Chapitre 3 : Applications lin´eaires
Dans tout ce qui suit Ei d´esigne un sev de Rmi de dimensionni.
1 Quelques d´ efinitions
On dit qu’une application f : E1 −→E2 est une application lin´eairesi et seulement si i) Pour tousx, y dansE1,f(x+y) =f(x) +f(y).
ii) Pour tout x dansE1 et toutλdans R,f(λx) =λf(x).
D´efinition 1.1
Remarque.Toute application lin´eaire satisfait f(0) = 0.
Image, noyau, rang
Soitf une application lin´eaire deE1 dansE2.
On appelle noyaude f l’ensemble
Kerf ={x∈E1;f(x) = 0}.
On appelle imagede f l’ensemble
Imf ={y∈E2;∃x∈E1, y =f(x)}=f(E1).
D´efinition 1.2
– Le noyau de f est un sev deE1. – L’image de f est un sev de E2.
Proposition 1.1
Rappels sur l’injectivite et la surjectivite d’une application
– L’application f est injective si et seulement si Kerf ={0}.
– L’application f est surjective si et seulement si Imf =E2. Th´eor`eme 1.1
Remarque. Pour d´emontrer qu’une application lin´eaire est injective, on utilisera TOUJOURS la ca- ract´erisation par le noyau et non pas la d´efinition g´en´erale de l’injectivit´e.
On d´efinit lerangde l’application f par
rgf = dim Imf.
D´efinition 1.3
1
– rgf ≤min(dimE1,dimE2).
– L’application f est surjective si et seulement si rgf = dimE2. – L’application f est injective si et seulement si rgf = dimE1.
Proposition 1.2
2 Matrice d’une application lin´ eaire dans des bases
Soit B1 une base deE1 etB2 une base deE2. Pour toute application lin´eaire deE1 dansE2, il existe une unique matrice A(B1,B2) de taillem×ntelle que
(f(x))B1 =A(x)B1. La matriceA est la matrice de f dans les bases B1 etB2.
Th´eor`eme 2.2 (Lien entre matrice et applications lin´eaires.)
Soient B1 une base deE1 etB2 une base deE2,f une application lin´eaire deE1 dansE2 etA sa matrice dans ces bases. Alors
i) L’application f est injective si et seulement si les colonnes de A sont lin´eairement ind´ependantes si et seulement siA a une position de pivot par colonne.
ii) L’applicationf est surjective si et seulement si les colonnes deAengendrentRm si et seulement siA a une position de pivot par ligne.
Th´eor`eme 2.3
Soit f une application lin´eaire deE1 dansE2, alors
dim Kerf+ rgf = dimE1. Th´eor`eme 2.4 (du rang)
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