4 Dérivation au sens des distributions

I NTRODUCTION À LA THÉORIE DES DISTRIBUTIONS

1 Fonctions tests

D^ÉFINITION 1.1 : Espace des fonctions tests

SoitΩun espace topologique. L’espace des fonctions testsD(Ω)est l’ensemble des fonctionsC^+∞sur Ωà support compact inclus dansΩ.

2 Distributions

Remarque : on utilisera la notation T pour les distributions et〈T,ϕ〉 qui signifie que l’on applique T àϕ (équivalent à T(ϕ)).

D^ÉFINITION 2.2 : Distributions

Une distribution est uneforme linéaire continuesurD(Ω). L’ensemble des distributions est donc le dual topologique deD(Ω)on le note doncD^′(Ω).

Le terme deforme linéairen’est pas particulier. Par contre, la notion decontinuitéest particulière :

∀K compact ⊂Ω, ∃C_k>0,∃m_k>0,∀ϕ∈ D(Ω), |〈T,ϕ〉|¶C_k sup

|α|¶m_k

sup

x∈Ω

|∂^αϕ(x)|

Remarque :On utiliseα= (α₁, ... ,α_n)∈Nn,|α|= Xn k=1

α_k et∂^αϕ= ∂^|α|ϕ

∂^α1x₁...∂^αnx_n.

3 Exemple de distributions

3.1 Les fonctionL¹_loc

DÉFINITION 3.3 : Fonctions localements intégrables

Une fonction f L¹_loc(Ω)est une fonction intégrable sur un compact inclu dansΩ.

PROPRIÉTÉ 3.1 : Les fonctions L¹_loc Soitf une fonctionL¹_loc(Ω), alors l’application :

T_f : D(Ω) −→ C ϕ 7−→

Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx est unedistribution.

Preuve 1 : La démonstration de la linéairité est immédiate. Reste à montrer la continuité.

SoitK un compact inclu dansΩ, etϕ une fonctionC^∞à support dansK. On a

¬T_f,ϕ¶

= Z

f(x)ϕ(x)dx= Z

f(x)ϕ(x)dx

On a alors :

¬T_f,ϕ¶

¶ Z

K|f(x)ϕ(x)|dx¶sup

x∈Ω

|ϕ(x)|

Z

K

|f(x)|dx

Ainsi, avecC_k= Z

K

|f(x)|dx etm_k=0, on vérifie la continuité de〈T_f,ϕ〉. Remarque :Pour(f,g)∈L¹_loc(Ω)²telles que

f = g presque partout alors

T_f =T_g

Remarque :T_f =T_g⇒ f =g presque partout 3.2 La masse de DIRAC

D^ÉFINITION 3.4 : La masse de D^IRAC Soita∈R, alors la masse de DIRACest définie par :

δ_a : a −→ C ϕ 7−→ ϕ(a)

Preuve 2 : La preuve de la continuité est assez aisée :|δ_a|=|ϕ(a)|¶sup_x∈R|ϕ(x)|

4 Dérivation au sens des distributions

P^ROPRIÉTÉ 4.2 : Dérivation SoitT ∈ D^′(Ω). L’application :

∂T

∂x_i : D(Ω) −→ C ϕ 7−→ −〈T, _∂^{∂ ϕ}_x

i〉 est une distribution.

Preuve 3 : La preuve de la linéarité ne pose pas de problème. Démontrons que c’est une application continue.

SoitK un compact etϕ une fonctionC^∞telle que supp(ϕ)⊂K. On a : T distribution ⇒ ∃C_k,∃m_k,|〈T,ϕ〉|¶C_k sup

|α|¶mk

sup

x∈Ω

|∂^αϕ(x)|

PuisqueϕestC^∞alors on a :

〈T, ∂ ϕ

∂x_i〉

¶C_k sup

|α|¶mk

sup

x∈Ω

|∂^αϕ(x)|

PROPRIÉTÉ 4.3 : Liens dérivation usuelle et dérivation au sens des distributions Soitf ∈ C¹(Ω), on a :

∂T_f

∂x_i =T∂f

∂xi

Preuve 4 : On se restreint ici à la dimension 1. Soit f ∈ C¹(R)etϕ∈ D(R). On a, par définition :

¬(T_f)^′,ϕ¶

=−¬

T_f,ϕ^′¶ i.e. :

