BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve EF2 ´
MATH´ EMATIQUES APPROFONDIES
23 mars 2021
SUJET
Dur´ee : 2 heures
Seuls les points sup´erieurs `a 10 sont pris en compte
L’usage de tout mod`ele de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autoris´e.
Ce document comporte 6 pages num´erot´ees de 1/6 `a 6/6.
D`es que ce document vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.
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Exercice 1 8 points
Les trois parties de cet exercice sont ind´ependantes.
Une entreprise est sp´ecialis´ee dans la fabrication de savons. Dans cet exercice, on s’int´eresse aux diff´erents d´efauts que peuvent pr´esenter les savons.
Partie A : D´efaut de forme
L’entreprise propose des savons senteur vanille ou noix de coco qui peuvent pr´esenter des d´efauts de forme lors de la fabrication.
Apr`es avoir r´ealis´e une ´etude sur 200 savons, l’entreprise constate que :
• 130 savons sont `a la vanille,
• parmi les savons `a la vanille, 2 % pr´esentent un d´efaut de forme,
• parmi les savons `a la noix de coco, 96 % ne pr´esentent aucun d´efaut de forme.
On prend un savon au hasard.
On consid`ere les ´ev`enements suivants : V :le savon est `a la vanille;
F :le savon pr´esente un d´efaut de forme.
1. Donner la valeur des probabilit´esP(V), PV(F) et PV F .
2. R´ealiser un arbre pond´er´e de probabilit´e repr´esentant la situation.
3. Calculer la probabilit´e que le savon soit `a la noix de coco et pr´esente un d´efaut de forme.
4. Montrer que la probabilit´e qu’un savon pris au hasard pr´esente un d´efaut de forme est 0,027.
5. Sachant que le savon pr´esente un d´efaut de forme, quelle est la probabilit´e qu’il soit
`
a la vanille ? Arrondir le r´esultat au milli`eme.
Partie B : D´efaut de masse
Pour ˆetre jug´e conforme, un savon doit peser entre 98 et 102 grammes. Apr`es avoir effectu´e une ´etude statistique, l’entreprise a observ´e que 4,6% des savons qu’elle produit pr´esentent un d´efaut de masse (ont une masse inf´erieure `a 98 grammes ou sup´erieure `a 102 grammes).
Pour fournir ses magasins, l’entreprise pr´epare des colis de 150 savons.
On noteX la variable al´eatoire ´egale au nombre de savons pr´esentant un d´efaut de masse dans un colis de 150.
1. Justifier queX suit une loi binomiale. Donner les param`etres de cette loi.
2. D´eterminerP(06X610). Arrondir le r´esultat au milli`eme. Interpr´eter ce r´esultat.
3. D´eterminer la probabilit´e qu’un colis contiennent au moins 5 savons pr´esentant un d´efaut de masse. Arrondir le r´esultat au milli`eme.
Partie C : Deux d´efauts
Chaque savon peut pr´esenter deux d´efauts : un d´efaut de forme ou un d´efaut de masse.
On pr´el`eve un savon au hasard dans le stock de l’entreprise.
On note :
F :le savon pr´esente un d´efaut de forme, M :le savon pr´esente un d´efaut de masse.
On sait que 2,7 % des savons pr´esentent un d´efaut de forme et 4,6 % des savons pr´esentent
(b) Que repr´esente cette probabilit´e ?
2. Calculer la probabilit´e que le savon pr´esente au moins un des deux d´efauts.
Arrondir le r´esultat `a 10−4 pr`es
3. Calculer la probabilit´e que le savon ne pr´esente aucun d´efaut. Arrondir le r´esultat `a 10−4 pr`es.
Exercice 2 3 points
Le tableau ci-dessous donne les prix du m2 des appartements dans le 19e arrondissement de Paris du 1ertrimestre 2016 au 1ertrimestre 2018.
1ertri- mestre 2016
2etri- mestre 2016
3etri- mestre
2016
4etri- mestre 2016
1ertri- mestre 2017
2etri- mestre
2017
3etri- mestre
2017
4etri- mestre 2017
1ertri- mestre 2018
Rang (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Prix moyen du m2 en euros (yi)
6 280 6 480 6 860 6 720 6 790 6 940 7 050 7 360 7 350
Source : http ://www.notaires.paris-idf.fr/outil /immobilier/prix-et-nombre-de-ventes-paris-idf Chiffres de la chambre des notaires de Paris. Prix standardis´es au m2. Appartements anciens, vendus libres, de gr´e `a gr´e, en pleine propri´et´e, `a usage d’habitation.
1. (a) Calculer le taux d’´evolution global du prix moyen du m2 entre le 1er trimestre 2016 et le 1er trimestre 2018. Arrondir `a 0,01 %.
