Chapitre n°6: Trigonométrie
Objectifs.
O11.Cercle trigonométrie. Radian. Mesure d'un angle orienté, mesure principale.
Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : - déterminer les cosinus et sinus d'angles associés ;
- résoudre dans R les équations d'inconnues x : cos x = cos a et sin x = sin [L'étude des fonctions cosinus et sinus n'est pas un attendu du programme]
Durée approximative : 8 cours.
Activités d'approche n°1
Activité n°1 p.166 (Question 2 : si on rajoute 2 × , on retombe sur le même point du cercle...)
Activité d'approche n°2
Activité n°2 p.166
Cours n°1
Chapitre n°6: Trigonométrie
I) Cercle trigonométrique
Définition n°1 : cercle trigonométrie
Le cercle de centre O et de rayon ... unité, sur lequel on a choisi un sens p..., le sens …... des aiguilles d'une montre, est appelé cercle trigonométrique.
Définition n°2 : nombre associé à un point du cercle.
On munit le plan d'un repère orthonormé (O;I;J) , du cercle trigonométrique c de centre O et de la droite d d'équation x=1.
Alors, le nombre x associé à un point M du cercle c
x
x M
N
J
2/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
2/25
est la d... qui sépare le point I du point N sur d quand on déroule le cercle sur la droite d et que M arrive sur N.
Remarque : on peut faire plusieurs fois le tour du cercle et « retomber » sur le point M. Autrement dit, pour un même point M du cercle il existe une infinité de nombres associés : x, x+2, x+ 4 , x + 6...
II) Le radian
Propriété n°1 (rappel)
La longueur d'arc est …... à l'angle qui l'intercepte.
Propriété n°2 : radian
Le radian est une unité d'angle. Un tour complet fait …... radians.
Exemple n°1
Donnez les mesures en radian des angles en degré suivant :
Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180°
radians ... ... ... ... ... ...
Exemple n°2
Positionnez approximativement les points suivants sur le cercle trigonométrique :
M
1M
2M
3M
4M
5M
6^ IOM
ien radians
π
3 2 π
3 π
3 π 4
π
6 5 π
6
O I
4/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
4/25
Il est rappelé que les résultats étant à la fin du document, il ne suffit pas de les écrire pour estimer avoir fait l'ex. : il faut les justifier par
un calcul
Attention : un compas est souvent nécessaire.
Exercice n°1
Ex.1 p.174 (Indice 2011)
Exercice n°2
Ex.2 p.174 (Indice 2011)
Exercice n°3
Ex.7 p.174 (Indice 2011)
Exercice n°4
Ex.8 p.174 (Indice 2011)
Exercice n°5
Ex.22 p.175 (Indice 2011)
Activité d'approche n°3
Activité n°3 p.167
6/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
6/25
Cours n°2
II) Angle orienté de deux vecteurs Définition n°3 : angle orienté
Soit ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs non nuls. Soit d
1et d
2les demi-droites d'origine O, ayant pour directions respectives ⃗ u et ⃗ v , et coupant le cercle
trigonométrique en deux points A et B. Alors, l'... …...
( ⃗ u , ⃗ v ) est le couple ( ⃗ OA , ⃗ OB ).
Remarque : ( ⃗ u , ⃗ v ) = ... ( ⃗ v , ⃗ u ) (d'où le terme d'angle orienté) Définition n°4 : mesures d'un angle orienté.
Soit A et B deux points du cercle trigonométriques, et soit a et b les deux nombres associés par déroulement sur la droite d d'équation x=1. Alors, les mesures de l'angle orienté ( ⃗ OA , ⃗ OB ) sont les nombres ... – ... +
…... , k étant un nombre entier quelconque.
Exemple n°3 : Calculez :
( ⃗ u , ⃗ u ) = ...
( ⃗ u , – ⃗ u ) = ...
Définition n°5 : mesure principale d'un angle orientés
La mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure qui appartient à I
b
B J
O
A
⃗ a u
⃗ v
8/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
8/25
l'intervalle ]– ; [
Propriété n°3 : mesure principale – méthodes
Pour trouver la mesure principale d'un angle orienté, il suffit de retrancher ou d'additionner plusieurs fois le nombre …... .
