montrer quef n’est pas bijective.
2. On noteple plus petit entier vérifiant fp= 0. Soit x0∈E tel que fp−1(x0)6= 0. a. Montrer que la famille (x0, f(x0), ..., fp−1(x0)) est libre.
b. En déduire que p6n.
B. Noyau, image
Exercice VII.
Déterminer le noyau et l’image des applications linéaires de l’Exercice I.
Conclure ensuite quant à l’injectivité et la surjectivité.
Exercice VIII.
SoitEl’e.v. des fonctions continues surR.
On considère l’applicationΦdéfinie surEpar Φ(f) :x7−→
Z x 0
f(t)dt.
1. Vérifier queΦest un endomorphisme deE. 2. DéterminerKer(Φ),Im(Φ).
3. Φest-elle injective ? Surjective ?
4. Que peut-on en déduire quant à l’e.v.E?
Exercice IX.
1. Soit A= 1/3 −1
−1 3
!
et fA: M2(R) −→ M2(R)
M 7−→ AM .
a. Montrer quefAest un endomorphisme.
b. Déterminer une base deker(fA)et deIm(fA).
c. fAest-il un automorphisme ?
2. Mêmes questions avec cette fois-ci A= 2 3
−4 −5
! .
Exercice X.
Soit A∈GLn(R) et fA: Mn(R) −→ Mn(R) M 7−→ AM A−1 . 1. Montrer quefAest un endomorphisme.
2. Déterminerker(fA).
3. En déduire quefAest un automorphisme, et donner sa réciproque.
Exercice XI.
On notefl’endomorphisme deR3, dont la matrice, relativement à la base canonique deR3est
1 1 1 1 0 0 1 0 0
. 1. Déterminer une base deIm(f)et donner la dimension deIm(f).
2. Est-ce quefest bijectif ?
Exercice XII.
SoitEun ev etf ∈ L(E).
1. Montrer que Ker(f)⊂Ker(f2). 2. Montrer que Im(f2)⊂Im(f).
3. Montrer que Ker(f) =Ker(f2) ⇐⇒ Im(f)∩Ker(f) = 0E.
Exercice XIII.
SoitEun espace vectoriel etf ∈ L(E).
1. Montrer que ∀n∈N, Ker(fn)⊂Ker(fn+1). 2. Montrer que ∀n∈N, Im(fn+1)⊂Im(fn).
Exercice XIV.
Soitf l’endomorphisme deR2dont la matrice dans la base canonique est A=√
2 1 1
1 −1
! . 1. Montrer quef◦f = 4id, puis préciser le noyau et l’image def.
2. On noteF =Ker(f −2id),G=Im(f−2id)etule vecteur deR2défini paru=
√2−2
√2
! . a. Montrer queGest engendré par le vecteuru.
b. En déduire la dimension deFet donner une base deF.
C. Matrice d’une applications linéaire
Exercice XV.
Déterminer les matrices des applications linéaires de l’Exercice I.dans les bases canoniques correspondantes.
Exercice XVI.
Soit f :M4,1(R)−→ M3,1(R) l’endomorphisme de matrice A=
3 1 −2 0
−1 1 −1 2
1 −3 0 −1
.
1. Pour
x y z t
∈ M4,1(R), déterminerf
x y z t
.
2. Déterminer son noyau et son image.
3. Vérifier que dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(M4,1(R)).
4. f est-elle injective ? Surjective ?
Exercice XVII.
Soit l’application
g:M2,1(R) −→ M2,1(R) x
y
!
7−→ x+y x−y
! .
1. Montrer quegest un endomorphisme deM2,1(R), et déterminer sa matrice associéeM. 2. Déterminer le noyau deg, et montrer quegest bijective.
3. Déterminer alorsg−1, puis la matrice associée deg−1. Calculer alorsM−1. Que remarque-t-on ? 4. Déterminerg2(=g◦g), puis la matrice associée deg2, et enfinM2.
