BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve EF2 ´
MATH´ EMATIQUES APPROFONDIES
1
eavril 2021
CORRIG´ E (non-alternants)
Exercice 1 (10 points)
A. Loi binomiale
1. On r´ep`ete 20 fois, de mani`ere ind´ependante, l’exp´erience de Bernoulli `a deux issues : le stylo est d´efectueux (E) ou pas (E). Le nombreX de stylos d´efectueux suit donc une loi binomiale de param`etresn= 20,p= 0,016.
2. La probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, il n’y ait aucun stylo d´efectueux est P(X = 0) = (1−0,016)20
P(X = 0)'0,72
3. La probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, il y ait au moins un stylo d´efectueux est
P(X>1) = 1−P(X = 0) P(X>1)'0,28
B. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
1. La loi normale doit avoir la mˆeme esp´erance et le mˆeme ´ecart-type que la loi bino- miale :
µ=np= 1000×0,016 = 16 σ=p
np(1−p) =p
1000×0,016(1−0,016)'3,97'4 2. La probabilit´e qu’il y ait au plus 17 stylos d´efectueux est
P(Z 617,5)'0,65 C. Probabilit´es conditionnelles
L’arbre pond´er´e n’est pas demand´e mais peut ˆetre utile :
A
D D
B
D D 0,6
0,01 0,99
0,4 0,025
0,975
1. L’´enonc´e indique presque directement : P(A) = 0,6 , P(B) = 0,4 , PA(D) = 0,01 , PB(D) = 0,025 .
2.
P(D∩A) =P(A)×PA(D)
= 0,6×0,01 P(D∩A) = 0,006
P(D∩B) =P(B)×PB(D)
= 0,4×0,025 P(D∩B) = 0,01
3. On en d´eduit :
P(D) =P(D∩A) +P(D∩B)
= 0,006 + 0,01 P(D) = 0,016
4. Un stylo est d´efectueux. La probabilit´e qu’il provienne de l’atelier 1 est PD(A) = P(D∩A)
P(D)
= 0,006 0,016 PD(A) = 0,375
Exercice 2 (10 points)
A. ´Etude d’une fonction
Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [1 ; 14] par f(x) = x+ 1−lnx
x .
1. (a) Pour tout x de l’intervalle [1 ; 14],
f0(x) = x
1 + 0− 1 x
−1(x+ 1−lnx) x2
= x−1−x−1 + lnx x2
f0(x) = lnx−2 x2 (on a utilis´e la d´eriv´ee de UV)
(b) Dans [1 ; 14] l’in´equation lnx−2>0 ´equivaut successivement `a lnx>2
x>e2 La solution de l’in´equation est donc
e2 ; 14 .
Commex2 >0 ici, on en d´eduit le signe de f0(x) lorsque x varie dans [1 ; 14] :
• six∈ 1 ; e2
, alors f0(x)60 ;
• six∈
e21 ; 14
, alorsf0(x)>0 ; (c) Tableau de variation de f sur [1 ; 14] :
x f0(x)
f
1 e2 14
− 0 +
2 2
e2−1 e2 e2−1
e2
2. (a) Tableau de valeurs :
x 1 2 3 4 5 6 7 8 14
f(x) 2 1,15 0,97 0,90 0,88 0,87 0,86 0,87 0,88 (b) Courbe repr´esentativeC def.
3. (a) Dans [1 ; 14] l’´equation f(x) = 1 ´equivaut successivement `a x+ 1−lnx
x = 1
x+ 1−lnx=x 1 = lnx
e1=x La solution est e.
(b) On noteα=e. Placement du point I(e; 1).
B. Calcul int´egral
1. SoitF la fonction d´efinie sur l’intervalle [1 ; 14] par : F(x) =x+ lnx−1
2(lnx)2. d´erivonsF :
F0(x) = 1 + 1 x −1
2 ×2×(lnx)× 1 x
= 1 + 1 x −lnx
x
= x+ 1−lnx x F0(x) =f(x)
(pour le 3e terme, on a utilis´e la d´eriv´ee deUn).
DoncF est une primitive de f sur [1 ; 14].
2. (a)
J = Z 14
1
f(x) dx
=F(14)−F(1)
= 14 + ln 14−1
2(ln 14)2−
1 + ln 1−1 2(ln 1)2
= 14 + ln 14−1
2(ln 14)2−
1 + 0− 1 2(0)2
J = ln 14− 1
2(ln 14)2+ 13
(b) Une valeur approch´ee deJ arrondie `a 10−2 est J '12,16 . C. Application des r´esultats des parties A et B
1. La quantit´e de pi`eces `a fabriquer, en centaine, pour que le coˆut moyen soit minimal este2'7,39..
Le coˆut moyen minimal de fabrication d’un pi`ece est f e2
' 0,86AC .
2. La quantit´e de pi`eces `a fabriquer, en centaines, pour que le coˆut moyen de fabrication d’une pi`ece soit un euro est, d’apr`es le A.3.(a), e' 2,72 .
3. La valeur moyenne def(x) lorsque x varie dans [1 ; 14] est m= 1
14−1 Z 14
1
f(x) dx ' 0,94 AC
e e2 0
0,5 1 1,5 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
