13décembre2010 Compositionn 4 Mathématiques

Lycée Jean-Baptiste Say PCSI

Mathématiques

Composition n ^o 4

13 décembre 2010

de 9h15 à 12h15

Géométrie dans l’espace, coniques, ensembles et applications

Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.

Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le préci- sera dans sa copie.

Ï L’épreuve comporte trois petits problèmes de géométrie et un exercice sur les ensembles et les applications.

Paris XVI^e 2010-2011

Composition de Mathématiques n^o4 PCSI 2010-2011

Problème n^o1

Etude d’une quadrique réglée

L’espace est muni d’un repère orthonormal directR=¡

O,#–_u,#–_v,w#–^¢, les différentes équations ci-dessous sont relatives à ce repère.

Pour tout réelm, on considère l’ensembleS_m d’équation cartésienne S_{m : x}²_+y²_+z²_−2·m·^p_2·z+m²₋₂₌₀ On appelleE l’ensemble des points de l’espace vérifiant l’équation

E _{: x}²_+y²_=z²₊₂

On note enfinP le plan d’équationy=0, c’est-à-dire le plan (xOz).

1. Démontrer que, pour tout réelm,S_m est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.

2. Montrer que l’intersection deP et deE est une coniqueG _{du plan}P dont on déterminera la nature et les asymptotes éventuelles.

3. Représenter, dans le planP, la coniqueG. On tracera la courbe avec le plus grand soin et on précisera les unités sur la figure.

4. Donner l’excentricité ainsi que les coordonnéesduoudesfoyer(s), dans le repèreR, de la coniqueG. Précisez un système d’équations cartésiennes dansRde laoudesdirectrice(s) deG_. 5. Pour tout réelt, on définit la droiteD_t ayant pour système d’équations cartésiennes

D_{t :}

(x−z·cos(t)=p

2·sin(t) y−z·sin(t)= −p

2·cos(t)

Pour tout réelt, déterminer un point et un vecteur directeur de la droiteD_t. On choisira un vecteur directeur dont la troisième coordonnée est égale à1.

6. Soittetmdeux réels quelconques. Prouver que la droiteD_t est tangente à la sphèreS_m. 7. Montrer que, pour tout réelt, la droiteD_t est incluse dansE_.

8. Réciproquement, on va montrer dans cette question que, siM est un point de l’ensembleE_, alors il existe un réelttel queMappartienne à la droiteD_t. Considérons un pointM(x,y,z) deE i.e.on ax²+y²=z²+2.

8.a. On considère le système linéaire d’inconnues (A,B)∈R²suivant (x=z·A+p

2·B y= −p

2·A+z·B

Prouver qu’il admet une unique solution que l’on exprimera en fonction dex,yetz.

8.b. On note (A,B) l’unique couple solution du système défini à la question précédente. Vérifier queA²+B²=1.

8.c. En déduire l’existencet∈Rtel queM∈D_t.

9. Quelle égalité peut-on déduire des deux questions précédentes ?

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Composition de Mathématiques n^o4 PCSI 2010-2011

Problème n^o2 Etude d’une courbe gauche

Dans l’espace muni d’un repère orthonormalR₌^³_O,#–_ı,#–_,#–

k´

, on considère les plansP

d’équationx+z=0 etQ_{d’équationx+y+z−3=}0. Pour tout réelt, on définit le pointN(t) de coordonnées (a(t),b(t),c(t)) avec























a(t) = cos(t) p2

b(t) =sin(t)

c(t) = −cos(t) p2 1. Localisation de la courbe

1.a. Montrer que, pour tout réelt,N(t) appartient au planP_.

1.b. Simplifiera(t)²+b(t)²+c(t)². En déduire que tous les pointsN(t) sont situés sur un cercle fixe, notéC, dont on précisera le centre et le rayon.

2. Déterminer une équation paramétrique de la droiteD, intersection du planP_{et du plan}Q_. 3. Un pointN(t) peut-il appartenir à cette droiteD _?

4. Calculer la distance du pointN(t) à la droiteD, puis la distance du pointN(t) au planQ_. Vérifier que leur rapport est constant.

5. Etude d’un triangle

5.a. Prouver, pour tout réelt,

e^{i t}+e^i(t+2π/3)+e^i(t−2π/3)=0

5.b. En déduire l’isobarycentre des trois pointsN(t),N(t+2π/3) etN(t−2π/3).

5.c. Que peut-on alors affirmer concernant la nature du triangle de sommetsN(t),N(t+2π/3) et N(t−2π/3) ?

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Composition de Mathématiques n^o4 PCSI 2010-2011

Problème n^o3 Etude d’un lieu

Le plan est muni d’un repère orthonormé directR₌^¡_O,#–_u,#–_v^¢. On considèreΓl’ensemble d’équation cartésienne

Γ:y²=4·x

On rappelle que la normale en pointMà une courbeC est par définition la perpendiculaire passant parM à la tangente àC _{au pointM.}

1. Reconnaître la courbeΓ. Représenteravec soinΓdansR. On précisera ses éléments caractéristiques.

2. Une propriété géométrique deΓ

2.a. Donner une équation de la tangenteT_{M0 àΓau pointM0}^³y

2 0

4,y0

´ .

2.b. On suppose dans cette question quey₀6=0. Prouver queT_M0 intersecte l’axe des ordonnées en un point notéI_M0. Préciser les coordonnées de ce point et vérifier queI_M0 est le projeté orthogonal du foyerF deΓsurT_M

0.

2.c. En déduire un moyen de construire simplement des points deΓavec, en plus, leur tangente.

3. Etude d’un lieu

3.a. Donner une équation de la normaleN_M

0 au pointM₀³_y2 0

4,y₀´ deΓ. 3.b. SoitP_M0le projeté orthogonal du foyerF deΓsurN_M

0. Déterminer les coordonnées deP_M0 en fonction dey₀.

REMARQUE–On trouve des coordonnées de la forme¡

a·y²₀+b·y0+c,a^′·y0+b^′). 3.c. On noteΓ^′le lieu des pointsP_M0 lorsqueM₀parcourtΓ. Déterminer une équation cartésienne simple deΓ^′.

3.d. Reconnaître la nature deΓ^′et la tracer avec soin.

Exercice — Images directes et réciproques

Soitf :E→F,A⊂EetB⊂F. Montrer que f ¡

A∩f⁻¹(B)¢

=f(A)∩B

THE END

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