Devoir commun n
◦2 - TS - 4 heures - 19/01/2019
Exercice 1 :
On consid`ere les suites (un) et (vn) d´efinies pour tout entier naturelnpar :
u0= 0
un+1= 3un+ 1 4
et
v0= 2
vn+1= 3vn+ 1 4
1. Dans le rep`ere orthonorm´e (O;−→ i;−→
j) donn´e ci-dessous, on a trac´e les droitesdet ∆ d’´equations respectives : d:y= 3
4x+1
4 et ∆ :y=x
En utilisantdet ∆, construire sur l’axe des abscisses les pointsA1,A2,A3d’abscisses respectivesv1,v2,v3.
−1 0 1 2
1 2
d
∆
2. Calculeru1, u2,u3d’une part etv1,v2,v3 d’autre part.
3. a. Compl´eter l’algorithme suivant afin qu’il calcule les 100 premiers termes de la suiteun : Initialisation :
u←. . . . n←. . . . Traitement :
Tant que . . . . n←. . . u←. . . . Fin Tant que
b. Comment faudrait-il le modifier pour qu’il affiche chacun des termes calcul´es ? c. Comment faudrait-il le modifier pour qu’il affiche seulement le dernier terme calcul´e ? 4. a. On consid`ere la suite (sn) d´efinie pour tout entier naturelnparsn=un+vn.
b. Calculers0,s1,s2,s3. `A partir de ces r´esultats, que peut-on conjecturer pour la suite (sn) ? c. A l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, montrer que la suite (s` n) est une suite constante.
5. On consid`ere la suite (dn) d´efinie pour tout entier naturelnpardn=vn−un. a. Montrer que la suite (dn) est une suite g´eom´etrique.
b. Exprimer dn en fonction den.
c. En utilisant les r´esultats des questions 4.c) et 5.b), exprimerun etvn en fonction den.
d. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent. On pr´ecisera leurs limites.
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Exercice 2 :
La partie C peut ˆetre trait´ee ind´ependamment des parties A etB.
On ´equipe un four d’un syst`eme de s´ecurit´e qui se d´eclenche quand la temp´erature d´epasse 500◦ C.
On veut ´etudier la fiabilit´e du syst`eme.
Une ´etude a montr´e qu’en moyenne, sur une journ´ee, on obtenait les r´esultats suivants :
⋄ r´esultat 1 : la probabilit´e que la temp´erature d´epasse 500◦ C est ´egale `a 1 50;
⋄ r´esultat 2 : la probabilit´e que le syst`eme se d´eclenche par erreur est ´egale `a 1 100;
⋄ r´esultat 3 :la probabilit´e que le syst`eme se d´eclenche quand la temp´erature d´epasse 500◦ C est ´egale `a 9 10.
On noteSl’´ev`enement :≪le syst`eme de s´ecurit´e se d´eclenche≫etT l’´ev`enement≪La temp´erature d´epasse 500◦C≫. Partie A :
Dans toute cette partie, les probabilit´es seront donn´ees sous forme de fractions irr´eductibles.
1. Ecrire chacun des trois r´esultats en utilisant les ´ev`enementsT et S.
2. a. CalculerpT(S).
b. Repr´esenter la situation `a l’aide d’un arbre pond´er´e.
c. Calculer la probabilit´e que le syst`eme ne se d´eclenche pas mais que la temp´erature d´epasse pourtant 500◦C.
d. Quelle est la probabilit´e que le syst`eme de s´ecurit´e se d´eclenche ?
3. Le syst`eme de s´ecurit´e vient de se d´eclencher. Quelle est la probabilit´e que la temp´erature ait r´eellement d´epass´e 500◦C ?
Partie B :
Le coˆut des anomalies est le suivant :
⋄ 500 euros quand la temp´erature d´epasse 500◦C et que la s´ecurit´e se d´eclenche.
⋄ 1500 euros quand la temp´erature d´epasse 500◦ C et que la s´ecurit´e ne se d´eclenche pas.
⋄ 100 euros lorsque la s´ecurit´e se d´eclenche par erreur.
On consid`ere qu’il ne se produit pas plus d’une anomalie par jour.
On appelleX la variable al´eatoire donnant le coˆut journalier des anomalies.
