l'épreuve 1 pb 2

(1)

Capes 2015, épreuve 1, problème 2

Sujet portant sur la notion de moyenne de Césaro.

Partie A

Je passe sur la question I.

II. 1. Pour chaque entier k tel que 1≤k≤n, et pour tout réel x tel que k≤x<k+1, la partie entière de x est :

[ ]

^x ⁼^k

∑

⁼

=

=^k ⁿ

k

n k

a

1

1 représente l’intégrale de la fonction

[ ]

^x

xa 1 (inverse de la fonction partie entière) sur l’intervalle

[

¹^,ⁿ⁺¹

]

^.

II. 2.1.

2 1 2

1

1 ²

1 2

1

2 − =

∑

≥

∑

=

+

= +

=

n

n k n

n a k n

a car pour chaque entier k tel que n+1≤k≤2n, n

k 2

1 1≥ .

2.2. Solution 1 : Pour tout entier p≥1:











≥

−

≥

−

≥

−

− 2

1 ....

2 1 2 1

1 2015

2 2

2 4

1 2

p p

gjulia

a a

. Par somme téléscopique :

1 2

2

a p a p − ≥ .

La suite

( )

an n_∈N*est une suite strictement croissante (c’est clair) et non majorée, elle diverge.

Solution 2 : raisonnement « par l’absurde ». Supposons cette suite convergente et soit l sa limite hypothétique.

Alors : a _n l

n =

∞

→ 2

lim puisque

( )

a2n n_∈N* est une suite extraite de la suite convergente

( )

an n_∈N*.

D’une part

( )

2 lim ₂ − ≥ 1

∞

→ n n

n a a d’après le résultat 2.1 et d’autre part ^lim

(

2 −

)

= − =⁰

∞

→ a _n a_n l l

n comme limite

d’une somme de deux suites convergentes. L’hypothèse de convergence conduit à deux conclusions contradictoires, elle n’est pas recevable.

(Personnellement, je préfère la solution 1)

3. On peut obtenir légèrement mieux que ce qui est demandé, compte tenu de l’interprétation graphique qui a été faite. Mais au final, les inégalités demandées par l’énoncé suffisent à l’emploi qu’on en fait :

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Pour tout réel x, ^x⁻¹^<

[ ]

^x ^≤^x Donc, pour tout réel x strictement supérieur à 1 :

[ ]

^x ^x

x

1 1 1 1 > ≥

− . En

conséquence : ^a ⁼

∫

ⁿ⁺¹ ¹ ^dx^≥

∫

ⁿ⁺¹¹^dx⁼^ln

(

ⁿ⁺¹

)

et d’autre part :

(2)

[ ]

^x ^dx ^x ^dx ⁿ

a a

a_n _n ⁿ ⁿ ln

1 1

1 1 ¹

2 1

1 2 =

< −

=

−

=

−

∫

⁺

∫

⁺ ^.

En résumé : ^ln

(

ⁿ⁺¹

)

^≤^an ^<^lnⁿ⁺¹pour tout entier n≥1. A fortiori : lnn<a_n <lnn+1, ce qui est l’inégalité demandée.

En supposant n≥2pour pouvoir diviser par ln : n

n n

a_n

ln 1 1

1<ln < + . La suite

n n aⁿ

ln

a définie pour n≥2est minorée par 1 et majorée par une suite convergeant vers 1 : elle converge elle-même vers 1. 1

lim ln =



 





+∞

→ n

a_n

n et a_n lnn

∞ +≈

4. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : 0<bn<1. La suite

( )

bn n_∈N* est bornée.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : ^ln ^ln

(

¹

)

1 1

1 + − +

= +

+ − n n

b n

b_n _n . Or, la fonction

x 1x a étant strictement décroissante sur tout intervalle

[

ⁿ^,ⁿ⁺¹

]

^:

( )

1 1 ln 1

1

ln ¹ ¹

= +

≥ +

=

−

+

∫

⁺

∫

⁺

n n

x x

n x

n ⁿ

n n

n

d

d .

Ainsi, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, b_n₊₁−b_n ≤0. La suite

( )

bn n_∈N* est décroissante.

Cette suite étant décroissante et minorée, elle converge.