Exercice XVIII.
Soit l’application
f :M2(R) −→ M2(R) a b
c d
!
7−→ a−b b−d
a c
! .
1. Montrer quef est un endomorphisme deM2(R). 2. DéterminerKer(f)etIm(f).
3. a. Donner la matriceM def dans la base canonique.
b. Est-elle inversible ? Si oui, donnerM−1, et préciser le rapport avecf.
Exercice XIX.
1. Soit A= 2 0 0 3
!
etfdéfinie surM2(R)par f(M) =AM−M A. a. Montrer quefest un endomorphisme deM2(R).
b. Déterminer le noyau et l’image def.
c. Donner la matrice def dans la base canonique deM2(R).
2. Mêmes questions avec cette fois-ci A= −1 1 2 −1
! .
3. Mêmes questions avec A= 1 −2
0 4
! .
Exercice XX.
SoientA= −1 2
3 5
!
etfl’endomorphisme deR2dontAest la matrice dans la base canonique.
1. Donner une expression def.
2. Montrer sans faire de calcul quef est un automorphisme deR2.
3. Donner la matrice def−1dans la base canonique deR2puis en déduire l’expression def−1.
Exercice XXI.
On noteA=
0 1 0 1 0 1 0 1 0
,E=V ect(I, A, A2)etf définie surEparf(M) =AMpour toutM ∈ E.
1. CalculerA2.
2. Montrer que(I, A, A2)est libre.
3. Montrer queA3= 2A.
4. Montrer quef est un endomorphisme deE. 5. Montrer quef◦f◦f = 2f.
6. Ecrire la matrice defdans la base(I, A, A2)deE.
7. Résoudre les équationsf(M) =I+Aetf(N) =A+A2d’inconnues respectivesM ∈ EetN∈ E.
Exercice XXII.
1. Soitf :R2[X]−→R3telle quef(P) = (P(0), P(1), P(2)). a. Montrer quefest une application linéaire.
b. Déterminer le noyau def. Cette application est-elle un isomorphisme ? c. Déterminer alors la matrice defrelativement aux bases canoniques.
2. Reprendre les questions précédentes avec cette fois-cif :R3[X]−→R3.
Exercice XXIII.
On considère l’applicationfdéfinie surR3[X]par f(P)(X) =XP(X+ 1)−(X+ 1)P(X). 1. Montrer quef ∈ L(R3[X]).
2. Ecriref matriciellement.
3. DéterminerKer(f)etIm(f).
Exercice XXIV.
Soitf l’application deR2[X]dansR2définie par :f(P) = (P(1), P0(1)). 1. Montrer quef ∈ L(R2[X],R2).
2. Déterminer le noyau et l’image def.
3. Donner la matrice def dans les bases canoniques deR2[X]et deR2.
Exercice XXV.
Soitf l’application définie surR3parf(x, y, z) = (x−y, y−z, z−x). 1. Montrer quef est un endomorphisme.
2. Donner la matrice def dans la base canonique deR3. 3. Déterminer le noyau et l’image def.
Exercice XXVI.
On noteB= (e1, e2, e3)la base canonique deR3et on considère l’endomorphisme deR3défini par les égalités suivantes :
f(e1) =e2+e3 et f(e2) =f(e3) = 2e1. 1. Ecrire la matriceM defdans la baseB.
2. Déterminer la dimension deIm(f)puis celle deKer(f).
Exercice XXVII.
SoitEun espace vectoriel réel de dimension3etBune base deE.
Soitf etgdeux endomorphismes deEdont les matrices respectives dans la baseBsont :
A=
1 2 3
0 −1 1
0 0 1
et B=
−1 0 3
1 1 0
0 2 1
.
Donner les matrices dans la baseBdes applications :
Exercice XXVIII.
Pour toute matrice M élément de M2(R), on note tM la matrice transposée de M, définie de la façon suivante : si M = a b
c d
!
alorstM = a c b d
!