(b) En supposant que le prix du m2 augmente trimestriellement de 1,99 %, quel devrait ˆetre le prix du m2 arrondi `a l’unit´e au troisi`eme trimestre 2019 ? 2. Dans le tableau pr´ec´edent,xi d´esigne le rang du trimestre mesur´e `a partir de l’ann´ee
2016 etyi le prix moyen du m2 en euros correspondant.
(a) D´eterminer une ´equation de la droite de r´egression dey en x de la s´erie statis- tique (xi ; yi) obtenue par la m´ethode des moindres carr´es.
On arrondira les coefficients au dixi`eme.
(b) On d´ecide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’´equationy= 125x+6 243.
On admet que ce mod`ele reste valable jusqu’en 2020.
i. `A combien peut-on estimer le prix du m2 au troisi`eme trimestre 2019 ? ii. `A quel trimestre de quelle ann´ee, le prix du m2 va-t-il d´epasser 8 272AC ?
Exercice 3 9 points Partie A - Coˆut marginal
L’entreprise ASPIRTOU fabrique des aspirateurs. Chaque mois, elle produit un nombrex d’aspirateurs,x´etant un nombre entier compris entre 1 000 et 6 000.
Le coˆut de production, exprim´e en euros, de x aspirateurs est donn´e par : C(x) = 0,003x2+ 60x+ 48 000.
1. Quel est le coˆut de production exact de 1 000 aspirateurs ? De 1 001 aspirateurs ? En d´eduire l’augmentation du coˆut entraˆın´ee par le 1 001e aspirateur.
2. On appelle coˆut marginal au rangx et on noted(x) la diff´erence : C(x+ 1)−C(x).
Ainsid(x) =C(x+ 1)−C(x) repr´esente l’augmentation de coˆut correspondant `a la fabrication d’un aspirateur suppl´ementaire, sachant qu’on en a d´ej`a fabriqu´e x.
(a) Quel est le coˆut marginald(1 000) au rang 1 000 ? (b) Montrer que :
C(x+ 1) = 0,003x2+ 60,006x+ 48 060,003 et d(x) = 0,006x+ 60,003.
3. On consid`ere quex est un r´eel de l’intervalle [1 000 ; 6 000] et on note C0 la d´eriv´ee de la fonctionC d´efinie par :
C(x) = 0,003x2+ 60x+ 48 000.
(a) Calculer C0(x), puisC0(1 000).
(b) Calculerd(1 000)−C0(1 000) et v´erifier que : d(x)−C0(x) = 0,003.
Partie B - ´Etude d’une fonction
Dans cette partie, on se propose d’´etudier la fonctionf d´efinie sur l’intervalle [1 000 ; 6 000]
par :
f(x) = 0,003x+ 60 + 48 000 x .
1. On notef0 la d´eriv´ee de la fonctionf. Calculer f0(x) et v´erifier que pour toutx de [1 000 ; 6 000] :
f0(x) = 0,003
x2 (x2−16 000 000).
2. ´Etudier le signe def0(x) lorsquex varie dans l’intervalle [1 000 ; 6 000] et dresser le tableau de variations def sur [1 000 ; 6 000].
3. Recopier et compl´eter le tableau suivant :
x 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000
orthogonal (on pourra utiliser la feuille millim´etr´ee de l’annexe, page 6).
On prendra pour unit´es graphiques :
• 1 cm pour 500 aspirateurs en abscisse
• 1 cm pour 4 euros en ordonn´ee, en commen¸cant la graduation `a 60.
Partie C - Coˆut moyen et coˆut marginal
1. Tracer dans le rep`ere pr´ec´edent la droite D repr´esentant graphiquement la fonction C0 d´efinie dans lapartie A.
2. Le coˆut moyen d’un aspirateur de l’entreprise ASPIRTOU est ´egal au coˆut de pro- duction divis´e par le nombre d’aspirateurs.
V´erifier que, pour toutx de l’intervalle [1 000 ; 6 000], ce coˆut moyen est ´egal af(x).
3. (a) Dans la pratique, on remplace le coˆut marginaldpar la d´eriv´eeC0.
Donner, par lecture graphique, le nombre d’aspirateurs produits pour lequel le coˆut moyen est ´egal au coˆut marginal.
(b) Calculer, pour cette valeur, le coˆut moyen.
D´eriv´ees usuelles
Fonction D´eriv´ee f(x) =k f0(x) = 0 f(x) =x f0(x) = 1 f(x) =xn f0(x) =nxn−1 f(x) = 1
x f0(x) =− 1
x2 f(x) =√
x f0(x) = 1
2√ x f(x) = ln(x) f0(x) = 1
x f(x) = ex f0(x) = ex
Op´erations
Fonction D´eriv´ee
f =U +V f0 =U0+V0 f =kU f0 =kU0
f =U V f0 =U V0+U0V f = U
V f0 = V U0−U V0 V2 f = 1
V f0 = −V0
V2 f =Un f0 =nU0Un−1 f =
√
U f0 = U0
2√ U f = ln(U) f0 = U0
U f = exp(U) = eU f0 =U0eU
Nom :. . .
