DS 4 : Suites et dérivation globale.
Exercice
1. Soitpunqune suite arithmétique de premier termeu0 telle que :u4“62 etu14 “172. Déterminer la raison etu0.Déterminer la somme : u4`u5`...`u14.
Exercice
2. En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait 1000 milliers de clients, . Depuis, chaque année, l’opérateur perd 5 % de ses clients, mais regagne dans le même temps 9 milliers de nouveaux clients.1. Justifier que la situation peut être modélisée par la suitepunqdéfinie pour tout entier naturel n par : u0“1000 et un`1“0,95ˆun`9
Le termeun donne une estimation du nombre de clients pour l’année 2010`n.
2. Pour étudier la suite punq, on considère la suitepvnq par définie pour tout entier naturel nparvn “un´180.
Montrer que la suite pvnqest une suite géométrique dont vous déterminerez la raison et le première terme.
3. En déduire l’expression devn puis deun en fonction denentier naturel.
Exercice
3. Une agence de location de voitures dispose de trois types de véhicules : berline, utilitaire ou luxe, et propose, au moment de la location, une option d’assurance.Une étude statistique a permis d’établir que :
‚ 30 % des clients ont loué une berline et 10 % ont loué un véhicule de luxe.
‚ 30 % des clients qui ont loué une berline ont choisi l’option d’assurance.
‚ 10 % des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l’option d’assurance.
‚ 21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l’option d’assurance.
On prélève au hasard la fiche d’un client et on considère les évènements suivants :
‚ B : le client a loué une berline.
‚ L: le client a loué un véhicule de luxe.
‚ U : le client a loué un véhicule utilitaire.
‚ A: le client a choisi l’option d’assurance.
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci- contre avec les données de l’énoncé.
2. Quelle est la probabilité que le client ait loué une berline et ait choisi l’option d’assurance ?
3. Calculer la probabilité qu’un client ait choisi l’option d’assurance.
4. Calculer la probabilité que le client ait souscrit une assurance sachant qu’il a loué une voiture de luxe.
5. Calculer la probabilité que le client ait loué une voi- ture de luxe sachant qu’il a souscrit une assurance.
Exercice
4. Déterminer la fonction dérivéef1 de la fonctionf dans chacun des cas : a) fpxq “x2´3x`2 b) gpxq “x`1x
c) hpxq “ p3x`2qx2 d) fpxq “´2x`1 x`1
Exercice
5. .Partie A
On considère la fonctionf définie quer0,15spar :
@xP r0,15s, fpxq “2x3´60x2`450x On noteCf la représentation graphique def.
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf.
2. Dresser le tableau de variation de la fonctionf surr0,15s.
1
Partie B
Un fabriquant envisage la production de briques de lait en carton. Au départ, il dispose d’une feuille carrée en carton dans laquelle on a retiré deux bandes de même largeur.
Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm et on désigne parxla mesure (en centimètres) de la largeur des bandes découpées.
1. Explique pourquoi les valeurs dexvarient sur l’intervaller0,15s.
2. Démontrer que le volume (encm3) de la boîte est Vpxq “2x3´60x2`450x
3. En remarquant queV “f utiliser la partie A pour déterminer la valeur dexpour laquelle le volumeVpxqest maximal. Préciser la valeur de ce volume maximal en litres.
4. (a) En utilisant le tableau de variation de la partie A, déterminer combien de valeurs dexpermettent d’obtenir un volume de boite de 0,5 c’est à dire 500cm3. Trouver un encadrement de ces solutions.
(b) Montrer que
Vpxq ´500“ px´10qp2x2´40x`50q (c) Résoudre 2x2´40x`50“0.
(d) Déduire des questions précédentes les valeurs dexpour lesquelles le volume de la boites est égale à un demi litre.
Correction
Partie A
On considère la fonctionf définie quer0,15spar :
@xP r0,15s, fpxq “2x3´60x2`450x On noteCf la représentation graphique def.
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf.
f1pxq “6x2´120x`450“6px2´20x`75q “6px´5qpx´15q 2. Déterminer l’équation de la tangente àCf
3. Dresser le tableau de variation de la fonctionf surr0,15s.
x f1pxq
f
0 5 15
` 0 ´
0 0
1000 1000
0 0 1
0
Partie B :
2
Le volume de la boîte estV “Longueurˆlargeurˆprof ondeur
Si on appellexla profondeur, on aLongueur“30´2x,aprrof ondeur“xetlargeur“30´2x
2 “15´xDonc : Vpxq “ p30´2xq ˆ p15´xq ˆx“2x3´60x2`450x
Exercice
6. .On considère la fonctiong définie surRpar :
g : R Ñ R .
x ÞÑ x3`x2´x`2
On noteraCgsa représentation graphique que l’on a ci-contre. Sur cette représentation graphique nous avons représenter la tangente à Cg au point d’abscisse 1.
1. Déterminer graphiquement l’équation de la tangente T4 à Cgau point d’abscisse 1.
2. Déterminer la fonction dérivée deg.
3. Étudie le signe deg1pxqen fonction dexet dresser le tableau de variation deg.
4. Déterminer par le calcul l’équation de la tangente T0 à Cg
au point d’abscisse 0.
5. Cette tangente T0 recoupe la courbe Cg en un point dont on déterminera les coordonnées.
6. (bonus) On notehla fonction affinehpxq “ ´x`2. Étudier le signe defpxq ´hpxqet en déduire la position de T0 par rapport àCg.
Correction :
1. Déterminer graphiquement l’équation de la tangenteT4à Cg au point d’abscisse 1.
T0: y“4x´1 2. Déterminer la fonction dérivée deg.
g1pxq “3x2`2x´1“ px`1qp3x´1q
Doncg1pxqest un polynôme du second degré dont les racines sont´1 et 1{3. Il est négatif entre ses racines.
3. Étudie le signe deg1pxqen fonction dexet dresser le tableau de variation deg.
x g1pxq
g
´8 ´1 1
3 `8
` 0 ´ 0 `
3 3
49 27 49 27
3
4. Déterminer par le calcul l’équation de la tangenteT0àCgau point d’abscisse 0. La formule donnant la tangente enaestTa: y“g1paqpx´aq `gpaq. Donc :
T0: y“g1p0qpx´0q `fp0q “ ´x`2
5. Cette tangenteT0recoupe la courbe Cg en un point dont on déterminera les coordonnées.
Pour déterminer l’intersection entreT0 etCg, nous devons résoudre :
fpxq “ ´x`2ôx3`x2“x2px`1q “0ôx“0 ou x“ ´1
Donc l’on trouve deux points d’intersection les points de coordonnéesp´1,3q(cargp´1q “3) le point de tangence p0,2q.
6. (bonus) On notehla fonction affinehpxq “ ´x`2. Étudier le signe de fpxq ´hpxqet en déduire la position de T0 par rapport àCg.
On doit étudier le signe de l’expression :
fpxq ´hpxq “x2px`1q Or x2ě0 donc le signe dépend uniquement dex`1.
x g position
´8 ´1 0 `8
´ 0 ` 0 `
T0{Cg Cg{T0 Cg{T0
4