.On poseE1= 1 0 0 0
!
, E2 = 0 1 0 0
!
, E3= 0 0 1 0
!
etE4 = 0 0 0 1
!
On noteϕ
l’application qui à toute matriceM deM2(R)associeϕ(M) =M+tM . 1. a. Montrer queϕest un endomorphisme deM2(R).
b. Ecrire la matriceAdeϕdansB. ϕest-il bijectif ?
2. calculerA2et en déduire que , pour toutndeN∗:An= 2n−1A
3. a. Montrer queIm(ϕ) =V ect(E1, E2+E3, E4),puis établir quedim(Im(ϕ)) = 3.
b. En déduire la dimension dekerϕpuis déterminer une base dekerϕ.
c. Etablir queImϕest le noyau de l’endomorphismeϕ−2.idE
4. On considère la familleFqui est la concaténation des vecteurs de la base deImϕet des vecteurs de la base dekerϕ.
a. Montrer que la familleFest une base deE. b. Déterminer la matrice deϕdansF.
Exercice XXIX.
On considère la matriceA=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
1. Montrer que le polynômePdéfini parP(X) =X2−5X+ 4est un polynôme annulateur deA. 2. En déduire queAest inversible et donnerA−1.
Exercice XXX.
Soitf l’endomorphisme deR2défini par ∀(x, y)∈R2, f(x, y) = (x+y, x−y).
1. Montrer que le polynômePdéfini parP(X) =X2−2est un polynôme annulateur def. 2. En déduire quefest un automorphisme deR2, et donnerf−1.
Exercice XXXI.
Soituun endomorphisme non nul d’un e.v. de dimension3, vérifiantu2= 0.
On souhaite montrer qu’il existe une baseBdeEdans laquelle on a matB(u) =
0 0 1 0 0 0 0 0 0
. 1. a. Montrer queIm(f)⊂Ker(f).
b. En déduire les dimensions de l’image et du noyau def. 2. a. Justifier qu’il existe un vecteurz∈Etel queu(z)6= 0E.
b. On posex=u(z). Montrer quex∈Ker(f).
c. On admet qu’il existe un vecteury∈Etel que(x, y)soit une base deKer(f). (théorème de la base incomplète) Montrer que la famille(x, y, z)est une base deE.
d. En déduire la matrice deudans cette base.
Exercice XXXII.
Soituun endomorphisme non nul d’un e.v. de dimension3, vérifiantu26= 0etu3= 0.
On souhaite montrer qu’il existe une baseBdeEdans laquelle on a matB(u) =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
.
1. Justifier qu’il existe un vecteurz∈E\{0E}tel queu2(z)6= 0Eetu3(z) = 0E. 2. On posey=u(z)etx=u(y). Montrer que la famille(x, y, z)est une base deE. 3. En déduire la matrice deudans cette base.
Exercice XXXIII.
Soitmun réel donné strictement positif etf l’endomorphisme deR3dont la matrice M dans la base canonique deR3
est donnée par :M =
0 1
m 1 m2
m 0 1
m m2 m 0
On noteIla matrice identité deM3(R)et Id l’endomorphisme identité deR3. Pour tout endomorphisme g deR3, on poseg0=Id et pour tout k deN∗,gk =g◦gk−1.
1. Déterminer le noyau Kerfet l’image Imf de l’endomorphismef. La matriceM est-elle inversible ? 2. a. Montrer que la matriceM2est une combinaison linéaire deIet deM.
b. Déterminer un polynôme annulateur non nul de la matriceM. 3. On pose :p= 13(f+Id)etq=−13(f −2Id).
a. Calculerp◦qetq◦p, puis pour tout.ndeN,pnetqn.
b. En déduire pour toutndeN, l’expression defnen fonction depetq. c. Déterminer les deux suites réelles(an)n∈
Net(bn)n∈
Ntelles que pour toutndeN, on a : Mn=anI+bnM.
d. La formule précédente reste-elle valable sinappartient àZ?
