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Chapitre n°6 : Trigonométrie

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Academic year: 2022

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(1)

Chapitre n°6: Trigonométrie

Objectifs.

O11.Cercle trigonométrie. Radian. Mesure d'un angle orienté, mesure principale.

Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : - déterminer les cosinus et sinus d'angles associés ;

- résoudre dans R les équations d'inconnues x : cos x = cos a et sin x = sin [L'étude des fonctions cosinus et sinus n'est pas un attendu du programme]

Durée approximative : 8 cours.

Activités d'approche n°1

Activité n°1 p.166 (Question 2 : si on rajoute 2 × , on retombe sur le même point du cercle...)

Activité d'approche n°2

Activité n°2 p.166

Cours n°1

Chapitre n°6: Trigonométrie

I) Cercle trigonométrique

Définition n°1 : cercle trigonométrie

Le cercle de centre O et de rayon ... unité, sur lequel on a choisi un sens p..., le sens …... des aiguilles d'une montre, est appelé cercle trigonométrique.

Définition n°2 : nombre associé à un point du cercle.

On munit le plan d'un repère orthonormé (O;I;J) , du cercle trigonométrique c de centre O et de la droite d d'équation x=1.

Alors, le nombre x associé à un point M du cercle c

x

x M

N

J

(2)

2/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

2/25

(3)

est la d... qui sépare le point I du point N sur d quand on déroule le cercle sur la droite d et que M arrive sur N.

Remarque : on peut faire plusieurs fois le tour du cercle et « retomber » sur le point M. Autrement dit, pour un même point M du cercle il existe une infinité de nombres associés : x, x+2, x+ 4 ,  x + 6...

II) Le radian

Propriété n°1 (rappel)

La longueur d'arc est …... à l'angle qui l'intercepte.

Propriété n°2 : radian

Le radian est une unité d'angle. Un tour complet fait …... radians.

Exemple n°1

Donnez les mesures en radian des angles en degré suivant :

Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 180°

radians ... ... ... ... ... ...

Exemple n°2

Positionnez approximativement les points suivants sur le cercle trigonométrique :

M

1

M

2

M

3

M

4

M

5

M

6

^ IOM

i

en radians

π

3 2 π

3 π

3 π 4

π

6 5 π

6

O I

(4)

4/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

4/25

(5)

Il est rappelé que les résultats étant à la fin du document, il ne suffit pas de les écrire pour estimer avoir fait l'ex. : il faut les justifier par

un calcul

Attention : un compas est souvent nécessaire.

Exercice n°1

Ex.1 p.174 (Indice 2011)

Exercice n°2

Ex.2 p.174 (Indice 2011)

Exercice n°3

Ex.7 p.174 (Indice 2011)

Exercice n°4

Ex.8 p.174 (Indice 2011)

Exercice n°5

Ex.22 p.175 (Indice 2011)

Activité d'approche n°3

Activité n°3 p.167

(6)

6/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

6/25

(7)

Cours n°2

II) Angle orienté de deux vecteurs Définition n°3 : angle orienté

Soit ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs non nuls. Soit d

1

et d

2

les demi-droites d'origine O, ayant pour directions respectives u et ⃗ v , et coupant le cercle

trigonométrique en deux points A et B. Alors, l'... …...

( ⃗ u , ⃗ v ) est le couple ( ⃗ OA , OB ).

Remarque : ( u , v ) = ... ( v , u ) (d'où le terme d'angle orienté) Définition n°4 : mesures d'un angle orienté.

Soit A et B deux points du cercle trigonométriques, et soit a et b les deux nombres associés par déroulement sur la droite d d'équation x=1. Alors, les mesures de l'angle orienté ( ⃗ OA , OB ) sont les nombres ... – ... +

…... , k étant un nombre entier quelconque.

Exemple n°3 : Calculez :

( ⃗ u , ⃗ u ) = ...

( ⃗ u , – ⃗ u ) = ...

Définition n°5 : mesure principale d'un angle orientés

La mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure qui appartient à I

b

B J

O

A

a u

v

(8)

8/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

8/25

(9)

l'intervalle ]– ; [

Propriété n°3 : mesure principale – méthodes

Pour trouver la mesure principale d'un angle orienté, il suffit de retrancher ou d'additionner plusieurs fois le nombre …... .

