Activité sur la trigonométrie

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Activité sur les fonctions trigonométriques

Rappel de la définition du sinus et cosinus

Soit C Le cercle trigonométrique de centre O, dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O,i j

, )

On appelle cosinus et sinus de l’angle

(

^{OI OM,}

)

dont une mesure est α, les coordonnées de M dans le repère (O,i j

, ) . (cos )i (sin ) j

α α

+

=

OM , d’où cos

α

=^{OC et sin}

α

^=OS.

Exercices:1) ABCD est un carré de côté a.

On pose

(

^{AB AC,}

)

⁼

^α

, Déterminer

α

, Calculer AC, En déduire sin

α

^{, cos}

α

^{, tan}

α

^. Calculer sin²

α

^{+ cos2}

α

^.

2) ABC est un triangle équilatéral de côté a, on pose

(

^{AB AC,}

) (

^{= BC BA,}

) (

^{= CA CB,}

)

⁼

^α

^et

(

^{AB AH,}

)

⁼

^β

Déterminer

α

^,β,Calculer AH,CH ,En déduire sin

α

^,cos

α

^,tan

α

^,sinβ^,cosβ^,tanβ Calculer sin²

α

^+cos2

α

^,sin2β^+cos2β ^.

3) Compléter le tableau suivant:

α

⁰ 6

π

4

π

3

π

2

π π

cos

α

sin

α

tan

α

Formules de trigonométrie ( Angles associés)

a) Soit A et A’ deux points du cercles trigonométrique C tels que

(

^{OI OA,}

)

^{=α et}

(

^{OI OA,'}

)

^{= −α}

En notant les coordonnées de A et A’ : ^{A x y}

( )

^{, et 'A x y}

(

^{', '}

)

, exprimer ces coordonnées en fonction de

α

, ' '

x=⋯ y=⋯ x ==⋯ y =⋯

A et A’ étant symétrique par rapport à l’axe Ox On en déduit :

( ) ( )

cos − =

α

⋯ et sin − =

α

⋯ et donc ^tan

( )

^{− =}

^α

^{⋯ pour}

^α

^≠⋯

b) Soit A et A’ deux points du cercles trigonométrique C tels que

(

^{OI OA,}

)

^{=α et}

(

^{OI OA,'}

)

^{= −π α}

( )

^{, et '}

(

^{', '}

)

A x y A x y On a x=⋯, y=⋯ x'==⋯ y'=⋯ A et A’ étant symétrique par rapport à l’axe Oy :

On en déduit que :

( ) ( ) ( )

cos

π α

− =⋯ , sin

π α

− =⋯, et tan

π α

− =⋯ pour

α

≠⋯

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c) Soit A et A’ deux points du cercles trigonométrique C tels que

(

^{OI OA,}

)

^{=α et}

(

^{OI OA,'}

)

^{= +π α}

( )

^{, et '}

(

^{', '}

)

A x y A x y On a x=⋯, y=⋯ x'==⋯ y'=⋯ A et A’ étant symétriques par rapport au point O :

On en déduit : ^cos

( π α

+

)

=⋯ ^{, sin}

( π α

+

)

=⋯, et tan

( π α

+

)

=⋯ pour

α

≠⋯

d) Soit A et A’ deux points du cercles trigonométrique C tels que

(

^{OI OA,}

)

^{=α et}

(

^{OI OA,'}

)

^{= −π α}₂

dans ce cas A et A’ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x la première bissectrice on a^{A x y}

( )

^{, et 'A x y}

(

^{', '}

)

^{avec 'x = y et 'y =x.}

On en déduit : cos , sin , et tan pour

2 2 2

π α π α π α α

     

− = − = − = ≠

     

  ⋯   ⋯   ⋯ ⋯

e) En écrivant

( )

2 2

π + = − −α π α et en utilisant les relations de d) On déduit que :

cos , sin , et tan pour

2 2 2

π α π α π α α

     

+ = + = + = ≠

     

  ⋯   ⋯   ⋯ ⋯

Déterminer la mesure principale des abscisses curvilignes des différents points sur les figures suivantes :

Définition géométrique de la tangente

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Formules d’addition

j a i a u

sin

cos +

= v bi bj

sin

cos +

= u =v=1 1) Calculer de deux façons différente le produit scalaire : vu

⋅ et en déduire l’égalité :

( )

cos a b− =cos cosa b+sin sina b

2) En remplaçant b par (– b) dans la formule précédente montrer que:

( )

cos a b+ =cos cosa b−sin sina b^.

3) En utilisant la formule : cos sin , avec

2 x x x a b

π

 

− = = −

 

 

Montrer que : ^sin

(

^{a b− =}

)

^{sin cosa b−sin cosb a.}

En remplaçant ^{b par}

( )

^−b , montrer que: ^sin

(

^{a b+ =}

)

^{sin cosa b+sin cosb a}

Application: En écrivant , calculer cos et sin

12 3 4 12 12

π π π_{= −} ^π ^{ }π ^

   

   .