Chapitre II : Fonctions : continuité, limite.partie 1/2
Objectifs :
1. Limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini.
2. Limite infinie d'une fonction en un point.
3. →Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient de deux fonctions. [Composée étudiée sans théorie générale].
3. → Savoir déterminer des limites par majoration, minoration ou encadrement.
4. →Savoir interpréter graphiquement des limites.
5. Continuité sur un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires :
→Savoir exploiter le TDVI dans le cas de f° strictement monotone, pour résoudre un pb donné.
Activité d'approche n°1 Sur la figure ci-contre, A est fixe, de
coordonnées (1;2). H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées. I est le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses. M est un point mobile sur l'axe des abscisses,
d'abscisse x strictement supérieure à 1. P est le point d'intersection de la droite (AM) avec l'axe
des ordonnées. On note f(x) l'aire du triangle
HAP.
1. En utilisant un logiciel de géométrie, indiquer approximativement l'évolution de l'aire du triangle HAP en fonction de x.
2. Conjecturer les valeur de lim
x→+1
f (x) et lim
x→+∞ f (x). lim
x→+1
f(x)=....et lim
x→+∞ f (x)=....
3. Calculer l'aire du triangle HAP en fonction de x.
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4. Retrouver les conjectures de la question 2 en étudiant les variations de f.
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Cours n°1
Chapitre n°II : Fonction : continuité et limite.
Partie 1/2
I) Limites de fonctions
Définition n°1 : limite finie en l'infini
Dire que lim
x→+∞ f (x)=l signifie que quelque soit
l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x0 …...
…...
…...
Remarque :
Un énoncé similaire permet d'interpréter lim
x→−∞ f (x)=l
Définition n°2 : limite finie en a
Dire que lim
x→a f(x)=l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on
se fixe, il existe toujours une valeur x0 …...
…...
Définition n°3 : limite infinie en l'infini
Dire que lim
x→+∞ f (x)=+∞ signifie que quelque soit l'intervalle ]A;+∞[ (A nombre réel positif) que l'on
se fixe, il existe toujours une valeur x0
...
...
…...
Remarque :
Un énoncé similaire existe pour lim
x→... f (x)=...
lim
x→... f (x)=...et lim
x→... f (x)=...
Définition n°4 : limite infinie en a
Dire que lim
x→a f(x)=+∞ signifie que quelque soit l'intervalle ]A;+∞[ (A nombre réel positif) que l'on se
fixe, il existe toujours une valeur x0 suffisamment
proche de a pour laquelle
...
…...
…...
Remarque :
Lorsque x tend vers le réel a par valeur inférieure, o note : …...
et on parle de l... …...
Lorsque x tend vers le réel a par valeur supérieure, o note : …...
et on parle de l... …...
Exemple n°1 :
Déterminer lim
x→+∞
1 x :
Intuitivement, on peut conjecturer que lim
x→+∞
1 x=....
Soit a un nombre réel positif quelconque et l'intervalle ]–a;+a[. Alors, si x>..., on a 1
x ….... Ce qui confirme que lim
x→+∞
1
x=.... puisque l'on peut prendre a aussi
petit que l'on veut.
Exercice n°1 Ex.1 p.54
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Exercice n°2 Ex.34 p.56
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Exercice n°3 Ex.8 p.54
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Cours n°2
II) Asymptotes
Définition n°5 : asymptote horizontale
Soit f une fonction. Si lim
x→+∞ f(x)=l , c'est que la
courbe représentative de f s'approche
progressivement, à l'infini, d'une droite horizontale d'équation …... Cette droite s'appelle alors
…...
Définition n°6 : asymptote verticale
Soit f une fonction. Si lim
x→a f(x)=+∞, c'est que la courbe représentative de f s'approche progressivement en a d'une droite verticale d'équation …...
Cette droite s'appelle alors …...
Exemple n°2 :
Soit f la fonction inverse. Donner les équations des asymptotes.
…...