D. Changement de base
Exercice XXXIV.
Quelles matrices peuvent être semblables àOn? Et àIn?
Exercice XXXV.
On considère l’applicationfdéfinie surR2[X]par f(P)(X) = (X+ 1)P0(X) +P(X).
1. Montrer quef est un endomorphisme deR2[X].
2. Déterminer la matrice def dans la base canonique deR2[X].
3. DéterminerKer(f)etIm(f).
4. On considère les polynômesP1,P2etP3définis par P1(X) = 1, P2(X) =X+ 1 et P3(X) = (X+ 1)2. Montrer que ces trois polynômes forment une base deR2[X].
5. Déterminer la matrice def dans cette base de deux manières différentes.
Exercice XXXVI.
Soitf l’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canoniqueBest A=
2 10 7
1 4 3
−2 −8 −6
. Soit également le vecteur u= (2,1,−2).
1. a. Vérifier queKer(f) =V ect(u). b. Aest-elle inversible ?
2. a. Déterminer le vecteurv, dont la deuxième coordonnées dansBvaut1, tel quef(v) =u.
b. Démontre que le vecteurw, dont la deuxième coordonnées dansBvaut1, et qui vérifie f(w) = v, estw = (0,1,−1).
c. Montrer que(u, v, w)est une base deR3, que l’on noteraB0. d. Expliciter la matriceP =PB,B0.
3. a. Ecrire la matriceNdef dans la baseB0. b. Donner la relation liantA,N,P etP−1.
c. En déduire qu’il existen∈N, que l’on déterminera, tel que ∀k>n, Ak =O3. 4. On noteCN (resp.CA) l’ensemble des matrices deM3(R)qui commutent avecN (resp.A).
a. Montrer queCN est un s.e.v. deM3(R). On admet qu’il en est de même pourCA. b. Etablir queCN =V ect(I3, N, N2).
c. Montrer que M ∈CA ⇐⇒ P−1M P ∈CN. d. En déduire queCA=V ect(I3, A, A2).
e. Quelle est la dimension deCA?
Exercice XXXVII.
Soit f : M2(R) → M2(R)
M 7−→ M+tM . On noteB={E1,1, E1,2, E2,1, E2,2}la base canonique deM2(R).
1. ExpliciterB.
2. Montrer quef est un endomorphisme deM2(R).
3. Montrer que Im(f) =V ect(E1,1, E1,2+E2,1, E2,2), puis en déduire une base deKer(f). 4. Montrer que la famille B0 = (E1,1, E1,2+E2,1, E2,2, E1,2−E2,1) est une base deM2(R). 5. Déterminer la matrice def dans la baseB0.
6. Soitn∈N. Calculer (matB(f))n.
Exercice XXXVIII.
SoientA=
5 −8 4
1 0 0
0 1 0
etfl’endomorphisme deR3de matriceAdans la base canoniqueBdeR3. On notev1= (1,1,1)etv2=(4,2,1).
1. Justifier quef(v1) =v1et quef(v2) = 2v2.
2. Déterminer le réelα0tel que le tripletv3= (α0,1,0)vérifief(v3) =v2+ 2v3. 3. Montrer que la familleB0 = (v1, v2, v3)est une base deR3.
4. Donner la matrice def dans la baseB0.
5. Montrer quef est bijectif et donner la matrice def−1dans la baseB0. 6. Soitn∈N. Calculer (matB(f))n.
Sujets récents
Exercice XXXIX.
(EDHEC 2020)On notetBla transposée d’une matriceBet on rappelle que la transposition est une application linéaire. On dit qu’une matriceM deMn(R)est antisymétrique lorsqu’elle vérifietM =−M et on noteAn(R)I’cnsemble des matrices antisy- métriques.