1. Donner la loi de probabilit´e deX.
2. Quel est le coˆut journalier moyen des anomalies ? Partie C :
Dans cette partie, les probabilit´es calcul´ees seront arrondies `a 10−3pr`es.
Une ´etude a montr´e qu’un four d’une certaine marque, pris au hasard, pr´esentait un probl`eme technique dans 7 % des cas.
Une ´etude est r´ealis´ee aupr`es d’une usine fabriquant ces fours.
On pr´el`eve 200 fours et on note X la variable al´eatoire qui compte le nombre de fours pr´esentant un probl`eme tech- nique.
Le nombre total de fours produits est suppos´e suffisamment grand pour pouvoir consid´erer l’´etude des fours comme un tirage ind´ependant avec remise.
1. D´eterminer la loi de probabilit´e suivie par la variable al´eatoireX.
2. Calculer la probabilit´e que 10 fours pr´esentent un probl`eme technique.
3. Calculer la probabilit´e qu’au moins 15 fours pr´esentent un probl`eme technique.
4. La r´eparation d’un four pr´esentant ce probl`eme technique coˆute 90 euros. Quel montant l’entreprise doit-elle s’attendre `a d´epenser en moyenne pour la r´eparation de ses fours ?
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Exercice 3 :
SoitABCDEF GH le cube repr´esent´e ci-dessous.
On consid`ere :
• Iet J les milieux respectifs des segments [AD] et [BC] ;
• P le centre de la faceABF E, c’est-`a-dire l’intersection des diagonales (AF) et (BE) ;
• Qle milieu du segment [F G].
A
B
C D
E
F
G H
I
J P
Q
On se place dans le rep`ere orthonorm´e
A; 12−−→
AB , 12−−→
AD , 12−→
AE .
Dans tout l’exercice, on pourra utiliser les coordonn´ees des points de la figure sans les justifier.
On admet qu’une repr´esentation param´etrique de la droite (IJ) est
x = r y = 1 z = 0
, r∈R
1. V´erifier qu’une repr´esentation param´etrique de la droite (P Q) est
x = 1 +t
y = t
z = 1 +t
, t∈R
Soientt un nombre r´eel etM(1 +t ; t ; 1 +t) le point de la droite (P Q) de param`etret.
2. a. On admet qu’il existe un unique pointK appartenant `a la droite (IJ) tel que (M K) soit orthogonale `a (IJ).
D´emontrer que les coordonn´ees de ce pointK sont (1 +t; 1 ; 0).
b. En d´eduire queM K=p 2 + 2t2.
3. a. V´erifier quey−z= 0 est une ´equation cart´esienne du plan (HGB).
b. On admet qu’il existe un unique pointLappartenant au plan (HGB) tel que (M L) soit orthogonale `a (HGB).
V´erifier que les coordonn´ees de ce pointLsont
1 +t ; 1
2+t ; 1 2 +t
. c. En d´eduire que la distance M Lest ind´ependante det.
4. Existe-t-il une valeur det pour laquelle la distanceM K est ´egale `a la distanceM L?
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Exercice 4 :
L’objectif de cet exercice est l’´etude de la fonctionf d´efinie surR\{1}par : f(x) = 2x+ 1
x3−1 Soit (O;−→
i ,−→
j) un rep`ere orthogonal du plan. On noteC la courbe repr´esentative def dans ce rep`ere.
Partie A : ´etude d’une fonction auxiliaire
On consid`ere la fonctiongd´efinie sur Rpar :
g(x) =−4x3−3x2−2 1. Etudier les limites deg aux bornes de son ensemble de d´efinition.
2. Etudier les variations degpuis dresser son tableau de variations complet.
3. D´emontrer que l’´equationg(x) = 0 admet une unique solutionαdansR.
4. Donner une valeur approch´ee deα`a 10−3pr`es.
5. En d´eduire le signe de la fonctiong.
Partie B : ´etude de la fonction f 1. Justifier le domaine de d´efinition de f.
2. Etudier les limites de la fonctionf aux bornes de son ensemble de d´efinition.
3. En d´eduire les ´equations des asymptotes ´eventuelles (horizontales ou verticales) `a la courbeC.
4. D´emontrer que, pour toutx∈R\{1},
f′(x) = g(x) (x3−1)2 5. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
6. D´eterminer l’´equation r´eduite de la tangenteT `a la courbeC au point d’abscisse 0.
7. Etudier la position relative deC et deT.
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