BTS BLANC
SERVICES INFORMATIQUES AUX ORGANISATIONS
Epreuve E2 ´
MATH´ EMATIQUES POUR L’INFORMATIQUE
Sous-´ epreuve E21 - Math´ ematiques Epreuve obligatoire ´
31 mars 2021
CORRIG´ E
Dur´ee : 2 heures coefficient : 2
Exercice 1 (3 points)
1. Dans
f(a, b, c) =ab+abc+abc+abc+ab,
le terme abc d´esigne les conducteurs exp´eriment´es ayant ´et´e verbalis´es pour des d´epassements de vitesse sup´erieurs strictement `a 20 km/h avec un taux d’alcool´emie inf´erieur ou ´egal `a 0,5 g/L.
2. Tableau de Karnaugh de la fonctionf f:
ab
c a
b c
000
001 010
011
100
101 110
111
1 1
1 1
0 0 1 1
3. `A l’aide du tableau, une expression simplifi´ee de f est : f(a,b,c) =a+b Calcul bool´een :
f(a,b,c) =ab+abc+abc+abc+ab
=a(b+b
| {z }
1
)+ab(c+c
| {z }
1
)+abc
=a+ab+abc
=a+a.b absorption :aplus un multiple dea
= (a+a
| {z }
1
)(a+b) d´eveloppement de + par rapport `a .
= a+b
4. f d´esigne les conducteurs exp´eriment´es ou les conducteurs ayant commis un d´epassement de vitesse inf´erieur ou ´egal `a 20 km/h.
Exercice 2 (6 points)
1. Repr´esentation du grapheG :
A B
C D
2. La matrice d’adjacenceM du graphe Gest :
M =
A B C D
A 0 1 1 0
B 1 0 0 1
C 1 0 0 0
D 0 1 0 0
Par exemple, le1 indique un passage de la salle A vers la salleB; le 1 indique un passage deDvers B. Il y a 6 entiers 1 puisqu’il existe 3 portes (donc 6 passages).
3.
M2 =
2 0 0 1
0 2 1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
Les entiers encadr´es sur la diagonale montrent qu’il existe 6 circuits de longueur 2 :
• 2 deA `a A;
• 2 deB `a B;
• 1 deC `aC;
• 1 deD `aD.
4. On donneM3=
0 3 2 0 3 0 0 2 2 0 0 1 0 2 1 0
(a) Il existe 16 chemins de longueur 3 : c’est la somme de tous les entiers pr´esents dans la matriceM3.
M3 =
0 3 2 0 3 0 0 2 2 0 0 1 0 2 1 0
(b) Les chemins de longueur 3 ayant pour origineA et pour extr´emit´e B se lisent sur la premi`ere ligne, deuxi`eme colonne ; il y en a3:
A−C−A−B A−B−D−B A−B−A−B
(c) Le graphe n’admet pas de circuits de longueur 3 car la diagonale ne contient que des 0.
5. (a) Matrices bool´eennes : on les obtient en rempla¸cant les entiers non nuls par des 1 et en laissant les 0.
M[2] =
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
et M[3]=
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
(b) La matriceMcde la fermeture transitive du grapheGest
Mc=M⊕M[2]⊕M[3]⊕M[4] =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(c) Repr´esentation de la fermeture transitive de G: la matrice Mcne contient que des 1 : tous les sommets du graphe sont reli´es entre eux par 16 arcs.
A B
C D
Exercice 3 (5 points)
1. (a) On peut ´ecrireA×X =Y. En effet, A×X =
6 8 1 1,5
x y
=
6x+ 8y 1x+ 1,5y
• L’´el´ement 6x+8yest bien le coˆutcdesxcalculatrices C1et desycalculatrices C2.
• 1x+ 1,5y est le nombre d’heures t de travail n´ecessaires pour produire ces calculatrices.
(b) Durant une semaine, l’entreprise a produit 200 calculatrices C1 et 800 calcula- trices C2. Le coˆut total et le nombre d’heures de travail pour la production de cette semaine se calcule par
6 8 1 1,5
200 800
=
6×200 + 8×800 1×200 + 1,5×800
= 7600
1400
Le coˆut est de 7 600AC et le nombre d’heures est 1 400 . 2. (a)
B×A=
1,5 −8
−1 6
6 8
1 1,5
= 1 0
0 1
=I
(b) Y =A×X s’´ecrit, en multipliant les deux membres `a gauche par B : BY =BAX
CommeBA=I,
BY =IX BY =X (c) Avec Y =
8400 1450
,
BY =
1,5 −8
−1 6
8400 1450
= 1000
300
L’entreprise a fabriqu´e 1000 calculatrices C1 et 300 C2 .
Exercice 4 (6 points) Partie A
1. La proposition A suivante :∀e∈E,∃p∈P, q(e, p)signifie :Tout ´el`eve connaˆıt un professeur.
2. La proposition B Il existe au moins un ´el`eve qui connaˆıt tous les profes- seurss’´ecrit :
∃e∈E, ∀p∈P, q(e, p) 3. ¬A s’´ecrit symboliquement :
∃e∈E,∀p∈P,¬q(e, p)
Il existe (au moins) un ´el`eve qui ne connaˆıt aucun professeur.
¬B s’´ecrit symboliquement :
∀e∈E, ∃p∈P, ¬q(e, p)
Tout ´el`eve ne connaˆıt pas au moins un professeur ou mieux :Aucun ´el`eve ne connaˆıt tous les professeurs.
Partie B
On consid`ere l’ensembleE ={x1, x2, x3}et l’application f de E dansE d´efinie par f(x1) =x2, f(x2) =x3, f(x3) =x2.
1. x1 n’a pas d’ant´ec´edent.
x2 a pour ant´ec´edents x1 etx3. x3 a pour ant´ec´edent x2. 2. f−1({x2,x3}) =E
3. L’applicationf n’est pas une injection deE dansEcarx1 etx3 ont la mˆeme image.
4. L’applicationf n’est pas une surjection deE surE carx1 n’a pas d’ant´ec´edent.
Partie C
On consid`ere la relation binaireRd´efinie sur l’ensemble des entiers naturelsNpar
∀(a,b)∈N2 [aRb]⇔[(5 divise b−a) ou (5 divise a−b)]
1. • Rest r´eflexive : ∀a∈N aRapuisque 5 divisea−a= 0.
• R est sym´etrique : ∀(a,b) ∈ N2 aRb ⇒ bRa. En effet, si aRb alors [(5 diviseb−a) ou (5 divisea−b)] ce qui signifie aussi quebRa.
• Rn’est pas antisym´etrique : par exemple, 2R7 et 7R2 mais 26= 7.
• Rest transitive : soit (a,b,c)∈N3 tel queaRb etbRc.
(5 diviseb−a) ou (5 divise a−b) donc a−b= 5k(avec k∈Z) et
(5 diviseb−c) ou (5 divisec−b) donc b−c= 5k0 (aveck0 ∈Z) Alors :
(a−b) + (b−c) = 5k+ 5k0 a−c= 5K
avecK ∈Z, ce qui signifie que 5 divise a−cou c−a, donc queaRc.
2. Rest une relation d’´equivalence car elle est r´eflexive, sym´etrique et transitive.
3. Elle n’est pas antisym´etrique, donc ce n’est pas une relation d’ordre.