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Exercice n°4 Ex.6 p.54
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Exercice n°5 Ex.36 p.56
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Exercice n°6*
Ex.63 p.58
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Exercice n°7**
Ex.7 et 8 p.54
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Cours n°3
III) Limite des fonctions usuelles Propriété n°1
a. lim
x→−∞ x2=...et lim
x→+∞ x2=... b. lim
x→−∞x3=...et lim
x→+∞ x3=...
c. Si n est pair : lim
x→−∞xn=... et lim
x→+∞ xn=... d. Si n est impair : lim
x→−∞ xn=...et lim
x→−∞xn=...
e. lim
x→−∞
1
x=... et lim
x→+∞
1
x=..., lim
x→0 x<0
1
x=... et lim
x→0 x>0
1 x=... f. lim
x→+∞√x=...
Propriété n°2
Si a est un nombre réel :
lim
x→a
1
x=...pour a ≠ 0 lim
x→aP(x)=... si P est un polynôme.
lim
x→a√x=...pour a0.
IV) Opérations sur les limites Propriété n°3 : Somme
Propriété n°4 : Produit
Propriété n°5 : Quotient n→+∞limlim f (x)
n→+∞ g(x)
Exemple n°3 :
Déterminer lim
x→+∞
(
1+1x)
x2 :...
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Exemple n°4 :
Déterminer lim
x→+∞
1 x2+1 :
...
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Exemple n°5 :
Déterminer lim
x→−2 x+1 x+2 :
...
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Exemple n°6 :
Déterminer lim
x→−∞
x3−1 x2+1
...
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Exemple n°7 :
Déterminer lim
x→+∞
x+1 2x+1 :
...
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Exemple n°8 :
Déterminer lim
x→−∞
5x2+3x+1
−2x+1 :
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Exercice n°8 Ex.10 p.54
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Exercice n°9 Ex.15 p.54
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Exercice n°10*
Ex.21 p.55
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Exercice n°11*
Ex.22 p.55
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Exercice n°12 Ex.47 p.56
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Cours n°4
V) Fonctions composées Définition n°7
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit J l'ensemble de toutes les valeurs f(x) où x appartient à I, et soit g une fonction définie au moins sur J.
On appelle fonction composée g suivie de f la fonction h définie par :
…...
On note cette composée : h = …...
Exemple n°9 :
Soit hla fonction définie par h(x)=
(
x+2x3)
3 . Écrire h comme composée de deux fonctions :...
...
...
Propriété n°6 : limite de fonctions composées
Si lim
x→a
f(x)=bet si lim
x→b
g(x)=c alors lim
x→a
...=...
Remarque :
Cette propriété est aussi valide en +∞ et –∞.
Exemple n°10 :
Déterminer la limite en - ∞ de la fonction h de l'exemple précédent.
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Exercice n°13 Ex.24 p.55
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Exercice n°14*
Ex.78 p.59
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Cours n°5
VI) Calcul de limites par comparaison
Propriété n°7 (Théorème des gendarmes)
Soient a et L deux réels, et soient f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait :
- Au voisinage de a : f(x)g(x)h(x) - lim
x→a
f(x)=lim
x→a
h(x)=L
Alors …...
…...
Remarque :
Cette propriété est aussi valide en +∞ et –∞.
Exemple n°11 :
Déterminer lim
x→+∞
cos(x) x :
...
...
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Propriété n°8 (Théorème de comparaison)
Soient a et L deux réels, et soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait, au voisinage de a : f(x)g(x) Alors :
Si lim
x→a
f(x)=+∞ alors …...
Si lim
x→a
g(x)=−∞ alors …...
Exemple n°12 :
Soit f la fonction définie par : f(x)=x+1+cos(x). Déterminer lim
x→+∞ f (x) :
...
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Exercice n°15 Ex.28 p.55
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Exercice n°16 Ex.89 p.60
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Exercice n°17*
Ex.83 p.59
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Exercice n°18**
Ex.86 p.60
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Activité d'approche n°2
On définit la fonction, appelée « partie entière », notée E de la façon suivante : à tout nombre réel x, on fait correspondre l'unique entier relatif n tel que nx<n+1.
