BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve EF2 ´
MATH´ EMATIQUES APPROFONDIES
23 mars 2021
CORRIG´ E
Exercice 1 8 points
Partie A : D´efaut de forme
1. L’´enonc´e indique directement : P(V) = 130
200 = 0,65 , PV(F) = 0,02 , PV F
= 0,96 2. Arbre pond´er´e :
V
F F
V
F F 0,65
0,02 0,98
0,35 0,04
0,96
3. La probabilit´e que le savon soit `a la noix de coco et pr´esente un d´efaut de forme est P(V ∩F) =P(V)×PV(F)
= 0,35×0,04 P(V ∩F) = 0,014
4. La probabilit´e qu’un savon pris au hasard pr´esente un d´efaut de forme est P(F) =P(V ∩F) +P(V ∩F)
=P(V)×PV(F) + 0,014
= 0,65×0,02 + 0,014
= 0,013 + 0,014 P(F) = 0,027
5. Sachant que le savon pr´esente un d´efaut de forme, la probabilit´e qu’il soit `a la vanille est
PF(V) = P(V ∩F) P(F)
= 0,013 0,027 PF(V)'0,481 Partie B : D´efaut de masse
1. On r´ep`ete 150 fois de mani`ere ind´ependante (150 est suffisamment grand pour cela) l’exp´erience de Bernoulli `a deux issues : le savon pr´esente un d´efaut de masse ou pas. Le nombreX de savons avec d´efaut suit donc une loi binomiale de param`etres 150 et 0,046.
2. La calculatrice donne
P(06X 610)'0,913
C’est la probabilit´e d’avoir 10 savons pr´esentant un d´efaut de forme ou moins, dans un colis.
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est
P(X>5) = 1−P(X 64) P(X>5)'0,824
Partie C : Deux d´efauts
1. (a) Comme les ´ev´enements F etM sont ind´ependants,
P(F ∩M) =P(F)×P(M)
= 0,027×0,046 P(F ∩M)'0,0012
(b) C’est la probabilit´e qu’un savon pr´esente les deux d´efauts en mˆeme temps.
2. La probabilit´e que le savon pr´esente au moins un des deux d´efauts est P(F ∪M) =P(F) +P(M)−P(F∩M)
'0,027 + 0,046−0,0012 P(F ∪M)'0,0718
3. La probabilit´e que le savon ne pr´esente aucun d´efaut est P(F∪M) = 1−P(F ∪M)
'1−0,0718 P(F∪M)'0,9282
Exercice 2 3 points Le tableau ci-dessous donne les prix du m2des appartements dans le 19earrondissement de Paris du 1ertrimestre 2016 au 1ertrimestre 2018.
1ertri- mestre 2016
2etri- mestre 2016
3etri- mestre
2016
4etri- mestre 2016
1ertri- mestre 2017
2etri- mestre
2017
3etri- mestre
2017
4etri- mestre 2017
1ertri- mestre 2018
Rang (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Prix moyen du m2 en euros (yi)
6 280 6 480 6 860 6 720 6 790 6 940 7 050 7 360 7 350
Source : http ://www.notaires.paris-idf.fr/outil /immobilier/prix-et-nombre-de-ventes-paris-idf Chiffres de la chambre des notaires de Paris. Prix standardis´es au m2. Appartements anciens, vendus libres, de gr´e `a gr´e, en pleine propri´et´e, `a usage d’habitation.
1. (a) Le taux d’´evolution global du prix moyen du m2 entre le 1er trimestre 2016 et le 1ertrimestre 2018 est
7350−6280
6280 ×100' 17,04%
(b) En supposant que le prix du m2 augmente trimestriellement de 1,99 %, le prix du m2 arrondi au troisi`eme trimestre 2019 devrait ˆetre
7350×1,01996 ' 8272 AC
2. (a) Une ´equation de la droite de r´egression deyenxde la s´erie statistique (xi ; yi) est
y = 125,3x+ 6 243,3
(b) On d´ecide d’ajuster ce nuage de points par la droiteD d’´equation y = 125x+ 6 243. On admet que ce mod`ele reste valable jusqu’en 2020.
i. On peut estimer le prix du m2 au troisi`eme trimestre 2019 a 125×15 + 6243 = 8118AC
ii. Pour d´eterminer quand le prix du m2 va d´epasser 8 272 AC, on r´esout 125x+ 6243>8272
125x >8272−6243 x > 8272−6243
125 '16,2
ce qui correspond au 1ertrimestre 2020 (ou au cours du trimestre pr´ec´edent).