Exemple n°4 :
Si un angle orienté ( ⃗ u , ⃗ v ) a pour mesure −9 π
6 , sa mesure principale est ...
Exemple n°5 :
MNP est un triangle équilatéral direct (si on tourne autour du triangle dans le sens des aiguilles d'une montre, on lit les points dans cet ordre).
I est le milieu de [MN]. Déterminez les mesures principales des angles orientés
( ⃗ PN , ⃗ PI ) et ( ⃗ MN , ⃗ MP )
...
...
...
...
...
...
10/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
10/25
Exercice n°6 Ex.52 p.176 Exercice n°7
Ex.53 p.176 Exercice n°8
Ex.54 p.177 Exercice n°9
Ex.63 p.177 Exercice n°10
Ex.65 p.177 Exercice n°11*
Ex.73 p.178 Exercice n°12*
Ex.80 p.178 Exercice n°13*
Ex.76 p.178
Cours n°3 II) Cosinus et sinus : nouvelles définitons
Définition n°6 (nouvelles définitions du sinus et cosinus) Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un réel x.
On appelle cosinus du réel x l'abscisse du point M.
On appelle sinus du réel x l'ordonnée du point M.
I x
M J
O Sin x
cos x
12/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
12/25
Propriété n°4
Pour tout nombre réel x :
1) –1 cos x 1 et –1 sin x 1
2) cos(x + k×2)=..., sin(x + k×2)=... , k étant un nombre entier quelconque.
3) (cos x)
2+ (sin x)
2=...
Démonstration :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5 : Calculez cos(9) :
…...
...
Calculez sin( 34 π
4 ) :
…...
...
Propriété n°5
Valeurs particulières :
x 0 π
6 π
4 π
3 π
2 Sin x
... ... ... ... ...
Cos x
... ... ... ... ...
14/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
Exercice n°14 Ex.92 p.179 Exercice n°15
Ex.93 p.179
14/25
Cours n°4 III) Équations trigonométriques
Propriété n°5 Pour tout réel x ,
1) cos(–x) = ... ; sin(–x) = ...
2) cos( – x) = ... ; sin( – x) = ...
3) cos( + x) = ... ; sin( + x) = ...
4) cos( π
2 – x) =... ; sin( π
2 – x) = ...
5) cos( π
2 + x) = ... ; sin( π
2 + x) =...
Démonstration :
I x
M J
O Sin x
cos x I
x
M J
O Sin x
cos x I
x
M J
O Sin x
cos x
I x
M J
O Sin x
cos x I
x
M J
O Sin x
cos x
16/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
16/25
Exemple n°6 Calculez sin( π
2 – π
6 ) :
...
...
...
Calculez cos( 5 π
4 ) :
...
...
...
Exercice n°16 Ex.16 p.174 Exercice n°17
Ex.17 p.174 Exercice n°18
Ex.18 p.174 Exercice n°19
Ex.89 p.179 Exercice n°20
Ex.90 p.179 Exercice n°21*
Ex.96 p.179
Cours n°5
Propriété n°6
Soit u et v deux réels quelconques.
1) L'égalité cos u = cos v équivaut à u = …. + k×2
2) L'égalité sin u = sin v équivaut à u = …... + k×2
18/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
18/25
Démonstration
Exemple n°7
Résoudre cos x = √ 2
2
...
...
...
Résoudre sin x = sin 2 π 3
...
...
...
...
...
...
Exercice n°22 Ex.19 p.174 Exercice n°23
Ex.21 p.174 Exercice n°24
Ex.104 p.180 Exercice n°25
Ex.105 p.180
I x
M J
O Sin x
cos x I
x
M J
O Sin x
cos x
20/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie Exercice n°26*
Ex.149 p.185 Exercice n°27*
Ex.150 p.185 Exercice n°28**
Ex.163 p.187
20/25
Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Ex.1 :
Ex.2 : A : π
3 et 7 π
3 B : 2 π
3 et 14 π
3 C : 5 π 3 et – π
3 Ex.3 : a. π
2 radians, b. π
6 radians c. π
4 radians d. radians e. 3 π
4 radians.
