SESSION 2012
CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP
MATHEMATIQUES 1
EXERCICE 1 : normes équivalentes
1. Soitf∈E.f est de classeC1sur[0, 1]. Donc la fonction|f′|est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction
|f′|est intégrable sur le segment[0, 1]. On en déduit quekfk existe dansR.
•Pour toutf∈E,kfk=|f(0)|+2 Z1
0
|f′(t)|dt>0.
•Soitf∈E.
kfk=0⇒|f(0)|+2
Z1 0
|f′(t)|dt=0⇒|f(0)|=
Z1 0
|f′(t)|dt=0
⇒f(0) =0et∀t∈[0, 1], |f′(t)|=0(fonction continue, positive, d’intégrale nulle)
⇒f(0) =0etfest constante sur[0, 1]
⇒∀t∈[0, 1], f(t) =f(0) =0
⇒f=0.
•Soientf∈Eetλ∈R.
kλfk=|λf(0)|+2
Z1 0
|λf′(t)|dt=|λ| |f(0)|+2
Z1 0
|f′(t)|dt
!
=|λ|kfk.
•Soit(f, g)∈E2.
kf+gk=|f(0) +g(0)|+2
Z1 0
|f′(t) +g′(t)|dt6|f(0)|+|g(0)|+2 Z1
0
|f′(t)|dt+2 Z1
0
|g′(t)|dt=kfk+kgk.
On a montré que
k kest une norme sur E.
2. i)SoientNet N′ deux normes sur un espace vectorielE.
N etN′ sont équivalentes⇔∃(α, β)∈]0,+∞[2/∀f∈E, αN(f)6N′(f)6βN(f).
ii)Soitf∈E.
kfk=|f(0)|+2
Z1 0
|f′(t)|dt64|f(0)|+2 Z1
0
|f′(t)|dt=2kfk′, et aussi
kfk′=2|f(0)|+ Z1
0
|f′(t)|dt62|f(0)|+4 Z1
0
|f′(t)|dt=2kfk.
Ainsi,∀f∈E, 1
2kfk6kfk′62kfk′ et donc
k ket k k′ sont des normes équivalentes.
3. Pour f ∈ E, posons kfk1 = Z1
0
|f(t)| dt. Montrons que les normes k k et k k1 ne sont pas équivalentes. Pour cela
vérifions que sup kfk
kfk1
, f∈E\ {0}
= +∞. PosonsS=sup kfk
kfk1
, f∈E\ {0}
. Pourn∈N∗ ett∈[0, 1], posonsfn(t) =tn. Pour toutn∈N∗,
kfnk1= Z1
0
tn dt= 1 n+1, et
kfnk=0+2 Z1
0
fn′(t)dt=2(fn(1) −fn(0)) =2,
puis kfnk kfnk1
=2(n+1). Mais alors, pour tout entier naturel non nul n, S> kfnk kfnk1
=2(n+1). Quandntend vers +∞, on obtientS= +∞.
On a montré que sup kfk
kfk1
, f∈E\ {0}
= +∞et donck k1n’est pas équivalente à k k.
EXERCICE 2 : continuité d’une fonction définie par une intégrale
1. SoientIet Jdeux intervalles deRpuis g : I×J → R (x, t) 7→ g(x, t)
une application deI×JdansR. Si
• pour toutxdeI, l’applicationt7→g(x, t)est continue par morceaux surJ,
• pour touttdeJ, l’applicationx7→g(x, t)est continue surI,
• il existe une fonctionϕpositive, continue par morceaux et intégrable sur Jtelle que pour tout(x, t)deI×J,
|g(x, t)|6ϕ(t), (hypothèse de domination)
alors la fonctionf : x7→ Z
J
g(x, t)dtest définie et continue surI.
2. Pour (x, t)∈R×[0,+∞[, posonsg(x, t) = Arctan(xt)
1+t2 de sorte que pour toutx∈R,f1(x) = Z+∞
0
g(x, t)dt.
• pour toutxdeR, l’applicationt7→g(x, t)est continue par morceaux sur[0,+∞[,
• pour touttde[0,+∞[, l’applicationx7→g(x, t)est continue surR,
• pour tout(x, t)deR×[0,+∞,|g(x, t)|6 π
2(1+t2) =ϕ(t)oùϕest une fonction positive, continue par morceaux et intégrable sur[0,+∞[ (car dominée par 1
t2 au voisinage de+∞).
