BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve E2 ´
MATH´ EMATIQUES POUR L’INFORMATIQUE
Sous-´ epreuve E21 - Math´ ematiques Epreuve obligatoire ´
31 mars 2021
SUJET
Dur´ee : 2 heures coefficient : 2
L’usage de tout mod`ele de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autoris´e.
Ce document comporte 4 pages num´erot´ees de 1/4 `a 4/4.
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Exercice 1 (3 points)
Un formateur d’un centre agr´e´e par la Pr´efecture de Police doit organiser un stage de sensibilisation `a la s´ecurit´e routi`ere s’adressant `a des personnes d´esireuses de r´ecup´erer 4 points sur leur permis de conduire. Pour d´efinir un contenu, il doit tenir compte du profil des stagiaires. Il envisage les crit`eres suivants :
• les conducteurs exp´eriment´es ayant ´et´e verbalis´es pour des d´epassements de vitesse inf´erieurs ou ´egaux `a 20 km/h ;
ou
• les conducteurs exp´eriment´es ayant ´et´e verbalis´es pour des d´epassements de vitesse sup´erieurs strictement `a 20 km/h avec un taux d’alcool´emie inf´erieur ou ´egal `a 0,5 g/L ;
ou
• les jeunes conducteurs ayant ´et´e verbalis´es pour des d´epassements de vitesse inf´erieurs ou ´egaux `a 20 km/h avec un taux d’alcool´emie sup´erieur strictement
`
a 0,5 g/L ; ou
• les jeunes conducteurs ayant ´et´e verbalis´es pour des d´epassements de vitesse inf´erieurs ou ´egaux `a 20 km/h avec un taux d’alcool´emie inf´erieur ou ´egal `a 0,5 g/L ; ou
• les conducteurs exp´eriment´es ayant ´et´e verbalis´es pour des d´epassements de vitesse sup´erieurs strictement `a 20 km/h quel que soit leur taux d’alcool´emie.
On mod´elise cette situation par une fonction bool´eenne f de trois variablesa, betc.
• La variable ad´esigne les jeunes conducteurs et ales conducteurs exp´eriment´es ;
• la variable b d´esigne les d´epassements de vitesse inf´erieurs ou ´egaux `a 20 km/h et bles d´epassements de vitesse sup´erieurs strictement `a 20 km/h ;
• la variable cd´esigne un taux d’alcool´emie inf´erieur ou ´egal `a 0,5 g/L etc un taux d’alcool´emie sup´erieur strictement `a 0,5 g/L.
1. On admet que la fonctionf s’exprime par :
f(a, b, c) =ab+abc+abc+abc+ab.
Expliquer ce que repr´esente le termeabc dans cette expression.
2. Construire le tableau de Karnaugh de la fonctionf. 3. `A l’aide du tableau ou d’un calcul bool´een, simplifier f.
4. Traduire l’expression simplifi´ee de f par une phrase simple.
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Exercice 2 (6 points)
Dans un lyc´ee, les classes de BTS SIO disposent de 4 salles sp´ecialis´ees A, B, C, D. Trois portes, permettant le passage dans les deux sens, relient les sallesA et B, les salles A et C et les salles B etD.
On mod´elise la situation par un graphe orient´e not´e G.
1. Dessiner une repr´esentation du grapheG.
2. Justifier que la matrice d’adjacenceM du graphe Gest :M =
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
3. Calculer la matriceM2 et justifier (en utilisant cette matrice) qu’il existe 6 circuits de longueur 2.
4. On donne la matriceM3 =
0 3 2 0 3 0 0 2 2 0 0 1 0 2 1 0
(a) D´eterminer le nombre de chemins de longueur 3.
(b) Donner la liste des chemins de longueur 3 ayant pour origineAet pour extr´emit´e B.
(c) Le graphe admet-il des circuits de longueur 3 ? Justifier la r´eponse donn´ee.
5. Matrices et op´erations bool´eennes.
(a) ´Ecrire les deux matrices bool´eennes M[2] etM[3].
(b) D´eterminer la matriceMcde la fermeture transitive du graphe G.
(c) Redessiner le grapheG associ´e au passage d’une salle `a l’autre et compl´eter ce graphe de mani`ere `a obtenir une repr´esentation de sa fermeture transitive.
Exercice 3 (5 points)
Une entreprise assure la production de deux types de calculatrices C1 et C2 en quantit´es (hebdomadaires) respectivesx ety.
Le coˆut des ´el´ements install´es et le nombre d’heures de travail sont donn´es pour chaque calculatrice dans le tableau suivant :
C1 C2
Coˆut des ´el´ements (enAC) 6 8
Nombre d’heures de travail 1 1,5
Un programme de production hebdomadaire peut se repr´esenter par la matriceX= x
y
. Cette production occasionne un coˆut c et un nombre t d’heures de travail. Ces deux
´el´ements sont donn´es dans la matrice Y = c
t
. Enfin on appelle A la matrice issue du tableau :A=
6 8 1 1,5
.
1. (a) ´Ecrire une ´egalit´e matricielle reliant A, X et Y qui traduit la production de l’entreprise. Justifier cette ´egalit´e.
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(b) Durant une semaine, l’entreprise a produit 200 calculatrices C1 et 800 calcula- trices C2. Par un calcul matriciel, d´eterminer le coˆut total et le nombre d’heures de travail pour la production de cette semaine.
2. On noteB la matrice :B =
1,5 −8
−1 6
(a) Effectuer le produit B×A.
(b) Montrer, en transformant l’´egalit´e Y =A×X, queB×Y =X.
(c) Durant une autre semaine, l’entreprise fait face `a un coˆut total de 8 400 AC et 1 450 heures de travail.
D´eterminer par le calcul matriciel le nombre de calculatrices de chaque type fabriqu´ees au cours de cette semaine.
Exercice 4 (6 points)
Les trois parties de cet exercice sont ind´ependantes.
Partie A
On noteP l’ensemble des professeurspenseignant dans un lyc´ee etE l’ensemble des ´el`eves ede ce lyc´ee.
On noteq(e, p) le pr´edicat : l’´el`eveeconnaˆıt le professeur p.
1. Traduire par une phrase la proposition A suivante : ∀e∈E,∃p∈P, q(e, p). 2. ´Ecrire symboliquement la proposition B : Il existe au moins un ´el`eve qui connaˆıt
tous les professeurs.
3. ´Ecrire symboliquement et traduire par une phrase les propositions¬A(n´egation de A) puis ¬B (n´egation deB).
Partie B
On consid`ere l’ensembleE={x1, x2, x3} et l’application f de E dans E d´efinie par f(x1) =x2, f(x2) =x3, f(x3) =x2.
1. D´eterminer les ant´ec´edents par f de chacun des ´el´ements de l’ensemble E.
2. D´eterminer l’image r´eciproquef−1({x2, x3}).
3. L’applicationf est-elle une injection deE dansE? (Justifier).
4. L’applicationf est-elle une surjection de E surE? (Justifier).
Partie C
On consid`ere la relation binaireRd´efinie sur l’ensemble des entiers naturels Npar
∀(a,b)∈N2 [aRb] si [(5 divise b−a) ou (5 divise a−b)]
1. La relation R est-elle r´eflexive ? sym´etrique ? antisym´etrique ? transitive ? Justifier bien sˆur les r´eponses.
2. Rest-elle une relation d’´equivalence ? 3. Rest-elle une relation d’ordre ?
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