Ex.4 : a. 45° b. 72° c.22,5° d. 67,5° e. 120°
Ex.5 :
Ex.6 : 3 π 4 ; −π
4 ; π 4 ; π
2
Ex.7 : a. S coïncide avec P b. S coïncide avec N c. S coïncide avec N.
Ex.8 :
A O B
C
D
E
/3
22/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
Ex.9 : a. 2 π 5 b. Ex.10 : a. - π 3 b. −5 π
7 c. - 3 π 4
Ex.11 : Les mesures principales sont respectivement : a. - π
2 b. −π 3 c. −π
3 d. - 2 π
3 e. −2 π 3 Ex.12 : a. ( ⃗ u ,-
Object 75) = 5 π
4 +2k . b (3 ⃗ u ,2 ⃗ v )= π
4 +2k c.(-2 ⃗ u , -4
Object 82)= π
4 + 2k d.(2 ⃗ v , -2
Object 86)= 3 π 4 + 2k
Ex.13 : ( ⃗ AE , ⃗ AC )= + 2k : E,A et C sont alignés.
Ex.14 : A=– cos x B = –cos x. C = –cos x. D = –sin x. E = sin x. F = sin x.
Ex.15 : A= sin x. B = –cos x. C = –cos x. D = –sin x. E = sin x. F = sin x.
Ex.16 : sin( -
Object 91
)= 1
2 ; cos( + π
4 )=- √ 2
2 ; Ex.17 : a. sin 2 π
3 = √ 3
2 et cos 2 π 3 = - 1
2 b. sin 4 π
3 = - √ 3
2 et cos 4 π 3 = - 1
2 Ex.18 : sin −π
4 = - √ 2
2 , cos −π 4 = √ 2
2 , sin 3 π 4 = √ 2
2 , cos 3 π
4 = - √ 2
2 , sin 5 π
4 = - √ 2
2 , cos 5 π
4 = - √ 2
2 , sin 9 π 4 = √ 2
2 , cos 9 π 4 = 9 π
4 Ex.19 : 1. sin π
6 = 1
2 et cos π 6 = √ 3
2 2. sin 5 π 6 = 1
2 et cos 5 π
6 = - √ 3
2 3. sin 7 π 6 =- 1
2 et cos 7 π
6 =- √ 3
2 Ex.20 : 1. sin π
4 = √ 2
2 2. sinus : - √ 2
2 ; √ 2
2 ; - √ 2
2 ; √ 2
2 cosinus : √ 2
2 ;- √ 2
2 ;-
√ 2
2 ; √ 2
2
Ex.21 : A=0. B=0 Ex.22 :
Ex.23 : a. x=+ 2k ; k ℤ b. x= π
2 + 2k ; k ℤ
22/25
Ex.24 : Les solutions dans ]-;] sont
2π 3et π
3 . Ex.25 : Les solutions dans ]-;] sont – π
4 et π 4 . Ex.26 : 1. π
4 + 2k ; k ℤ et 5 π
4 + 2k ; k ℤ 2. π
6 + 2k ; k ℤ , 5 π
6 + 2k ; k ℤ ,
3 π
2 + 2k ; k ℤ 3. - π
4 + 2k ; k ℤ , π
8 + 2k ; k ℤ , 5 π
8 + 2k ; k ℤ , 9 π 8 + 2k ; k ℤ 4. 2 k π
5 k k (2k +1) 5. - π
12 + 2k ; k ℤ et 7 π
12 + 2k ; k ℤ
Ex.27 : 1.(cos x + sin x + 1)
2= 2(1 + cos x + sin x +cos x sin x). 2. développer.... 3. et 3 π 2 dans [0,2 [.
Ex.28 : 1. 1 et −1
2 2. a.2X²-X-1=0 2.b. π
2 + 2k ; k ℤ ; - 5 π
6 + 2k ; k ℤ ; - π
6 + 2k ; k ℤ 2.a. - √ 2
2 et 1
2 2.b. Les solutions dans ]-;] sont 3 π 4 ,- 3 π
4 , −π 3 et π
3 2.c.
3. π
2 dans ]-;]
24/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie
24/25
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