¬(T_f)^′,ϕ¶

=−¬

T_f,ϕ^′¶

=− Z

Rf(x)ϕ^′(x)dx Par IPP, on a :

¬(T_f)^′,ϕ¶

=−[f(x)ϕ(x)]^+∞_−∞+ Z

Rf^′(x)ϕ(x)dx Or puisqueϕ est à support compact, on a :

¬(T_f)^′,ϕ¶

= Z

Rf^′(x)ϕ(x)dx=¬

T_f′,ϕ¶

5 Quelques propriétés, définitions

PROPRIÉTÉ 5.4 :

Soitf une fonctionC^∞telle que :

∀x∈Rⁿ, f(x)6=0.

Alors pourT ∈ D^′(R):

f T =0⇔T =0.

PROPRIÉTÉ 5.5 : Division dans l’ensemble des distributions

➊ Les distributionsT ∈ D^′(R)solutions de l’équation : (x−a)T =0 sont de la formeT =kδ_aoùkest une constante réelle.

➋ Les distributionsT ∈ D^′(R)solutions de l’équation : (x−a)²T =0

sont de la formeT =k₁δ_a+k₂δ_a^′ oùk₁etk₂sont deux constantes réelles.

DÉFINITION 5.5 : Valeur principale

On définit lavaleur principale de xcomme étant la dérivée au sens des distribution dex7−→log|x|. On la note vp1

x

. On a, par définition :

vp1 x

,ϕ

=lim

ε→0

Z

|x|¾ε

ϕ(x) x dx

P^ROPRIÉTÉ 5.6 : Distributions à dérivée nulle

Les distributionsT ∈ D^′(R)telles queT^′=0 sont les distributions associées auxfonctions constantes.

6 Dérivation d’une fonction discontinue

THÉORÈME6.1 : Dérivation d’une fonction discontinue On considère une fonction f C¹(]− ∞,a[)etC¹([a,+∞[).

On a f ∈L¹_loc(R), et on l’indentifie à la distributionT_f. Alors : (T_f)^′= (f(a⁺)− f(a⁻))δ_a+T_{f′}

oùa⁺=_x→alim

x>a

,a⁻=lim_x→a

x<a

et{f^′}(x) = f^′(x)pourx6=a.

Preuve 5 : La preuve se fait par simples calculs :

〈(T_f)^′,ϕ〉=−〈T_f,ϕ^′〉

=− Z+∞

−∞

f(x)ϕ^′(x)dx

=− Za

−∞

f(x)ϕ^′(x)dx− Z+∞

a

f(x)ϕ(x)^′dx

=−”

f(x)ϕ(x)—_a

−∞+ Za

−∞

f^′(x)ϕ(x)dx−”

f(x)ϕ(x)—_+∞

a +

Z+∞

a

f^′(x)ϕ(x)dx

= (f(a⁺)−f(a⁻))ϕ(a) + Z+∞

−∞

{f^′}(x)dx

T^HÉORÈME6.2 : Formule des sauts Soitf une fonctionC¹par morceaux surR. Alors :

∃(a₁,... ,a_n)∈Rⁿ,∀i∈J1,n−1K, f_|]a

i,a_i+1[∈ C¹(

a_i,a_i+1 ) On pose{f^′}(x) =f^′(x)sur]a_i,a_i+1[. On a :

(T_f)^′= Xn

i=1

(f(a⁺_i )−f(a_i⁻))δ_ai+T_{f^′_}

7 Convergence d’une suite de distributions

DÉFINITION 7.6 : Convergence de distributions

Soit(T)_nune suite de distributions deD^′(Ω). On dit que(T_n)converge vers la distributionT lorsque :

∀ϕ∈ D(Ω), 〈T_n,ϕ〉 −→

+∞ 〈T,ϕ〉

⋆Exemple : Soitθ∈ D(R), non nul sur[−1, 1], avecθ(0) =1, ∀x∈R,θ(x)¾0 etZ

θ(x)dx=1.

On poseθ_ε(x) =¹_εθ€_x

ε

Š, avecε >0.

