BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve EF2 ´
MATH´ EMATIQUES APPROFONDIES
23 mars 2020
CORRIG´ E
Exercice 1 (10 points)
Partie A : ´etude des d´efauts des verres 1. D’une part, P(A∩B) =P(C) = 0,006.
D’autre part,P(A)×P(B) = 0,1×0,08 = 0,008.
P(A∩B)6=P(A)×P(B). Donc les ´ev´enementsA etB ne sont pas ind´ependants.
2. (a)
P(D) =P(A∪B)
=P(A) +P(B)−P(A∩B)
= 0,1 + 0,08−0,006 P(D) = 0,174
(b)
P(E) =P(A∩B) +P(A∩B)
P(E) =P(A)−P(A∩B) +P(B)−P(A∩B) P(E) = 0,1−0,006 +0,08−0,006
P(E) = 0,168
(c) La probabilit´e que le verre ait un d´efaut de type a sachant qu’il pr´esente au moins un d´efaut est :
PD(A) = P(A∩D) P(D)
= P(A) P(D)
= 0,1 0,174 PD(A)'0,575
3. On r´ep`etenfois de mani`ere ind´ependante une mˆeme ´epreuve de Bernoulli ayant deux issues possibles, le succ`es (le verre ne pr´esente aucun d´efaut) avec la probabilit´e p = 0,826 ou l’´echec (le verre pr´esente au moins un d´efaut) avec la probabilit´e 1−p= 0,174.
La variable al´eatoireX, ´egale au nombre de succ`es, suit donc une loi binomiale.
4. (a) X suit la loi binomiale de param`etresn= 10 etp= 0,826.
(b) La probabilit´e de l’´ev´enementF vaut : P(F) =P(X>9)
P(F) =P(X= 9) +P(X= 10) P(F)'0,459
(c) La probabilit´e qu’aucun verre du lot ne pr´esente de d´efaut est : P(X= 10)'0,148
5. (a) L’esp´erance de la variable al´eatoire X est E(X) =n×p E(X) = 100×0,826
E(X) = 82,6 Son ´ecart type est :
σ(X) =p
n×p×(1−p) σ(X) =p
100×0,826×0,174 σ(X)'3,791
(b) i. La probabilit´e que dans le lot den= 100 verres pr´elev´es, il y ait entre 9 et 12 verres d´efectueux est :
P(87,56Y 691,5) = 0,089
ii. La probabilit´e que dans ce lot de 100 verres, il y ait au moins 11 verres d´efectueux est :
P(Y 689,5) = 0,965 Partie B : ´etude du coefficient de transmission des verres
1. Une ´equation de la droite d’ajustement dey en x est y= 2,73x−1 090,7
2. Une estimation du coefficient de transmission pour une longueur d’onde de 416 nm est :
y= 2,73×416−1 090,7' 45 %
Exercice 2 (10 points)
Partie A
1. Tableau de valeurs :
x 0 2 4 6 8 10 12 14 15 16
f(x) 44,74 54,6 63,22 70,06 75,09 78,58 80,91 82,42 82,96 83,39 2. (a) lim
x→+∞e−0,24x= lim
X→−∞eX = 0 donc lim
x→+∞1 + 0,9e−0,24x = 1 + 0,9×0 = 0.
Puis lim
x→+∞
85
1 + 0,9e−0,24x = 85.
x→+∞lim f(x) = 85 (b) Puisque lim
x→+∞f(x) = 85, la droite d’´equationy= 85 est asymptote horizontale
`
a la courbe repr´esentative de f en +∞.
3. (a) Pour d´eriver U(x) = 1 + 0,9e−0,24x, on utilise la formule (eu)0 =u0eu U0(x) = 0 + 0,9× −0,24×e−0,24x
= −0,216e−0,24x (b) f(x) = 85× 1
U(x)
Pour d´eriver f, on utilise (ku)0 =ku0 (aveck= 85) et 1
U(x) 0
= −U0(x) (U(x))2. f0(x) = 85×− −0,216e−0,24x
(1 + 0,9e−0,24x)2 = 18,36e−0,24x (1 + 0,9e−0,24x)2
4. (a) Pour d´eterminer le sens de variation de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; +∞[, on ´etudie le signe def0(x).
On sait que pour tout r´eelx,ex >0, donc 18,36e−0,24x >0 sur [0 ; +∞[.
De plus, 1 + 0,9e−0,24x2
>0 sur [0 ; +∞[.
Doncf0(x) est strictement positif sur [0 ; +∞[.
La fonctionf est donc strictement croissante sur [0 ; +∞[
(b) Repr´esentation graphique C de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 16] :
85
O 10 20 30 40 50 60 70 80 90
2 4 6 8 10 12 14 16
5. (a)
Z 16
0
f(x)dx=F(16)−F(0)
= 354 ln 0,9 +e0,24×16
−354 ln 0,9 +e0,24×0
= 354
ln 0,9 +e3,84
−ln (0,9 + 1)
= 354 ln
0,9 +e3,84 1,9
' 1 139
(b) La valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 16] est
m= 1 16−0
Z 16 0
f(x)dx m= 1
16 ×354 ln
0,9 +e3,84 1,9
m' 71 Partie B
1. Le taux d’´equipement en micro-ordinateur exprim´e en pourcentage pr´evu au 1er janvier 2020 estf(16) (puisque 2 020−2 004 = 16).
D’apr`es la partie A, on a f(16) ' 83,39. Donc le taux d’´equipement en micro- ordinateur au 1erjanvier est 83 % .
2. Le taux d’´equipement en micro-ordinateur `a long terme est ´egal `a la lim
x→+∞f(x).
C’est 85 % .
3. Le taux moyen d’´equipement en micro-ordinateur pour la p´eriode allant du 1erjanvier 2004 au 1er janvier 2020 est la valeur moyenne de f sur l’intervalle [0 ; 16] : c’est
71 % .
