DEVOIR DE SYNTHESE N°2

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Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef 06/03/2013- 3h 4

T4

DEVOIR DE SYNTHESE N°2

Le sujet comporte deux pages EXERCICE N°1(3points)

Indiquer la bonne réponse 1) ln

lim 1

x

x

→+∞ x − =

a) -1 b) 0 c) 1 2) ^{1 ²}

0

x

e

∫

a) 1 2 e−

b) 0 c) 1 (1 ) 2 −e 3) Les deux plans P : 2x-y+3z+1=0 et Q : 2x+y-z+3=0 sont :

a) Perpendiculaires b) Parallèles c) sécants en A(1,8,1) 4) L’ensembles des points M(x, y) tel que x²+ + −y² z² 2z− =3 0 est :

a) ∅ b) I(0,0,1) c)

S

EXERCICE N°2(5points)

On donne la représentation graphique d’une fonction f définie sur IR et le point A (1, e) I) En utilisant le

graphique Répondre aux questions sans aucune justification 1) Quelles sont les valeurs de

'(1)

f et (2)f 2) Donner les limites

suivantes : lim ( )

x f x

→−∞ ; ( )

lim

x

f x

→+∞ x . 3) Quelle limite de f en +∞ ^le graphique laisse t-il prévoir ? 4) Résoudre dans IR les inéquations :

( ) 0

f x ≥ et f x'( )≤0.

II) On suppose que la fonction représenter si dessus est la fonction f définie sur IR par : ( )f x = −(2 x e) ^x

1) Calculer lim ( )

x f x

→−∞ et ( )

xlim f x

→+∞ x

2) Montrer que f x'( )=e^x(1−x) puis dresser le tableau de variation de f.

3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente au point d’abscisse 2.

Gebr@Tic

2 EXERCICE N°3(5points)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( , , , )O i j k r r r

On considère les points A(0,1, 2) ;B(2, 0, 3) ; C( 1, 0, 0)− et I(1, 2,1) 1) a) Calculer uuurAB∧uuurAC

.En déduire que A, B et C déterminent un plan P b) Montrer qu’une équation cartésienne de P est : x+ − + =y z 1 0 2) Soit (S) l’ensemble des points M(x, y) tel que:x²+ + −y² z² 2x−4y−2z+ =3 0

a) Montrer que (S) est une sphère de centre I et déterminer son rayon.

b) Montrer que le plan P est tangent à (S) au point A.

c) Calculer le volume de tétraèdre IABC

3) Soit H le milieu du segment [IA] et Q le plan passant par H et parallèle à P a) Montrer que le plan Q et la sphère (S) sont sécants en un cercleΓ. b) Déterminer le centre et le rayon du cercle

EXERCICE N°4(5points)

(A) Soit g la fonction définie sur

[

[

1) Etudier les variations de g

2) Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution uniqueα. Vérifier que 1,14< <α 1.15

3) Déduire le signe de g(x) sur

[

[

(B) On considère le fonction f définie sur

[

[

1

x x

f x e xe

= −

+ et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(

)

1) a) Vérifier que ∀ ≥x 0 1 ( )

x x

f x e

x e

−

−

= −

+ . Déduire

lim

+∞

b) Montrer que . ( )

'( ) ( 1)²

x x

e g x f x

= xe +

c) Dresser le tableau de variation de f EXERCICE N°5(2points)

Par une intégration par partie Calculer Les intégrales suivantes 1) ^{1 ²}

0

xe dxx

∫

2)

∫

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