Partie B

I.1. Si

( )

un n∈N*est de limite nulle :

(

∀ε >0

)(

∃n₀∈N*

)

:n≥n₀⇒ u_n ≤ε

Pour n≥n₀ : 









= 











− 

∑ ∑

+

=

n

n k

k n

k k

n u

u n v n

1

1 ₀

0 1

1 donc :

∑ ∑ ∑ ∑

+

= +

=

=  = ≤ ≤









−  ⁿ

n k n

n k

k n

n k

k n

k k

n u n

u n u n

v n

1 1

1

1 ₀ ₀ ₀

0 1 1 1

1 ε

On obtient :  ≤

(

−

)

_ε _≤_ε









− 

∑

= n

n u n

v n

n

k k n

0 1

1 0

ou, ce qui revient au même : ε +ε









≤ 

≤

−













∑ ∑

=

0 0

1 1

1

1 ⁿ

k k n

n

k

k u

v n

n u .

Le réel strictement positif ε étant fixé, soit n le premier entier supérieur ou égal au réel ₁ ε

∑

= 0

1

1 ⁿ

k

uk

n .

Lorsque n≥n₁,

2015 0

0

1 1 1

1 1

gjulia

n n u n u

n

k n k

k

k ≤ ≤ε









∑

⁼

=

ou, ce qui revient au même : ε ≤ε









≤ 

−

∑

= 0

1

1 ⁿ

k

uk

n Si on note : n2 =sup

(

n0,n1

)

alors : n≥n₂⇒−2ε ≤vn≤2ε .

Quel que soit ε strictement positif, on peut trouver un entier n2 tel que : n≥n2⇒ vn ≤²ε , la suite

( )

vn n∈N*

est une suite de limite nulle.

Si

( )

un n∈N*est de limite nulle, alors sa moyenne de Césaro est aussi de limite nulle. La réciproque est fausse, comme le montrerait facilement le cas de la suite un =

( )

−1ⁿ, divergente mais dont la moyenne de Césaro converge vers zéro car :







=

= −

+ 0

2 1

1 2 2

p p

v v p

suivant la parité de l’indice. Mais on verra ça plus tard.

(3)

2. On considère la suite auxiliaire

( )

en n∈N*telle que : e_n =u_n −l.

( )

^l ^v ^l

u n l n

n u

n e ⁿ

n

k n

k k n

k

k =

∑

− =

∑

−

∑

= −

∑

=1 =1 =1 =1

1 1

1

1 .

La suite

( )

un n∈N*est une suite de limite l si et seulement si

( )

en n∈N* est de limite nulle.

( )

en n∈N* de limite nulle implique

∑

= n

k

ek

n 1

1 de limite nulle.

∑

= n

k

ek

n 1

1 de limite nulle équivaut au fait que

( )

vn n∈N* est une suite de limite l.

Au final, si

( )

un n∈N*est de une suite de limite l alors sa moyenne de Césaro est elle aussi de limite l.

II.1 et 2.

Méthode 1

•

( )

xn n∈N* est une suite de termes strictement positifs, par récurrence facile : x₁=1 et pour tout entier n : xn >0⇒xn₊₁>0car x_n₊₁ se construit à partir de xn par un cocktail d’opérations laissant stable R*+ (additions, multiplication et division).

•

( )

xn n∈N* est une suite strictement décroissante car pour tout entier n de N* : ⁺¹ <1

n n

x

x ce qui est un critère de stricte décroissante pour les suites de réels strictement positifs. En effet, pour tout entier n

2 1 1

1 1 <

+

= +

+

n n n

n

x x x

x vu que 1+x_n<1+2x_n.

Méthode 2

Une étude sommaire de la fonction

( ) ( )

x x x x

f

x 1 2

1 +

= +

a sur

l’intervalle

[ ]

⁰^,¹ fait apparaître que cette fonction est strictement croissante sur cet intervalle, qu’elle laisse stable :

[ ]

( ) [ ]

⁰^,¹

3 , 2 0 1 ,

0 ⊂



= f

La suite proposée étant définie par la relation de récurrence

( )

n

n f x

x ₊1= et initialisée par x₁=1 , on en tire les conclusions suivantes :

• Tous les termes de la suite

( )

xn n∈N* sont dans l’intervalle

[ ]

⁰^,¹, stable par f.

