BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve E2 ´
MATH´ EMATIQUES POUR L’INFORMATIQUE
Sous-´ epreuve E21 - Math´ ematiques Epreuve obligatoire ´
2 d´ ecembre 2020
CORRIG´ E (´ etudiants en alternance)
Exercice 1 (5 points)
Une entreprise fabrique des manettes pour consoles de jeux vid´eo. Elle en propose de deux tailles diff´erentes : grandes ou bien petites ; qui sont de couleur soit noire, soit argent´ee pour chaque taille ; et qui sont sans fil ou bien `a brancher pour chaque taille
´egalement.
On introduit les variables bool´eennes suivantes :
• gsignifie que la manette est grande, g que la manette est petite ;
• n signifie que la manette est de couleur noire, n que la manette est de couleur argent´ee ;
• bsignifie que la manette est `a brancher,bque la manette est sans fil.
Cette entreprise fournit plusieurs fabricants qui lui en ach`etent des quantit´es analogues.
Apr`es plusieurs mois de vente, l’entreprise constate que les manettes vendues sont de l’un au moins des 4 types suivants :
• les grandes manettes sans fil ;
• les petites manettes de couleur noire ;
• les petites manettes de couleur argent´ee et sans fil ;
• les petites manettes qui sont `a brancher.
On noteE l’expression bool´eenne correspondant aux types de manettes les plus ven- dues par l’entreprise.
On admet que E=g.b+g.n+g.n.b+g.b.
1. L’expression bool´eenne g.bsignifie : la manette est petiteet`a brancher. 2. Tableau de Karnaugh deE :
.
E: gn b
g
n b
000
001 010
011
100
101 110
111
1 1
1 1
1 0 1 0
Une forme simplifi´ee de E est :
E=g+b
3. L’expression simplifi´eeE se lit :la manette est sans filouest petite.
4. L’entreprise souhaite r´eduire sa production en supprimant les types de manettes non vendues. Elle doit supprimer les manettesgrandes et `a brancher(les 0 du tableau de Karnaugh correspondent `a g.b).
Exercice 2 (8 points)
Partie A- Codage de couleurs
1. La couleurvert tilleulest cod´ee en ´ecriture d´ecimale par
165 209 82
.
Son codage en hexad´ecimal est
A5 D1 52
.
D´etails pour 165. : 165 = 10×16 + 5 ; 10 s’´ecritA en base hexad´ecimale et 5 est le chiffre des unit´es.
2. La couleurmauveest cod´ee en hexad´ecimal par
D4
73 D4
.
Son codage en ´ecriture d´ecimale est
212 115 212
.
D´etails pour D4 :D vaut 13 en base 10 ; 13×16 + 4 = 212.
3. Avec ce mode de repr´esentation, on peut repr´esenter 2553= 16 777 216 couleurs.
Chaque couleur n´ecessite 8 bits (pour aller de 0 `a 255 en base 10, c’est-`a-dire de 0 `a 11111111 en binaire). Donc on a besoin de24 bitspour les 3 couleurs.
Partie B - De la lumi`ere vers l’œil.
On note les matrices : C=
R G B
et M =
1 3
1 3
1 3
1 −1 0
−12 −12 1
.
1. (a) L’´egalit´e reliant les matrices S,C etM est S =M×C . En effet
M ×C=
1 3
1 3
1 3
1 −1 0
−12 −12 1
×
R G B
=
1
3R+13G+13C R−G
−12R− 12G+B
=
i l c
(b) LorsqueR= 150, G= 90 etB = 210,
S =M ×C=
1 3
1 3
1 3
1 −1 0
−12 −12 1
×
150
90 210
=
150
60 90
Ainsi i= 150, l= 60 etc= 90 .
2. SoitN la matrice d´efinie par : N =
1 12 −13 1 −12 −13 1 0 23
.
(a) Calcul du produit N×M :
N ×M =
1 12 −13 1 −12 −13 1 0 23
×
1 3
1 3
1 3
1 −1 0
−12 −12 1
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=I
(b) On en d´eduit que les matricesN etM sont inverses l’une de l’autre.
3. (a) Si M C =S, en multipliant les deux membres `a gauche par N, on obtient N M
| {z }
I
C =N S CommeIC=C, on a alors
C=N S.
(b) Le cerveau re¸coit comme signal : i= 120 ; l= 100 etc=−90.
C=N S=
1 12 −13 1 −12 −13 1 0 23
120 100
−90
=
200 100 60
Les intensit´esR,GetBde la lumi`ere re¸cue par l’œil sont R= 200, G= 100, B = 60 , ce qui correspond `a une couleur rouge-orange.
Exercice 3 (7 points)
Partie A - Chiffrement
1. Le code ASCII de la lettre B est 66.
7×66≡206 (mod 256)
et 06206<256 donc la lettreB est bien chiffr´ee par le nombre 206.
2. • On vient de voir que la lettreB est chiffr´ee par le nombre 206.
• Le code ASCII de T est 84.
7×84≡76 (mod 256) et 0676<256 donc le T est chiffr´e par le nombre 76.
• Le code ASCII de S est 83.
7×83≡69 (mod 256) et 0669<256 donc le S est chiffr´e par le nombre 69.
Le cryptage du motBTSest donc 206 76 69 . Partie B - D´echiffrement
1. Pourp= 27,
183×27≡77 (mod 256)
et 0677<256 ; donc la lettre correspondant `a la valeur chiffr´ee 27 est M .
2. • 183×234 ≡ 70 (mod 256) et 0 6 70 < 256 ; donc la lettre correspondant `a la valeur chiffr´ee 234 est F.
• 183×255 ≡ 73 (mod 256) et 0 6 73 < 256 ; donc la lettre correspondant `a la valeur chiffr´ee 255 est I.
• 183×34 ≡ 78 (mod 256) et 0 6 78 < 256 ; donc la lettre correspondant `a la valeur chiffr´ee 34 est N.
Le mot de trois lettres correspondant au code chiffr´e des trois entiers : 234 255 34 est donc FIN .
Partie C - Justification
1. 183×7 = 1281 = 256×5 + 1 et 061<256. Le reste de la division euclidienne de 1281 par 256 est donc 1, ce qui prouve
183×7≡1 (mod 256).
2. • De
183×7≡1 (mod 256) on d´eduit (en multipliant par n) :
183×7n≡n(mod 256) (1)
• De
7n≡f(n) (mod 256) on d´eduit (en multipliant par 183) :
183×7n≡183×f(n) (mod 256) (2) De (1) et (2), on d´eduit :
183×f(n)≡n(mod 256)
