Première S Devoir maison n ° 1 : exemple de corrigé. Page n ° 1 2007 2008
E1
Soit g la fonction définie par g ( x ) = 4 x2
− 3x + 6.
A ) Traçons la courbe représentative de g.
B ) g ( 0 ) = 6. L'image de 0 est 6.
Vérifier graphiquement cette réponse cela signifie rechercher la valeur de y lorsque la courbe de g coupe l'axe des ordonnées. Le point correspondant sur le graphique a pour coordonnées ( 0 ; 6 ).
C ) Trouver graphiquement l'image de 1,5 cela signifie rechercher l'ordonnée du point de la courbe de g qui a pour abscisse 1,5. Le point correspondant sur le graphique a pour coordonnées ( 1,5 ; 2,1 ).
Vérifions avec le calcul : g ( 1,5 ) = 2,25/4 − 4,5 + 6 = 0,5625 + 1,5 = 2,0625.
D ) Je recherche x tel que g ( x ) = 6 ⇔ 4 x2
− 3x + 6 = 6 ⇔ 4 x2
− 3x = 0 ⇔ x² − 12x = 0
⇔ x ( x − 12 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 12. Les antécédents de 6 sont 0 et 12.
Vérifier graphiquement cela signifie rechercher les valeurs de x lorsque la courbe de g coupe la droite d'équation y = 6. Voir cette droite sur le graphique.
Les valeurs de x sont effectivement 0 et 12.
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E ) Trouver graphiquement les antécédents de 0 cela signifie rechercher les valeurs de x lorsque la courbe de g coupe l'axe des abscisses. Les valeurs cherchées sont 2,5 et 9,5.
Les antécédents de 0 sont 2,5 et 9,5.
Vérification à l'aide du trinôme : je cherche x tel que 4 x2
− 3x + 6 = 0.
∆ = b² − 4ac = 3² − 4 × ( 1/4 ) ( 6 ) = 9 − 6 = 3.
∆ > 0 il y a donc deux racines x1 =
a 2 b− ∆
− = 5 , 0
3
3− = 6 − 2 3 ≈ 2,5
et x2 = a 2 b+ ∆
− = 5 , 0
3
3+ = 6 + 2 3 ≈ 9,5
F ) Résoudre graphiquement g ( x ) > 1 cela signifie que je recherche les abscisses des points de la courbe de g qui se situent strictement au dessus de la droite d'équation y = 1. Voir pointillés verts.
L'ensemble des solutions est ] - ∞ ; 2 [ U ] 10 ; + ∞ [.
g ( x ) > 1 ⇔ 4 x2
− 3x + 6 > 1 ⇔ x² − 12x + 24 > 4 ⇔ x² − 12x + 20 > 0.
∆ = b² − 4ac = 12² − 4 × ( 1 ) ( 20 ) = 144 − 80 = 64
∆ > 0 il y a donc deux racines x1 =
a 2 b− ∆
− = 2
12− 64= 6 − 4 = 2
et x2 = a 2 b+ ∆
− =
2
12+ 64 = 6 + 4 = 10
Or un trinôme est toujours du signe de a sauf entre les racines. Ici a = 1.
Donc l'ensemble des solutions est ] - ∞ ; 2 [ U ] 10 ; + ∞ [.
G ) Résoudre graphiquement g ( x ) < - 3 cela signifie que je recherche les valeurs de x lorsque la courbe de g se situe strictement en dessous de la droite d'équation y = -3.
La courbe coupe cette droite au point de coordonnées ( 6 ; - 3 ). Il n'y a donc pas de solution.
g ( x ) < -3 ⇔ 4 x2
− 3x + 6 < - 3 ⇔ x² − 12x + 24 < - 12 ⇔ x² − 12x + 36 < 0.
∆ = b² − 4ac = 12² − 4 × ( 1 ) ( 36 ) = 144 − 144 = 0
∆ = 0 il y a donc une racine double.
x0 = a 2
−b = 2 12= 6
Or un trinôme est toujours du signe de a sauf entre les racines. Ici a = 1.
Il n'y a donc pas de solution.
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E2 p 42 n ° 85 Puissance d'un moteur.
Je recherche I l'intensité du courant telle que RI² − EI + P = 0 où R est la résistance du circuit et ici R = 10 ohms.
E est la tension électrique et ici E = 220 Volts. P est la puissance du moteur est ici P = 100 watts.
Autrement dit l'équation devient 10I² − 220I + 100 = 0 ⇔ I² − 22I + 10 = 0.
∆ = b² − 4ac = 22² − 4 × ( 1 ) ( 10 ) = 484 − 40 = 444
∆ > 0 il y a donc deux racines x1 =
a 2 b− ∆
− =
2
22− 444 = 11 − 111 ≈ 0,4643
et x2 = a 2 b+ ∆
− =
2
22+ 444 = 11+ 111 ≈ 21,5356.
Or l'intensité du courant doit vérifier la relation : E = RI ⇔ 220 = 10 × I ⇔ I = 22.
Donc l'intensité du courant qui fournit une puissance de 100 W est d'environ 22 ampères.