D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionf1est continue surR. 3. f2(0) =0 puis, six > 0,
f2(x) = Z+∞
0
xe−xt dt=
−e−xt+∞
0 =1− lim
t→+∞e−xt =1(carx > 0).
Donc,
∀x>0, f2(x) =
0six=0 1six > 0 .
f2 n’est pas continue en0. Comme la fonctiong : (x, t)7→xe−xt vérifie les deux premières hypothèses du théorème de continuité des intégrales à paramètres,g ne peut vérifier l’hypothèse de domination. Cette hypothèse de domination est donc nécessaire pour être sûr de la continuité de la fonctionx7→
Z
J
g(x, t)dt.
EXERCICE 3 : une intégrale curviligne
La forme différentielleω= −y
x2+y2dx+ x
x2+y2dyest continue surD=R2\ {(0, 0)}et le cercle de centreOet de rayon1 est contenu dansD. Une paramétrisation de ce cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique estγ :
x=cost y=sint , tvariant de0à2π. Cette paramétrisation est de classeC1 puis
Z
γ
ω= Z2π
0
−sint
cos2t+sin2t(−sint) + cost
cos2t+sin2t(cost)
dt= Z2π
0
1 dt=2π.
Problème : comparaison de convergences
Partie I
1. (a)Sifest une fonction définie surIà valeurs dansR, on posekfk∞=sup{|f(x), x∈I}(kfk∞est élément de[0,+∞]).
La série de fonctions de terme généralfn,n∈N, converge normalement sur Isi et seulement si pour toutn∈N,kfnk∞ est un réel et la série numérique de terme généralkfnk∞,n∈N, converge.
(b)Soitx∈I. Pour tout entier n,0 6|fn(x)|6kfnk∞. Puisque la série de terme généralkfnk∞converge, il en est de même de la série numérique de terme général|fn(x)|,n∈N. Ceci montre que la série numérique de terme généralfn(x), n∈N, est absolument convergente.
Ainsi, pour toutxdeI, la série numérique de terme généralfn(x),n∈N, est absolument convergente ou encore la série de fonctions de terme généralfn,n∈N, est absolument convergente surI. On a montré que la convergence normale entraîne la convergence absolue.
2. Puisque la série de fonctions de terme généralfn,n∈N, converge normalement surI, cette série converge simplement surIet pour chaque entiernet chaquexdeI, on peut poserRn(x) =
+∞X
k=n+1
fk(x).
Soitx∈I. Pour tout entier natureln,
|Rn(x)|6
+∞X
k=n+1
|fk(x)|6
+∞X
k=n+1
kfkk∞.
Ainsi, pour toutx ∈I et toutn∈N, |Rn(x)| 6
+∞
X
k=n+1
kfkk∞ et donc
+∞
X
k=n+1
kfkk∞ est un majorant de{|Rn(x)|, x∈I}.
CommekRnk∞est le plus petit des majorants de{|Rn(x)|, x∈I}, ceci montre que pour toutn∈N,kRnk∞6
+∞
X
k=n+1
kfkk∞.
Puisque la série numérique de terme généralkfnk∞,n∈N, converge, la suite X+∞
k=n+1
kfkk∞
!
n∈N
des restes à l’ordren tend vers0quandntend vers+∞. Mais alors, la suite(kRnk∞)n∈Ntend vers0quandntend vers+∞. Ceci montre que la suite des restesRn,n∈N, converge uniformément vers0surIou encore que la série de fonctions de terme généralfn, n∈N, converge uniformément surI.
Ainsi, la convergence normale entraîne la convergence uniforme.
3. Soitx ∈[0, 1]. La suite numérique(fn(x))n∈N∗ est alternée en signe et sa valeur absolue, à savoir x2
n2 + 1 n
n∈N∗
, tend vers0 en décroissant (somme de deux suites décroissantes). On en déduit que la série numérique de terme général fn(x),n∈N, converge d’après le critère spécial aux séries alternées. De plus, d’après une majoration classique de la valeur absolue du reste à l’ordrend’une série alternée, pour toutn∈N∗,
|Rn(x)|=
+∞X
k=n+1
fk(x)
6|fn+1(x)|= x2
(n+1)2 + 1
n+1 6 1
(n+1)2 + 1 n+1. Ainsi, pour toutn∈N∗ et toutx∈[0, 1],|Rn(x)|6 1
(n+1)2+ 1
n+1 et donc,
pour toutn∈N∗,kRnk∞6 1
(n+1)2 + 1 n+1. Puisque 1
(n+1)2+ 1
n+1 tend vers0quandntend vers+∞, il en est de même dekRnk∞. Ceci montre que la série de fonctions de terme généralfn,n∈N∗, converge uniformément sur[0, 1].