• Puisque f est strictement croissante, la suite est strictement monotone, et vu que ₂ ₁ 3

2 x

x = < cette suite est strictement décroissante (deux termes consécutifs quelconques sont rangés dans le même ordre que les deux premiers).

3. Quelle que soit la méthode utilisée ci-dessus :

Cette suite converge puisqu’elle est décroissante minorée vers une limite l telle que 0≤l<1.

Puisque f est continue sur l’intervalle

[ ]

⁰^;¹ , elle est continue en l. La suite

( )

xn n∈N*ne peut converger que vers un point fixe de f, solution de l’équation ^f

( )

^x ⁼^x dans l’intervalle

[ ]

⁰^;¹ . Elle converge donc vers zéro.

4. Un calcul facile montre que pour tout réel x de

] ]

⁰^,¹^: ^f¹

( )

^x ⁻ ¹^x ⁼ ^x¹⁺¹^{. Lorsque}^x⁼^xⁿ, cela donne : 1

1 1 1

1 − = − =

=

(4)

Puisque

( )

xn n∈N* est une suite de limite nulle et que la fonction

1 1

+

xa x est continue en zéro, la suite

*

∈N









= +

n n

n x

u 1

1 a pour limite la valeur de continuité en ce point c'est-à-dire 1.

n x n x x n x x u n

v n

n n

n

k k k

n

k k n

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1

1 1

1

−

=







 −

=







 −

=

+

= + +

=

∑

^.

Puisque cette suite est la moyenne de Césaro de

( )

un n∈N* elle a aussi pour limite 1. Il existe une suite e de limite nulle telle que : v_n =1+e_n pour tout entier n.

2015 1 1

1

1 1 1 1

1 1

1

gjulia n n

n n

e n n

e n n v

x n

















+ + +

+ =

= +

− −

−

ce qui fait apparaître que x_n n

≈ +

∞1 1 .

On peut écrire aussi, plus tarabiscoté,

2015

1 1

1 1 1

1 1

gjulia n

n

e n n

x n





























+ + +

×

=

−

pour conclure x_n 1n

≈∞ .

La suite

( )

xn n∈N* converge vers zéro à la vitesse de n

1, il s’agit d’un exemple de convergence lente dans le sens « plus lentement qu’une convergence géométrique ».

III.1. La suite

(

xn+₁−xn

)

n∈N* est la différence de deux suites convergentes de même limite l. Elle est convergente et converge vers zéro, la différence des limites.

2.1. Si la suite

(

xn+₁−xn

)

_n∈N* converge vers l non nul :

(

∀ε >0

) (

∃n₀∈N*

)

:n≥n₀⇒l−ε≤x_{n 1}₊ −x_n ≤l+ε

Soit donc ε un réel strictement positif fixé et n0 un entier tel que ci-dessus.

Pour n>n₀ :

∑

⁼ ⁻

( )

= + −

=

− ¹ 1

0 0

n k

k k n

n x x x

x et donc :

(

n−n₀

)(

l−ε

)

≤x_n −x_n ≤

(

n−n₀

)(

l+ε

)

0 et par suite :

(

^ε

)

^

(

⁺^ε

)



 



 − +

≤

−



 



 −

+ l

n n n

x n l x

n n n

x_n ₀ _n _n ₀

1

1 ⁰

0 . On a obtenu un encadrement de

n x_n

par les termes correspondants de deux suites, l’une qui converge vers l−ε , l’autre vers l+ε. On peut trouver un entier n1

supérieur à n0 tel que, en même temps :

( )











≤ +

−

≤

−

ε ε

ε ε n l n n x

n l n n x

n n

gjulia

0 0

0

2015 0

. Alors : ≥ 1⇒ −²ε≤ ≤l+²ε n

l x n

n ⁿ

Ce qui montre que la suite

*

∈N



 





n n

n

x est convergente et converge vers l.

(5)

2.2. Si l est non nul : ⁿ≥ⁿ1⇒

(

^l−²ε

)

ⁿ≤^xn≤

(

^l+²ε

)

ⁿ avec les notations ci-dessus. Il suffit de choisir par exemple

3

= l

ε pour obtenir un encadrement par deux termes de suites divergentes, toutes les deux vers −∞ ou toutes les deux vers +∞ selon que l est négatif ou positif. La suite

( )

xn n∈N* diverge.