1. Calculer E(-2,7) et E(4,57).
...
...
2. Représenter la fonction E sur le graphique ci-dessous :
3. Conjecturer les limites suivantes sur le graphique : lim
x→3
x<3
E(x) et lim
x→3
x>3
E(x) ...
4. La fonction E admet-elle une limite en 3 ? Pourquoi ?
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Cours n°6
VII) Continuité d'une fonction – théorème des valeurs intermédiaires Définition n°8
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.
f est dite continue en a si …... =...
…...
f est dite continue sur I si elle est continue en tout nombre de l'intervalle I.
Remarque :
Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont la représentation graphique sur cet intervalle se trace sans lever le crayon.
Exemple n°13 :
La fonction partie entière est discontinue à chaque …...
…...
La fonction carrée est …... sur …...
Propriété n°9 (admis)
Les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.
Remarque :
Les fonctions rencontrées jusqu'à présent sont très souvent continues sur leur ensemble de définition.
Propriété n°10 : théorème des valeurs intermédiaires (admis)
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b].
Alors, quelque soit le réel k de l'intervalle [f(a);f(b)], il existe au moins un nombre c de l'intervalle [a;b] tel que …...
Remarque :
Autrement dit, si f est une fonction continue, l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans l'intervalle [a;b].
Exemple n°14 :
Soit la fonction f définie par f(x)=x3+5
x2+3 . L'équation f(x)=2 admet-elle au moins
une solution sur IR ? Justifier.
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Propriété n°11 : Théorème de la bijection
Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [a;b],
alors pour tout réel k de l'intervalle [f(a);f(b)], il …...
…... tel que …...
Remarque :
Ce théorème est une conséquence (=corollaire) du théorème des valeurs intermédiaires.
Exemple n°15 :
Soit la fonction f définie par f(x)= 5
x2+3 . L'équation f(x)=1 admet-elle une
solution sur IR ? Cette solution est-elle unique ? Justifier.
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Exercice n°19*
Ex.32 p.55
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Exercice n°20*
Ex.105 p.61
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Exercice n°21*
Ex.106 p.61
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Exercice n°22****
Sujet A p.69
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Exercice n°23**
Sujet D p.70
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Exercice n°24***
Asymptotes obliques p.65
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Exercice n°25**
Ex.146 p.71
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Exercice n°26**
Ex.152 p.72
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Exercice n°27**
Ex.153 p.73
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Exercice n°28****
Ex.154 p.73
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Résultats ou indices
Exercice n°1-Ex.1 p.54- x>5 ; x>50 ; lim
x→+∞
f (x)=−∞
Exercice n°2-Ex.34 p.56- 1. lim
x→2 x>2
f (x)=−∞ 2. lim
x→+∞
f (x)=0
Exercice n°3-Ex.8 p.54- Dans tous les cas : lim
x→+∞
f (x)=+∞ et lim
x→+∞
g(x)=0 1.
lim
x→+∞
f (x)×g(x)=1 2. lim
x→+∞
f (x)×g(x)=0 3. lim
x→+∞
f (x)×g(x)=+∞ 4.
lim
x→+∞
f (x)×g(x)=−∞
Exercice n°4-Ex.6 p.54-
1. (d1) a pour équation x = -2. (d2) a pour équation x = 1. (d3) a pour équation x = -1. 2.
lim
x→−∞
f (x)=−1 , lim
x→+∞
f (x)=−1 , lim
x→−2 x<−2
f (x)=+∞ lim
x→−2 x>−2
f (x)=−∞
lim
x→1 x<1
f (x)=+∞ lim
x→1 x>1
f (x)=+∞ 3.
Exercice n°5-Ex.36 p.56- 1.