1. Montrer quegn(R)est un sous-espace vectoriel deMn(R)On considère une matriceAfixée deMn(R)et I’appli- cationf,qui à toute matriceM deAn(R)associe :
f(M) = tA
M +M A
2. a. SoitM une matrice deAn(R). Établir quef(M)est une matrice antisymétrique.
b. En déduire quef est un endomorphisme deAn(R)
Dans toute la suite, on étudie le casn= 3et on choisitA=
0 0 1
0 −1 0
0 0 0
3. On considère les trois matricesJ =
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
, K =
0 0 1
0 0 0
−1 0 0
etL=
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
a. Montrer que la familleB= (J, K, L)est une famille génératrice deA3(R) b. Montrer queBest une famille libre et en déduire la dimension deA3(R)
4. a. Calculerf(J), f(K)etf(L),puis les exprimer comme combinaisons linéaires deJ etLseulement. Les calculs devront figurer sur la copie.
b. En déduire une base deIm(f)ne contenant que des matrices deB c. Déterminer la dimension deKer(f)puis en donner une base.
5. a. Écrire la matriceFdef dans la baseB. On vérifiera que ses coefficients sont tous dans{−1; 0}
b. En déduire les valeurs propres def
c. On note Idl’endomorphisme identité de A3(R). Determiner le rang def +Idet dire si f est ou n’est pas diagonalisable.
Exercice XL.
(EDHEC 2019)On considère les matricesA=
0 1 1
−2 3 2
1 −1 0
etI=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
On notef l’endomorphisme deR3dontAest la matrice relativement à la base canoniqueB = (e1, e2, e3)deR3etId l’endomorphisme identité deR3dont la matrice estI.
1. a. Déterminer(A−I)2.
b. En déduire queAest inversible et écrireA−1comme combinaison linéaire deIetA.
2. On poseA=N+I.
a. Exprimer pour tout entier natureln, la matriceAncomme combinaison linéaire deIetN, puis l’écrire comme combinaison linéaire deIetA.
b. Vérifier que l’expression précédente est aussi valable pourn=−1. 3. a. Utiliser la première question pour déterminer la seule valeur propre deA.
b. En déduire siAest ou n’est pas diagonalisable.
4. On poseu1= (f−Id)(e1)etu2=e1+e3. a. Montrer que le rang def−Idest égal à1. b. Justifier que(u1, u2)est une base deKer(f−Id). 5. a. Montrer que la famille(u1, u2, e1)est une base deR3.
b. Déterminer la matriceTdef dans cette même base.
6. Soit la matriceP =
−1 1 1
−2 0 0
1 1 0
. Justifier l’inversibilité deP, puis écrire une relation entreA,T,PetP−1. 7. On note(Ei,j)16i,j63la base canonique deM3(R).
a. Montrer que l’ensembleEdes matricesM qui commutent avecT, c’est-à-dire des matrices vérifiant l’égalité M T =T M, est le sous-espace vectoriel deM3(R)engendré par la famille(E1,1+E3,3, E1,2, E1,3, E2,2, E2,3). Vérifier que la dimension deEest égale à5.
b. SoitNune matrice quelconque deM3(R). Établir l’équivalence N A=AN ⇐⇒ (P−1N P)T =T(P−1N P) c. En déduire que l’ensembleF des matrices qui commutent avecAest le sous-espace vectoriel deM3(R)en-
gendré par la famille (P(E1,1+E3,3)P−1, P E1,2P−1, P E1,3P−1, P E2,2P−1, P E2,3P−1).
Exercice XLI.
(EDHEC 2017)On note E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à2 et on rappelle que la famille (e0, e1, e2)est une base deE, les fonctionse0,e1e2étant définies par :
∀t∈R e0(t) = 1 e1(t) =t e2(t) =t2
On considère l’applicationϕqui, à toute fonctionPdeE, associe la fonction, notéeϕ(P), définie par :
∀x∈R (ϕ(P)) (x) = Z 1
0
P(x+t)dt
1. a. Montrer queϕest linéaire.
b. Déterminer (ϕ(e0)) (x), (ϕ(e1)) (x)et (ϕ(e2)) (x)en fonction de x, puis écrire ϕ(e0), ϕ(e1) et ϕ(e2) comme combinaison linéaire dee0,e1ete2.
c. Déduire des questions précédentes queϕest un endomorphisme deE.