Exemple n°4 :

Si un angle orienté ( ⃗ u , ⃗ v ) a pour mesure −9 π

6 , sa mesure principale est ...

Exemple n°5 :

MNP est un triangle équilatéral direct (si on tourne autour du triangle dans le sens des aiguilles d'une montre, on lit les points dans cet ordre).

I est le milieu de [MN]. Déterminez les mesures principales des angles orientés

( PN , PI ) et ( ⃗ MN , MP )

...

...

...

...

...

...

(10)

10/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

10/25

(11)

Exercice n°6 Ex.52 p.176 Exercice n°7

Ex.53 p.176 Exercice n°8

Ex.54 p.177 Exercice n°9

Ex.63 p.177 Exercice n°10

Ex.65 p.177 Exercice n°11*

Ex.73 p.178 Exercice n°12*

Ex.80 p.178 Exercice n°13*

Ex.76 p.178

Cours n°3 II) Cosinus et sinus : nouvelles définitons

Définition n°6 (nouvelles définitions du sinus et cosinus) Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un réel x.

On appelle cosinus du réel x l'abscisse du point M.

On appelle sinus du réel x l'ordonnée du point M.

I x

M J

O Sin x

cos x

(12)

12/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

12/25

(13)

Propriété n°4

Pour tout nombre réel x :

1) –1  cos x  1 et –1  sin x  1

2) cos(x + k×2)=..., sin(x + k×2)=... , k étant un nombre entier quelconque.

3) (cos x)

2

+ (sin x)

2

=...

Démonstration :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°5 : Calculez cos(9) :

…...

...

Calculez sin( 34 π

4 ) :

…...

...

Propriété n°5

Valeurs particulières :

x 0 π

6 π

4 π

3 π

2 Sin x

... ... ... ... ...

Cos x

... ... ... ... ...

(14)

14/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

Exercice n°14 Ex.92 p.179 Exercice n°15

Ex.93 p.179

14/25

(15)

Cours n°4 III) Équations trigonométriques

Propriété n°5 Pour tout réel x ,

1) cos(–x) = ... ; sin(–x) = ...

2) cos( – x) = ... ; sin( – x) = ...

3) cos( + x) = ... ; sin( + x) = ...

4) cos( π

2 – x) =... ; sin( π

2 – x) = ...

5) cos( π

2 + x) = ... ; sin( π

2 + x) =...

Démonstration :

I x

M J

O Sin x

cos x I

x

M J

O Sin x

cos x I

x

M J

O Sin x

cos x

I x

M J

O Sin x

cos x I

x

M J

O Sin x

cos x

(16)

16/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

16/25

(17)

Exemple n°6 Calculez sin( π

2 – π

6 ) :

...

...

...

Calculez cos( 5 π

4 ) :

...

...

...

Exercice n°16 Ex.16 p.174 Exercice n°17

Ex.17 p.174 Exercice n°18

Ex.18 p.174 Exercice n°19

Ex.89 p.179 Exercice n°20

Ex.90 p.179 Exercice n°21*

Ex.96 p.179

Cours n°5

Propriété n°6

Soit u et v deux réels quelconques.

1) L'égalité cos u = cos v équivaut à u = …. + k×2

2) L'égalité sin u = sin v équivaut à u = …... + k×2

(18)

18/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

18/25

(19)

Démonstration

Exemple n°7

Résoudre cos x = √ 2

2

...

...

...

Résoudre sin x = sin 2 π 3

...

...

...

...

...

...

Exercice n°22 Ex.19 p.174 Exercice n°23

Ex.21 p.174 Exercice n°24

Ex.104 p.180 Exercice n°25

Ex.105 p.180

I x

M J

O Sin x

cos x I

x

M J

O Sin x

cos x

(20)

20/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie Exercice n°26*

Ex.149 p.185 Exercice n°27*

Ex.150 p.185 Exercice n°28**

Ex.163 p.187

20/25

(21)

Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 :

Ex.2 : A : π

3 et 7 π

3 B : 2 π

3 et 14 π

3 C : 5 π 3 et – π

3 Ex.3 : a. π

2 radians, b. π

6 radians c. π

4 radians d.  radians e. 3 π

4 radians.

