Exercice II : Continuité d’une fonction définie par une intégrale

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CCP Maths 1 MP 2012 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l’université) ; il a été relu par Silvère Gangloff (ENS Ulm) et Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA).

Ce sujet, très proche du cours, est séparé en trois exercices et un problème indé- pendants, qui traitent de sujets tout à fait différents.

• Le premier exercice a pour objectif de montrer que deux normes ne sont pas toujours équivalentes. Il considère pour cela l’espace vectoriel des applications de classeC¹ de[ 0 ; 1 ]dansR.

• Le deuxième exercice traite de la continuité d’une fonction définie par une intégrale. La première question demande de rappeler le théorème de continuité sous le signe intégrale, qui est ensuite utilisé sur un exemple dans la deuxième question. La troisième question permet d’assurer la nécessité de l’hypothèse de domination dans ce théorème.

• Le troisième exercice a pour objet le calcul d’une intégrale curviligne.

• L’objectif du problème est de comparer les différents types de convergence d’une série de fonctions. La première partie compare convergences absolue, normale et uniforme. La deuxième partie étudie un exemple de série de fonctions et considère les conditions sous lesquelles cette série converge.

Ce sujet est plutôt facile mais demande de bien maîtriser les théorèmes principaux du cours et, dans le problème, d’avoir suffisamment de recul sur les différents types de convergence pour être capable de proposer des contre-exemples. Au final, il constitue une excellente révision des différents points traités et permet de s’assurer que les concepts importants sont bien compris.

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Indications

Exercices

A.2 Comparer la norme donnée et la normek·k1définie dans le cours en utilisant par exemple la suitefn :t7→tⁿ.

B.3 Calculer directement l’intégrale pourx6= 0 et pourx= 0.

C.1 Paramétrer le cercleγ en posantx= cos(t)ety= sin(t)avect∈[ 0 ; 2π].

Problème

D.I.2 Montrer que la suite des restes converge uniformément vers0.

D.I.3 Utiliser le critère des séries alternées pour montrer que la série converge ainsi que pour majorer la suite des restes.

D.I.4 Considérer la suite de fonctions(fn)n∈Ndéfinie sur[ 0 ; 1 [parfn :x7→xⁿ. D.II.5 Utiliser la majoration 06αn 6α1 pour toutn>1.

D.II.6.a Pour toutn>1, étudier les variations defn surIen calculant sa dérivée.

D.II.6.b La série converge normalement si et seulement si la série de terme géné- ralαnnⁿ/(n+ 1)ⁿ⁺¹ converge.

D.II.7.b Montrer que la suite des restes converge uniformément vers0.

D.II.7.c Raisonner par l’absurde en supposant que la limite de(αn)n∈N^∗ est non nulle et établir une contradiction sur le reste de la série.

D.II.8 Chercher une suite(αn)n∈N^∗ qui vérifie les conditions des questions D.II.6.b , D.II.7.b et D.II.7.c .

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Exercice I : Normes équivalentes

A.1.a Pour tout f ∈ E, la valeur kfk est bien définie. En effet, comme f est de classeC¹, |f^′|est continue, donc intégrable sur le segmentI = [ 0 ; 1 ]. Montrons que c’est une norme :

• Soientf ∈E etλ∈R. Alors kλfk=|λf(0)|+ 2

Z ¹

0

|λf^′(t)| dt=|λ| |f(0)|+ 2|λ|

Z ¹

0

|f^′(t)| dt=|λ| kfk

donc kλfk=|λ| kfk

• Soitf ∈E. L’intégrale d’une fonction positive étant positive,kfk>0.

• Soit f ∈ E telle que kfk = 0. Comme kfk est une somme de deux nombres positifs, chacun de ces deux nombres est nul :

|f(0)|= 0 et

Z ¹

0

|f^′(t)| dt= 0

Ainsi,|f^′|est une fonction positive et continue d’intégrale nulle. Par suite, c’est la fonction nulle : f^′ = 0. La fonctionf est donc constante surI, car I est un intervalle. Commef(0) = 0, c’est la fonction nulle.

• Montrons que l’applicationk · k vérifie l’inégalité triangulaire. Soit(f, g)∈E². L’inégalité triangulaire (sur la valeur absolue) donne

|f(0) +g(0)|6|f(0)|+|g(0)|

et ∀t∈I |f^′(t) +g^′(t)|6|f^′(t)|+|g^′(t)|

Par croissance de l’intégrale, on en déduit que kf+gk6kfk+kgk

Finalement, L’applicationf 7→ kfkest une norme sur E.

A.1.b.i k · k1et k · k2sont deux normes équivalentes sur E si et seulement si

∃a >0 ∃b >0 ∀x∈E akxk26kxk16bkxk2

A.1.b.ii Soitf ∈E. On a kfk=|f(0)|+ 2

Z ¹

0

|f^′(t)| dt64|f(0)|+ 2 Z ¹

0

|f^′(t)| dt= 2kfk^′

De même,

kfk^′= 2|f(0)|+ Z ¹

0

|f^′(t)| dt62|f(0)|+ 4 Z ¹

0

|f^′(t)| dt= 2kfk

donc 1

2kfk^′6kfk62kfk^′ Finalement, Les normes sont équivalentes.

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A.2 Considérons la fonctionk · k1 définie surEtelle que, pour toutf ∈E, kfk1=

Z ¹

0

|f(t)| dt

C’est bien une norme surEd’après le cours. Définissons la suite(fn)n∈Nde fonctions deEparfn:t7→tⁿ et calculons

kfnk1= Z ¹

0

tⁿdt= tⁿ⁺¹

n+ 1 ¹

0

= 1

n+ 1

et kfnk= 0 + 2

Z ¹

0

fn′

(t) dt= 2 [fn(t)]¹0= 2

Comme la suite(kfnk1)n∈Nconverge vers 0, il n’existe pas de réela >0tel que, pour toutf ∈E,akfk6kfk1. Ainsi,

Toutes les normes ne sont pas équivalentes àk · ksurE.

Rappelons que toutes les normes sont équivalentes sur un espace de di- mension finie, ce qui n’est pas le cas ici.

Sur l’espace E, les normes connues et définies dans le cours sont les normesk · k1,k · k2 etk · k∞ définies par

∀f ∈E kfk2= Z 1

0

f²(t) dt ^1/2

et kfk∞= max

t∈I |f(t)|

Exercice II : Continuité d’une fonction définie par une intégrale

B.1 D’après le cours, si

• pour toutx∈I,t 7→g(x, t)est intégrable surJ;

• pour toutt∈J,x7→g(x, t)est continue surI;

• il existe une fonctionϕcontinue par morceaux deJdansR⁺et intégrable surJ telle que, pour tousx∈Iet t∈J,|g(x, t)|6ϕ(t);

alors la fonctionf :x7→

Z

J

g(x, t) dtest continue sur I.

Les théorèmes concernant les intégrales à paramètres doivent être connus parfaitement, et en particulier leurs hypothèses précises. La première sert à justifier la définition de l’intégrale (elle est d’ailleurs superflue car impliquée par la troisième). Les deux suivantes, quant à elles, assurent la continuité de la fonction ainsi définie. Comme l’énoncé le souligne dans la question B.3 , il ne faut pas oublier cette hypothèse de domination.