2. a. Écrire la matriceAdeϕdans la base(e0, e1, e2). On vérifiera que la première ligne deAest :
1 1 2
1 3
b. Justifier queϕest un automorphisme deE.
c. L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?
3. Compléter les commandesScilabsuivantes pour que soit affichée la matriceAnpour une valeur denentrée par l’utilisateur :
n=input(’entrez une valeur pour n : ’) A=[...]
disp(...)
4. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, il existe un réeluntel que l’on ait An =
1 n
2 un
0 1 n
0 0 1
.
Donneru0et établir que : ∀n∈N un+1=un+1
6(3n+ 2).
b. En déduire, par sommation, l’expression deunpour tout entiern. c. ÉcrireAnsous forme de tableau matriciel.
Exercice XLII.
(HEC 2013) On noteE=R3[X].Soitf l’application définie surEqui associe à tout polynomeP ∈E, le polynômef(P)défini par : f(P)(X) =−3XP(X) +X2P0(X).
1. a. Rappeler la dimension de E.
b. Montrer quefest un endomorphisme deE.
c. Déterminer la matriceM defdans la base canonique deE.
d. La matriceM est-elle inversible ? CalculerM2,M3,M4, puis en déduireMnpourn>4.
e. Préciser le noyauKerf defainsi qu’une base deKerf. f. Déterminer l’imageImfdef.
2. On noteidEet0Erespectivement, l’endomorphisme identité et l’endomorphisme nul deE, et pour tout endomor- phismevdeE, on posev0=idEet pour toutkdeN∗,vk =v◦vk−1.
Soituetgdeux endomorphîsmes deEtels que u4= 0E,u36= 0Eetg=idE+u+u2+u3. a. Justifier qu’il existe un un polynômePdeEtel queP /∈Ker(u3).
On considère par la suite un tel polynômeP.
b. Montrer que la familleB= (P, u(P), u2(P), u3(P))est libre et en déduire queBest une base deE. c. Déterminer la matriceTdegdansB. Montrer quegest un automorphisme deE.
d. Calculerg◦(idE−u)et en déduire une expression deg−1.
e. CalculerT−1et retrouver le résultat de la question précédente (on donnera la matrice deuet deidEdansB).
f. Etablir l’égalitéKer(u) =Ker(g−idE).
(On pourra notamment s’intéresser au rang des matrices des applications concernées.)
Exercice XLIII.
(EDHEC 2005) On noteJ1= 1 00 0
!
, J2= 0 1 0 0
!
, J3= 0 0 1 0
!
,etJ4= 0 0 0 1
!
,et on rappelle que la famille(J1, J2, J3, J4) est une base deM2(R).
Soitf l’application qui, à toute matriceM = a c b d
!
deM2(R),associef(M) = M + (a+d)IoùIdésigne la
matrice 1 0 0 1
!
1. Montrer quef est un endomorphisme deM2(R).
2. a. Exprimerf(J1), f(J2), f(J3),etf(J4)comme combinaisons linéaires deJ1, J2, J3etJ4.
b. Vérifier que la matriceAdef dans la base(J1, J2, J3, J4)estA=
2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2
c. Justifier quef est diagonalisable.
3. a. Montrer que(J1−J4, J2, J3, I)est une base deM2(R) b. Écrire la matriceDdef dans cette base.
c. En déduire l’existence d’une matricePinversible telle queA=P D P−1 4. a. Déterminer la matriceP−1.
b. Montrer que, pour toutndeN,An=P DnP−1 c. En déduire explicitement la matriceAn.
