  ∂U ∂t   grad U  ⋅ U  = F− grad pdiv  , div U =0

Equations de Navier Stockes pour un fluide incompressible en coordonnées cylindriques:

Formalisme général:

Eqs. De la dynamique et de la conservation de la masse:

  ^{∂U ∂t   grad U  ⋅ U}  ^{= F− grad pdiv  , div U =0}

Expression du tenseur des contraintes en fonction du tenseur de déformation:

 = d , d= 0.5  ^{grad U   grad U }



Conditions aux limites entre deux milieux (1) et (2):

Cinématique: U

=U

, Dynamique: [  −p 1  ⋅ n ]

2

=0.

Opérateurs en coordonnées cylindriques:

Gradient d'un scalaire: grad p= ∂ p

∂ r e

+ 1 r

∂ p

∂θ e

+ ∂ p

∂ z e

Divergence d'un vecteur: div U = 1

r

∂ r u

∂ r  1 r

∂ u

∂   ∂ u

∂ z Rotationel d'un vecteur: rot U =  ¹ r

∂u

∂  − ∂u

∂ z  ^e

^  ^{∂ ∂ u} z

− ∂u

∂ r  ^e

^  ¹ r

∂r u

∂ r − 1 r

∂u

∂   ^e

Gradient d'un vecteur: grad U =  ^{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u u u r r r}

^{1 r 1 r   ∂u ∂u 1 r ∂  ∂  ∂ ∂ }

^{u −u u}

^{  ∂ ∂u ∂ ∂ ∂ ∂ u u z z z}



Divergence d'un tenseur: div d=

 ^∂ ∂ ^d r

 1 r

∂ d

∂  ∂d

∂ z  d

− d

r  ^e

  ^{∂ ∂r d}

^{ 1 r ∂ ∂ d}

^{ ∂ ∂ d z}

^{2 d r}

 ^e

  ^{∂ ∂ d r}

^{ 1 r ∂ ∂ d}

^{ ∂ ∂ d z}

^{ d r}

 ^e

Définition du Laplacien (d'un scalaire ou d'un vecteur b): Δ b=%div ( grad b)

Laplacien d'un scalaire ; Δ b= 1 r

∂

∂r r ∂ b

∂r + 1 r

∂

b

∂ θ

+ ∂

b

∂ z