BTS SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve EF2 - MATH´ ´ EMATIQUES APPROFONDIES
2019
CORRIG´ E
Exercice 1 (10 points)
Partie A
1. (a) P(A) = 0,57 et P(B) = 1−0,47 = 0,53 (b) P(A∩B) = 0,57−0,47 = 0,1
(c) PA(B) = P(A∩B) P(A) = 0,1
0,57 �0,175
2. (a) On r´ep`ete 8 fois de mani`ere ind´ependante l’exp´erience de Bernoulli `a deux issues : la batterie fonctionne apr`es le 9e mois (de probabilit´e 0,57) ou pas.
Le nombre X de batteries qui fonctionnent apr`es le 9e mois suit donc une loi binomiale de param`etresn= 8 etp= 0,57.
(b) La calculatrice donne :P(X �3)�0,223 3. La calculatrice donne :P(Y �30)�0,941 Partie B
1.
ti 3 6 9 12 18
pi 83 69 57 47 32
zi= ln(pi) 4,42 4,23 4,04 3,85 3,47
2. Une ´equation de la droite d’ajustement dez ent estz=−0,06t+ 4,61.
Le coefficient de corr´elation lin´eaire vaut r� −0,999.
3. Comme z= ln(p), l’´equationz=−0,06t+ 4,61 s’´ecrit : ln(p) =−0,06t+ 4,61 eln(p)=e−0,06t+4,61
p=e−0,06t×e4,61
C’est bien de la formep=cedt, avec c=e4,61�100,48 et d=−0,06.
Partie C
1. La probabilit´e que le temps de bon fonctionnement d´epasse 24 mois est P(T �24) =
� +∞
24
0,0625e−0,0625tdt=e−0,0625×24�0,223
2. Le MTBF de la batterie est E(T) = 1
0,0625 = 16 mois.
3. D´eterminonsttel queP(T �t) = 0,5.
• Premi`ere m´ethode : on tˆatonne.
Comme
P(T �11) = 1−e−0,0625×11�0,4972 et P(T �12) = 1−e−0,0625×12�0,5276, la valeur cherch´ee est 11 ou 12.
La probabilit´e que le temps de bon fonctionnement soit inf´erieur `a 11 (ou 12) mois est 0,5.
• Deuxi`eme m´ethode :P(T �t) = 0,5 s’´ecrit : 1−e−0,0625t= 0,5
1−0,5 =e−0,0625t ln(0,5) =−0,0625t ln(0,5)
−0,0625
� �� �
�11,09
=t
Exercice 2 (10 points)
Partie A - ´Etude d’une fonction
f est d´efinie sur [0 ; 18] parf(x) = (x+ 5)e−0,1x 1. Tableau de valeurs :
x 0 6 12 18
f(x) 5 6,0 5,1 3,8
2. • Premi`ere m´ethode : la d´eriv´ee de f d´efinie par f(x) = (x+ 5)
� �� �
u(x)
×e� �� �−0,1x
v(x)
est d´efinie pour toutxde [0 ; 18] par :
f�(x) = (x+ 5)
� �� �
u(x)
�
−0,1e−0,1x�
� �� �
v�(x)
+ 1����
u�(x)
×e� �� �−0,1x
v(x)
= (−0,1x−0,5 + 1)e−0,1x f�(x) = (−0,1x+ 0,5)e−0,1x
• Deuxi`eme m´ethode : on peut ´ecrire directement :
�D’apr`es la ligne 5 des r´esultats de calcul formel,f�(x) = (−0,1x+ 0,5)e−0,1x.�
3. Pour toutX,eX >0 donc f�(x) est du signe de (−0,1x+ 0,5).
La fonction affine x �→ −0,1x+ 0,5 s’annule pour x = 5, est positive avant 5 et n´egative apr`es.
Doncf est croissante sur [0; ; 5] et d´ecroissante sur [5 ; 18].
4. D’apr`es la ligne 6, une primitiveF de f est d´efinie par F(x) = (−150−10x)e−0,1x
5. (a) On hachure le domaine situ´e entre la courbe de f et l’axe des abscisses, entre x= 2 etx= 12.
(b) Calcul de l’int´egraleI : I =
� 12
2
f(x)dx
=F(12)−F(2)
= (−150−10×12)e−0,1×12−(−150−10×2)e−0,1×2 I =−270e−1,2+ 170e−0,2
I �57,9
(c) La valeur moyenne de f sur [2 ; 12] est
m= 1
12−2
� 12
2
f(x)dx m= 1
10
�−270e−1,2+ 170e−0,2� m=−27e−1,2+ 17e−0,2
m�5,8
Partie B - Interpr´etation des r´esultats de la partie A
1. f(12)�5,1 : en d´ecembre 2019, on estime le nombre de batteries vendues `a 5100.
2. Le nombre de batteries vendues est maximal pourx= 5, c’est-`a-dire en mai 2019.
3. Le nombre mensuel moyen de batteries vendues entre f´evrier (x = 2) et d´ecembre (x= 12) est 5,8 milliers, soit 5800.