2. Si x<-1 ou x>1, c est strictement au dessus de (d3). Si -1<x<1, c est strictement en dessous de (d3).
Exercice n°6*-Ex.63 p.58- 1. lim
x→−∞
f (x)=+∞ lim
x→+∞
f (x)=3 asymptote : y=3 en +∞ 2.b.
lim
x→−∞
g(x)=0 lim
x→+∞
g(x)=1
3 2.c. asymptote y=0 en - ∞ et asymptote y=1
3 en + ∞ Exercice n°7**-Ex.7p.54- Dans tous les cas, lim
x→+∞
f (x)=+∞ et lim
x→+∞
g(x)=−∞ Cas n°1 :
lim
x→+∞
f (x)+g(x)=5 ; cas n°2 : lim
x→+∞
f (x)+g(x)=0 ; cas n°3 :
lim
x→+∞
f (x)+g(x)=+∞ ; cas n°4 : lim
x→+∞
f (x)+g(x)=−∞ -Ex.8p.54- Dans tous les cas, lim
x→+∞
f (x)=+∞ et lim
x→+∞
g(x)=0 ; cas n°1 : lim
x→+∞
f (x)×g(x)=1 ; cas n°2 :
lim
x→+∞
f (x)×g(x)=0 ; cas n°3 : lim
x→+∞
f (x)×g(x)=+∞ ; cas n°4 :
lim
x→+∞
f (x)×g(x)=−∞
Exercice n°8-Ex.10 p.54- a. lim
x→−∞
f (x)=−∞ et lim
x→+∞
f (x)=+∞ b. lim
x→−∞
g(x)=−∞ et
lim
x→+∞
g(x)=+∞ c. lim
x→−∞
h(x)=−∞ et lim
x→+∞
h(x)=+∞
Exercice n°9-Ex.15 p.54- a. lim
x→−∞
f (x)=−∞ b. lim
x→−∞
g(x)=−∞ c. lim
x→−∞
h(x)=−∞ d.
lim
x→−∞k(x)=+∞
Exercice n°10*-Ex.21 p.55- 1. Si x<3, 3 – x>0 ; Si x>3, 3 – x<0 2.a. lim
x→3 x>3
f (x)=−∞ 2.b.
lim
x→3 x>3
g(x)=+∞ 2.c. lim
x→3 x>3
h(x)=+∞ 3.a. lim
x→3 x<3
f (x)=+∞ 3.b. lim
x→3 x<3
g(x)=−∞ 3.
c. lim
x→3 x<3
h(x)=−∞
Exercice n°11*-Ex.22 p.55- 1.a. lim
x→1 x>1
f (x)=+∞ 1.b. lim
x→1 x>1
g(x)=−∞ 1.c. lim
x→1 x>1
h(x)=−∞
2.a. lim
x→1 x<1
f (x)=−∞ 2.b. lim
x→1 x<1
g(x)=+∞ 2.c. lim
x→1 x<1
h(x)=−∞
Exercice n°12-Ex.47 p.56- a. lim
x→−∞
f (x)=−∞ et lim
x→+∞
f (x)=+∞ b. lim
x→−∞
g(x)=+∞ et
lim
x→+∞
g(x)=−∞ c. lim
x→−∞
h(x)=+∞ et lim
x→+∞
h(x)=+∞ d. lim
x→−∞
k(x)=−∞ et
lim
x→+∞
k(x)=−∞
Exercice n°13-Ex.24 p.55- lim
x→+∞
f (x)=+∞ , lim
x→+∞
g(x)=+∞ et lim
x→+∞
h(x)=+∞
Exercice n°14*-Ex.78 p.59- lim
x→1 x>1
f (x)=+∞ et lim
x→3 x<3
f (x)=+∞
Exercice n°15-Ex.28 p.55- lim
x→+∞
f (x)=+∞
Exercice n°16-Ex.89 p.60- lim
x→+∞
g(x)=+∞ et lim
x→−∞
g(x)=−∞
Exercice n°17*-Ex.83 p.59- 1. La droite d d'équation y=1 est une asymptote à cf en - ∞ et + ∞. cf est strictement en dessous de d. 2.