2.3. La suite

( )

an n∈N* de la partie A est un contre-exemple : elle diverge alors que

(

an+₁−an

)

n∈N*converge vers zéro.

Partie C

L’invalidité de la réciproque a été évoquée …

II.1. Dans ce cas, on obtient un =

( )

−1ⁿ déjà vu.

II.2. ^sin

(

ⁿ⁺²

)

^a⁻^sin^na⁼²^sin^a^×^cos

(

ⁿ⁺¹

)

^a^et^sin

(

ⁿ⁺²

)

^a⁺^sin^na⁼²^cos^a^×^sin

(

ⁿ⁺¹

)

^a

a c u

u_n₊₂ − _n =2 _n₊₁sin et u_n₊₂ +u_n =2u_n₊₁cosa 3. Dans cette question, sina≠0et cosa ≠1.

Si la suite

( )

un n∈N* converge, alors la suite définie par

(

1 1

)

sin 2

1

− + −

= n n

n u u

c a est convergente comme

combinaison linéaire de suites convergentes et converge vers la même combinaison des limites c'est-à-dire vers zéro.

Si la suite

( )

un n∈N* converge, alors elle converge vers une solution de l’équation : l+l=2lcosac'est-à-dire vers zéro.

Mais il n’est pas possible que les deux suites

( )

un n∈N* et

( )

cn n∈N*convergent toutes les deux vers zéro car

2 1

2+ n =

n c

u pour tout entier n : la somme des carrés des limites devrait être égale à 1. L’hypothèse de convergence de la suite

( )

un n∈N*conduit à une contradiction. Cette suite est nécessairement divergente.

( )

( ) ( )

_







= 

=

∑ ∑

=

n

k n

k

n ika

ka n n i

v

1 1

exp 1Im

exp 1 Im

. Or : 1^exp

( )

^exp

( ) ( )

^exp^exp

( )

−¹¹

= −

∑

= ia

ka a i

i ka

i

n

k

La partie imaginaire de ce nombre, dont le calcul est facultatif, est majorée en valeur absolue par le module du même nombre, plus facile à calculer, égal à

a a n cos 1

cos 1

−

− ,

qui est lui-même majoré par

a cos 1

2

− .

Ainsi :

a v_n n

cos 1

2 1

≤ − pour tout entier n.

La suite

( )

vn n∈N* converge vers zéro.

(6)

III.1. La suite

( )

un n∈N* étant supposée croissante, pour tout entier n : k≥n+1⇒uk ≥un₊₁ . En

conséquence : ₁

2

1 1 2

1

+ +

= +

+

=

≥

∑

n

n k

n n

n k

k u nu

u

2.

∑

=

= ⁿ

k k

n u

v n

2

1

2 2

1 donc

∑ ∑ ∑ ∑

+

= +

=

+

= +

=

= ⁿ

n k

k n

n

n k

k n

k k n

k k

n u

v n n u

n u n u

v

2

1 2

1 1

2

1 2

1 1

1

2 1 .

Compte tenu de la question 1 : ₁

2

1 2

2 1 ₊

+

=

≥

=

−

∑

n

n k

k n

n u u

v n v

3. La suite

( )

vn n∈N*étant supposée convergente est bornée. Il en est de même de la suite

( )

v₂n n∈N*qui est extraite de la précédente. La suite

(

2v₂n −vn

)

_n∈N*est une suite bornée, en particulier majorée.

La suite

( )

un n∈N* est donc elle-même majorée. Etant croissante et majorée, elle converge. Si v est la limite de

( )

vn n∈N*et u celle de

( )

un n∈N*, en passant à la limite dans 2v₂n −vn ≥un₊₁, on obtient v≥u. Mais d’autre part, pour tout entier n, _n

n

k n n

k k

n u u

u n

v =n

∑

≤

∑

=

=1 1

1

1 , la moyenne de Césaro d’une suite croissante est plus petite que la suite elle-même. En passant à la limite v≤uet finalement v=u

Si

( )

un n∈N* était supposée décroissante, on aurait la même conclusion (la suite

(

−un

)

_n∈N*est alors croissante).

4. On peut énoncer : soit

( )

un n∈N* une suite monotone. Elle converge si et seulement si sa moyenne de Césaro converge et ces deux suites ont alors la même limite.