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Partie A - Coˆut marginal
1. Le coˆut de production exact de 1 000 aspirateurs est (en euros)
C(1000) = 0,003×10002+ 60×1000 + 48 000 = 111 000 . Le coˆut de production exact de 1 001 aspirateurs est (en euros)
C(1001) = 0,003×10012+ 60×1001 + 48 000 = 111 066,003. L’augmentation du coˆut entraˆın´ee par le 1 001e aspirateur est
C(1001)−C(1000) = 66,003 2. (a) Le coˆut marginald(1 000) au rang 1 000 est
d(1000) =C(1001)−C(1000) = 66,003 (b) Pour toutx de [1000 ; 6000],
C(x+ 1) = 0,003(x+ 1)2+ 60(x+ 1) + 48 000
= 0,003(x2+ 2x+ 1) + 60x+ 60 + 48 000
= 0,003x2+ 0,006x+ 0,003 + 60x+ 60 + 48 000 C(x+ 1) = 0,003x2+ 60,006x+ 48 060,003
et
d(x) =C(x+ 1)−C(x)
= 0,003x2+ 60,006x+ 48 060,003−(0,003x2+ 60x+ 48 000)
= 0,003x2+ 60,006x+ 48 060,003−0,003x2−60x−48 000 d(x) = 0,006x+ 60,003
3. (a) Pour tout x de [1000 ; 6000],
C0(x) = 0,006x+ 60
C0(1 000) = 0,006×1000 + 60 = 66 (b) d(1 000)−C0(1 000) = 66,003−66 = 0,003
Pour toutx de [1000 ; 6000],
d(x)−C0(x) = 0,006x+ 60,003−(0,006x+ 60) d(x)−C0(x) = 0,003
Partie B - ´Etude d’une fonction Sur l’intervalle [1 000 ; 6 000] par :
f(x) = 0,003x+ 60 + 48 000 x .
1. Pour toutx de [1 000 ; 6 000] :
f0(x) = 0,003 + 0−48000 x2 f0(x) = 0,003x2−48000
x2
f0(x) = 0,003x2−0,003×16 000 000 x2
f0(x) = 0,003
x2 (x2−16 000 000)
2. Dans l’intervalle [1 000 ; 6 000], 0,003 > 0 et x2 > 0 ; f0(x) est donc du signe de x2−16 000 000.
1x2−16 000 000 est du signe de 1 sauf entre ses racines −4 000 et 4 000.
D’o`u le tableau de variations de f : x
f0(x)
f
1000 4000 6000
− 0 +
111 111
84 84
86 86
3. Tableau de valeurs
x 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000
f(x) 111 90 85 84 84,6 86
4. Courbe def
6 / 7
84
60 70 80 90 100
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
f
D
Partie C - Coˆut moyen et coˆut marginal 1. Trac´e de D.
2. Le coˆut moyen d’un aspirateur de l’entreprise ASPIRTOU est ´egal au coˆut de pro- duction divis´e par le nombre d’aspirateurs. C’est
C(x)
x = 0,003x2+ 60x+ 48 000
x = 0,003x+ 60 +48 000
x =f(x)
3. (a) Par lecture graphique, le nombre d’aspirateurs produits pour lequel le coˆut moyen est ´egal au coˆut marginal est l’abscisse du point d’intersection de la courbe def avec D : c’est 4000.
(b) Pourx= 4000, le coˆut moyen est f(4000) = 84