3. Pour x> √199, la distance entre le point de cf, d'abscisse x et le point de d d'abscisse x est strictement inférieure à 0,01.
Exercice n°18**-Ex.86 p.60- 2. La droite d d'équation y=-3 est une asymptote à cf en - ∞ et + ∞. Si x< 5
2 cf est au-dessus de d. Si x> 5
2 cf est en dessous de d. 3.
Exercice n°19*-Ex.32 p.55- 3. 1,3< <1,4.
Exercice n°20*-Ex.105 p.61- 1. f est strictement croissante sur R. 2. Théorème des valeurs intermédiaires 3. 1,121< <1,122.
Exercice n°21*-Ex.106 p.61- 1.
4. -0,79<1<-0,78 et -0,79<2<-0,78.
Exercice n°22****-Sujet A p.69- P.A.1.
lim
x→+∞
g(x)=−∞ P.A.3.
P.A.4.b.3,09 3,10. P.A.5.Sur [0;α[, g(x)<0 et sur ]α;+∞[,
g(x)>0.P.B.1.A'(x)=2g(x) P.B.2. Sur [0;[, A est strictement
croissante. Sur [;+∞[, A est strictement décroissante. P.C.2. Oui.
Exercice n°23**-Sujet D p.70- 1.b.2.b.3.c.4.c.
Exercice n°24***-Asymptotes obliques p.65-
>Dans le triangle MHP rectangle en H, la longueur de l’hypoténuse est supérieure à celle des autres côtés donc MH …. MP.
> 0 MHMP. Or MH=u(x) ...0 u (x) f (x) – (1 + x ). lim
x→+∞
[ f (x)−(1+x)]=0 est une condition suffisante.
Exercice n°25**-Ex.146 p.71- 1. f° affine. 2.a. lim
x→−∞
fm(x)=−∞ et lim
x→+∞
f m(x)=+∞ 2.b.
Si m<0, lim
x→0 x<0
fm(x)=+∞ et lim
x→0 x>0
fm(x)=−∞ , Si m<0, lim
x→0 x<0
fm(x)=−∞ et
lim
x→0 x>0
fm(x)=+∞ 3. fm' (x)= x2−m
x2 est du signe de x2 – m. Si m<0 fm est croissante sur ]-
∞;0[ et sur ]0;+ ∞[. Si m>0 :
4. La courbe bleue est celle de f1
et la courbe rouge est celle de f-1.
Exercice n°26**-Ex.152 p.72- 2. 0,8< <0,9
Exercice n°27**-Ex.153 p.73- P.A.1. x=4 et x=8. 4000 unités et 8000 unités. 2. Au-dessous de 200€.
P.B.1. lim
x→+∞
f (x)=0 : les consommateurs sont prêts à acheter une quantité très, très grande de produit lorsque le prix est très proche de 0. P.B.2.c.455€.
Exercice n°28****-Ex.154 p.73- P.A.1. lim
x→−∞
g(x)=−∞ et lim
x→+∞
g(x)=+∞ P.A.2.g'(x)=9x2 – P.A.3.
P.A.4.
1,7<<1,71 P.A.5.
Si x< , g(x)<0.
Si x> , g(x)>0.
P.B.1. lim
x→−∞
f (x)=−∞ et lim
x→+∞
f (x)=+∞ , lim
x→0 x<0
f (x)=+∞ et
lim
x→0 x>0
f (x)=+∞ . L'axe des ordonnées est une asymptote à c'.
P.B.3.
P.B.4.a. Si -1x<0 ou x>0, c' est au-dessus de d. Si -1x, c' est en-dessous de d.
P.B.4.b. lim
x→−∞
d(x)=0 et lim
x→+∞
d(x)=0 . Lorsque x tend vers l’infini, la distance entre le point de c' d’abscisse x et le point de d d’abscisse x tend vers 0.
P.B.5.