Ex.4 : a. 45° b. 72° c.22,5° d. 67,5° e. 120°

Ex.5 :

Ex.6 : 3 π 4 ; −π

4 ; π 4 ; π

2

Ex.7 : a. S coïncide avec P b. S coïncide avec N c. S coïncide avec N.

Ex.8 :

A O B

C

D

E

/3

(22)

22/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

Ex.9 : a. 2 π 5 b.  Ex.10 : a. - π 3 b. −5 π

7 c. - 3 π 4

Ex.11 : Les mesures principales sont respectivement : a. - π

2 b. −π 3 c. −π

3 d. - 2 π

3 e. −2 π 3 Ex.12 : a. ( ⃗ u ,-

Object 75

) = 5 π

4 +2k . b (3 ⃗ u ,2 ⃗ v )= π

4 +2k  c.(-2 ⃗ u , -4

Object 82

)= π

4 + 2k d.(2 ⃗ v , -2

Object 86

)= 3 π 4 + 2k

Ex.13 : ( ⃗ AE , AC )= + 2k : E,A et C sont alignés.

Ex.14 : A=– cos x B = –cos x. C = –cos x. D = –sin x. E = sin x. F = sin x.

Ex.15 : A= sin x. B = –cos x. C = –cos x. D = –sin x. E = sin x. F = sin x.

Ex.16 : sin( -

Object 91

)= 1

2 ; cos( + π

4 )=- √ 2

2 ; Ex.17 : a. sin 2 π

3 = √ 3

2 et cos 2 π 3 = - 1

2 b. sin 4 π

3 = - √ 3

2 et cos 4 π 3 = - 1

2 Ex.18 : sin −π

4 = - √ 2

2 , cos −π 4 = √ 2

2 , sin 3 π 4 = √ 2

2 , cos 3 π

4 = - √ 2

2 , sin 5 π

4 = - √ 2

2 , cos 5 π

4 = - √ 2

2 , sin 9 π 4 = √ 2

2 , cos 9 π 4 = 9 π

4 Ex.19 : 1. sin π

6 = 1

2 et cos π 6 = √ 3

2 2. sin 5 π 6 = 1

2 et cos 5 π

6 = - √ 3

2 3. sin 7 π 6 =- 1

2 et cos 7 π

6 =- √ 3

2 Ex.20 : 1. sin π

4 = √ 2

2 2. sinus : - √ 2

2 ; 2

2 ; - 2

2 ; 2

2 cosinus : 2

2 ;-2

2 ;-

2

2 ;2

2

Ex.21 : A=0. B=0 Ex.22 :

Ex.23 : a. x=+ 2k ; k  ℤ b. x= π

2 + 2k ; k  ℤ

22/25

(23)

Ex.24 : Les solutions dans ]-;] sont

2π 3

et π

3 . Ex.25 : Les solutions dans ]-;] sont – π

4 et π 4 . Ex.26 : 1. π

4 + 2k ; k  ℤ et 5 π

4 + 2k ; k  ℤ 2. π

6 + 2k ; k  ℤ , 5 π

6 + 2k ; k  ℤ ,

3 π

2 + 2k ; k  ℤ 3. - π

4 + 2k ; k  ℤ , π

8 + 2k ; k  ℤ , 5 π

8 + 2k ; k  ℤ , 9 π 8 + 2k ; k  ℤ 4. 2 k π

5 k k (2k +1) 5. - π

12 + 2k ; k  ℤ et 7 π

12 + 2k ; k  ℤ

Ex.27 : 1.(cos x + sin x + 1)

2

= 2(1 + cos x + sin x +cos x sin x). 2. développer.... 3.  et 3 π 2 dans [0,2 [.

Ex.28 : 1. 1 et −1

2 2. a.2X²-X-1=0 2.b. π

2 + 2k ; k  ℤ ; - 5 π

6 + 2k ; k  ℤ ; - π

6 + 2k ; k  ℤ 2.a. - 2

2 et 1

2 2.b. Les solutions dans ]-;] sont 3 π 4 ,- 3 π

4 , −π 3 et π

3 2.c.

3. π

2 dans ]-;]

(24)

24/25 - Chapitre n°6 : Trigonométrie

24/25

(25)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

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