Soit x ∈ [0, 1]. La série numérique de terme général x2
n2, n ∈ N∗, converge et la série numérique de terme général 1 n, n∈N∗, diverge. On en déduit que la série numérique de terme général|fn(x)|= x2
n2 + 1
n,n∈N∗, diverge (si cette série convergeait, alors la série de terme général 1
n =|fn(x)|− x2
n2,n∈N∗, convergerait ce qui n’est pas). Donc pour toutx∈[0, 1], la série numérique de terme généralfn(x), n∈N∗, n’est pas absolument convergente.
Ainsi, la convergence uniforme n’entraîne pas la convergence absolue.
4. On sait que pour tout réelx,ex= X+∞
n=0
xn
n! et que la série de fonctions de terme généralfn : x7→xn
n!,n∈N, converge absolument surR.
Soitn∈N. Pour tout réelx, posonsRn(x) =ex− Xn
k=0
xk
k!. Puisque lim
n→+∞Rn(x) = +∞d’après un théorème de croissances comparées, la fonctionRnn’est pas bornée surR. Par suite, pour tout entier natureln,kRnk∞et donc la série de fonctions de terme généralfn,n∈N, ne converge pas uniformément surRvers la fonction exponentielle.
Ainsi, la convergence absolue n’entraîne pas la convergence uniforme.
PartieII
5. Puisque la suite(αn)n∈N∗ est décroissante et positive, pour tout entier naturel non nuln, on a06αn66α0. Donc la suite(αn)n∈N∗ est bornée.
Soitx∈[0, 1[. Pour toutn∈N∗,
|fn(x)|=αnxn(1−x)6α0(1−x)xn.
Puisque |x| < 1, la série géométrique de terme général α0(1−x)xn, n ∈ N∗ converge et il en est de même de la série numérique de terme général |fn(x)|, n∈ N∗. Ainsi, pour tout réel x∈[0, 1[, la série numérique de terme généralfn(x), n ∈ N∗, converge absolument et donc converge. On a montré que la série de fonctions de terme général fn, n ∈ N∗, converge simplement sur[0, 1[.
6. (a)Soitn∈N∗. La fonctionfn est dérivable sur[0, 1[et pour toutx∈[0, 1[, fn′(x) =αn nxn−1(1−x) −xn
=αnxn−1(n− (n+1)x).
La fonctionfn est positive, croissante sur
0, n n+1
et décroissante sur n
n+1, 1
. On en déduit que
kfnk∞=fn n
n+1
=αn× n
n+1 n
× 1
n+1 = αn n+1
1+ 1
n −n
. (b)(Puisque la suite(αn)n∈N peut s’annuler une infinité de fois, on n’utilisera pas des équivalents.)
1+ 1
n −n
=exp
−nln
1+ 1 n
n→+∞= exp
−n 1
n+o 1
n
=exp(−1+o(1)) = 1
e +o(1).
puis
kfnk∞ =
n→+∞
αn
n +oαn
n
1 e +o(1)
= αn
en +oαn
en .
Si la série de terme général αn
n ,n∈N∗, converge il en est de même de la série numérique de terme général αn
en,n∈N∗, puis de la série numérique de terme général oαn
en
, n ∈ N∗, et finalement de la série numérique de terme général kfnk∞= αn
en +oαn en
.
Réciproquement, supposons que la série de terme généralkfnk∞,n∈N∗, converge. Il existe un rang n0à partir duquel oαn
en
>−1 2 ×αn
en et donc kfnk∞= αn
en +oαn
en
> 1 2×αn
en. Pourn>n0, on a alors 06αn
n 62ekfnk∞. Ceci montre que la série de terme général αn
n converge. On a montré que la série de terme généralkfnk∞,n∈N∗, converge si et seulement si la série de terme général αn
n ,n∈N∗, converge ou encore X
n>1
fn converge normalement sur[0, 1[si et seulement siX
n>
αn
n converge.