On considère la suiteT_θ

ε. Soitϕ∈ D(R), on a :

¬T_θ

ε,ϕ¶

= Z+∞

−∞

θ_ε(x)ϕ(x)dx d’où

¬T_θ

ε,ϕ¶

= 1 ε

Z+∞

−∞

θ(x

ε)ϕ(x)dx Avecy= ^x_ε on a :

¬T_θ

ε,ϕ¶

=1Z+∞

−∞

θ(y)ϕ(εy)dx On vérifie alors les hypothèses du théorème de la convergence dominée :

➊

∀y,θ(y)ϕ(εy)−−→

ε→0 θ(y)ϕ(0)

➋

|θ(y)ϕ(εy)|¶sup

y∈R|ϕ(y)| |θ(y)|

D’où, par convergence dominée :

¬T_θ

ε,ϕ¶

−−→ε→0

‚Z+∞

−∞

θ(y)dy

Œ ϕ(0)

i.e. ¬

T_θ

ε,ϕ¶

−−→ε→0 〈δ₀,ϕ〉

⋆

T^HÉORÈME7.3 : Convergence de la dérivée

Soit(T_n)une suite de distributions qui converge vers une distributionT. Alors la suite_∂T

n

∂x_i

(ifixé) converge vers_∂^∂T_x

i.

8 Support d’une distribution

Rappel :

SoitΩun ouvert deRⁿ. On considèref une fonction continue surΩ. Le support de f est : Supp(f) ={x∈Ω; f(x)6=0}

DÉFINITION 8.7 : Vocabulaire

SoitT ∈ D^′(Ω)une distribution. On considèreωunouvertinclu dansΩtel que : T_|ω=0⇔ ∀ϕ∈ D(Ω),Supp(ϕ)⊂ω,〈T,ϕ〉=0 On définit :

N_T =¦

ωouvert ⊂Ω, T_|ω=0© et :

θ_T = [

ω∈N_T

ω

PROPRIÉTÉ 8.7 :

➊ T s’annule sur l’ouvertθ_T

➋ θ_T est le plus grand ouvert sur lequelT s’annule

D^ÉFINITION 8.8 : Support d’une distribution En gardant les notations précedemment définies, on a :

Supp(T) = Ω\θ_T Remarque :C’est un fermé dansΩ.

⋆Exemple :

➊ Supp(δ_a) ={a}

➋ Supp

vp1 x

=R.

➌ Supp(Y) =R₊

Remarque :Pour une fonction continue f : Supp(T_f) =Supp(f).

9 Produit de convolution des distributions

9.1 Supports convolutifs

DÉFINITION 9.9 : Supports convolutifs

SoitF₁etF₂deux fermés deR.F₁etF₂sont convolutifs si pour toutr >0, l’ensemble Π_r = {(x,y)∈F₁×F₂; |x+y|¶r}

estbornédansR², i.e., qu’il existeρ(r)tel que|x|+|y|¶ρ.

Résultats :

➊ [a,b]etRsont convolutifs.

➋ [a,+∞[et[b,+∞[sont convolutifs

➌ ]− ∞, 0]et[0,+∞[sont convolutifs

9.2 Produit de convolution des fonctionsL¹_loc(R)

P^ROPRIÉTÉ 9.8 : Produit de convolution des fonctions L¹_loc(R) Soitf et g deux fonctionsL¹_loc(R)à supports convolutifs.

➊ f∀x∈R,y7−→f(y)g(x−y)∈L¹_loc(R).

➋ On définit :

f ∗g(x) = Z+∞

−∞

f(y)g(x−y)dy avec f ∗g∈L¹_loc(R).

Résultats : Alors la distribution associé à f ∗g T_f∗g, on a :

¬T_f∗g,ϕ¶

=¬

T_f(y),〈T_g(z)〉ϕ(y+z)¶ Alors, on définit :

¬T_f∗g,ϕ¶

=¬

T_f ∗T_g,ϕ¶

9.3 Convolution des distributions

D^ÉFINITION 9.10 : Convolution des distributions

SoitSetT deux distributions à supports convolutifs. On définit la distributionS∗T par :

〈S∗T,ϕ〉=〈S(x),〈T(y),ϕ(x+y)〉〉

xety ne sont là que formellement. . . P^ROPRIÉTÉ 9.9 :

➊ S∗T =T ∗S

➋ L’élément neutreδ∗S=S

➌ (S∗T)^′=S^′∗T =T^′∗S