7. (a)Soitn∈N∗. Pour toutx∈[0, 1[,
+∞X
k=n+1
xk=xn+1
+∞X
k=0
xk= xn+1 1−x. (b)On suppose que la suite(αn)n∈N∗ converge vers0.
Soitn∈N∗. Soitx∈[0, 1[. D’après la question 5), la série numérique de terme généralfn(x),n∈N∗, converge. On peut donc poserRn(x) =
+∞X
k=n+1
fk(x). Ensuite, d’après la question a),
06Rn(x) = X+∞
k=n+1
fk(x) =
+∞X
k=n+1
αkxk(1−x)6αn+1(1−x) X+∞
k=n+1
xk=αn+1xn+16αn+1.
Ainsi, pour toutn∈ N∗ et toutx∈[0, 1[, |Rn(x)|6αn+1 et donc pour toutn∈N∗, kRnk∞ 6αn+1. Puisque la suite (αn)n∈N∗ tend vers 0 quand n tend vers+∞, il en est de même de la suite (kRnk∞)n∈N∗. Ceci montre que la série de fonctions de terme généralfn,n∈N∗, converge uniformément sur[0, 1[.
(c)On suppose que la série de fonctions de terme généralfn,n∈N∗, converge uniformément sur[0, 1[.
La suite(αn)n∈Nest décroissante et positive. Cette suite admet donc une limite que l’on noteℓet qui est un réel positif ou nul. Supposonsℓ6=0 ou encore plus précisémentℓ > 0.
Soitn∈N∗. Pour toutx∈[0, 1[,
Rn(x) = X+∞
k=n+1
αnxk(1−x)
>ℓ(1−x)
+∞X
k=n+1
xk(car la suite(αn)n∈N∗ tend vers ℓen décroissant)
=ℓxn+1.
Mais alors, pour tout réelx∈[0, 1[,kRnk∞>|Rn(x)|>ℓxn+1. Quand xtend vers1, on obtientkRnk∞>ℓ.
Ainsi, pour tout entier naturel non nuln,kRnk∞>ℓ. Commeℓ > 0,kRnŁ∞ne tend pas vers0quandntend vers+∞ou encore la série de fonctions de terme généralfn, n∈N∗, ne converge pas uniformément sur [0, 1[. Par contraposition, si la série de fonctions de terme généralfn,n∈N∗, converge uniformément sur[0, 1[alors la suite(αn)n∈N∗ converge vers 0. On a montré que
X
n>1
fn converge uniformément sur [0, 1[si et seulement si(αn)n∈N∗ converge vers0.
8. (a)Pourn∈N∗, on poseαn = 1
n. La suite(αn)n∈N∗ est une suite décroissante de réels positifs. La série numérique de terme généralαn
n = 1
n2,n∈N∗, converge et donc la série de fonctions de terme généralfn,n∈N∗, converge normalement sur[0, 1[ d’après la question 6.(b).
(b)Pour n ∈N∗, on pose αn = 1. La suite (αn)n∈N∗ est une suite décroissante de réels positifs. La suite (αn)n∈N∗ ne converge pas vers 0 et donc la série de fonctions de terme général fn, n∈ N∗, ne converge pas uniformément sur[0, 1[
d’après la question 7.(c).
(c)On poseα1=2 et pourn>2, on poseαn= 1
lnn. La suite (αn)n∈N∗ est une suite décroissante de réels positifs. La suite(αn)n∈N∗ converge vers0et donc la série de fonctions de terme généralfn,n∈N∗, converge uniformément sur[0, 1[
d’après la question 7.(c).
Vérifions que la série de terme général αn
n ,n∈N∗, diverge. Puisque la suiteαn n
n∈N∗ est décroissante (produit de suites positives décroissantes) et positive, la série de terme général αn
n ,n∈N∗, est de même nature que l’intégrale Z+∞
2
dx xlnx (comparaison série et intégrale). Or, pourX > 2
ZX 2
dx
xlnx = [ln(lnx)]X2 =ln(ln(X)) −ln(ln(2)), et quandX tend vers+∞, on obtient
Z+∞
2
dx
xlnx = +∞. Mais alors série de terme général αn
n ,n∈N∗, diverge et donc la série de fonctions de terme généralfn,n∈N∗, ne converge pas normalement sur[0, 1[d’après la question 6.(b).
9. Ci-dessous, toute implication non écrite est fausse.
Convergence normale
Convergence uniforme Convergence absolue
Convergence simple
