Chapitre XIII-Droites et plans dans l'espace

Chapitre XIII-Droites et plans dans l'espace

I-Barycentre dans l'espace :

Définition 1 : Soit A,B et C trois points de l'espace, , et  trois réels tels que ≠0. Alors il existe un unique point G tel que GAGBGC=0 . Ce point est appelé barycentre des points pondérés A ,,B ,,C ,.

Démonstration : GAGBGC= 0 ⇔GAGAABGAAC=0

⇔GAABAC=0

⇔AG= 1

ABAC car ≠0. D'où l'existence et l'unicité de G.

On peut généraliser la définition à n points de l'espace.

Propriété 1 ( fondamentale ) : Soit A,B et C trois points de l'espace, _, et _ trois réels tels que

≠0 et G le barycentre des points pondérés A ,,B ,,C ,, alors pour tout point M de l'espace on a : MAMBMC=MG. Démonstration : MAMBMC=MGGAMGGBMGGC

d'où MAMBMC=MGGAGBGC or GAGBGC=0 d'où le résultat.

On peut généraliser la propriété à n points de l'espace.

Propriété 2 : (Associativité du barycentre)

Soit A, B et C trois points de l'espace, _, et _ trois réels tels que _{≠0}, G le barycentre des points pondérés A ,,B ,,C ,. Si ≠0 alors il existe^G1barycentre de

A ,,B , et alors G est le barycentre des points pondérés G₁,,C ,. Démonstration : On a d'après la propriété fondamentale GAGB=GG₁

d'où GAGBGC=0 ⇔GG₁GC=0 d'où le résultat.

On peut généraliser la propriété à n points de l'espace.

II-Caractérisation barycentrique : Théorème 1

: Soit A et B deux points distincts de l'espace.

1. La droite (AB) est l'ensemble des points M de l'espace qui sont les barycentres des points pondérés A,1−t,B , t, t∈ℝ .

2. Le segment [AB] est l'ensemble des points M de l'espace qui sont les barycentres des points pondérés A,1−t,B , t, t∈[0,1].

Démonstration : M∈AB⇔∃t∈ℝtel queAM=tAB

⇔∃t∈ℝtel queAM−tAMMB=0

⇔∃t∈ℝtel que1−tAM−tMB=0

⇔∃t∈ℝtel que1−tMAtMB=0

ce qui signifie que M est le barycentre des points pondérés A,1−t,B , t, d'où le résultat.

Pour le segment [AB] il suffit de prendre t∈[0,1].

Théorème 2 : Soit A, B et C trois points non alignés de l'espace. Le plan (ABC) est l'ensemble des

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points M qui sont les barycentres des points pondérés A,1−x−y,B , x,C , y où x et y sont des réels quelconques.

Démonstration : M∈ABC⇔∃x , y∈ℝ²tel queAM=xAByAC

⇔∃x , y∈ℝ²tel queAM−xAMMB−yAMMC=0

⇔∃x , y∈ℝ²tel que1−x−yMAxMByMC=0

ce qui signifie que M est le barycentre des points pondérés A,1−x−y,B , x,C , y. d'où le résultat.

Propriété 3 : L'intérieur d'un triangle est l'ensemble des barycentres des points pondérés

A ,,B ,,C , avec 0 , 0 , 0 .

III- Équations paramétriques de droites dans le plan et dans l'espace :

SoitO ;i ,jun repère du plan

P

(respectivementO ;i ,j ,kun repère de l'espace

E

⁾

Soit D la droite définie par le point Ax_A; y_A(respectivement Ax_A; y_A; z_A) et le vecteur directeur u



^ab



( respectivement u



^abc



⁾

1. Dans le plan :

Un point Mx ; y∈Dsi et seulement si les vecteursAM et_usont colinéaires si et seulement si il existe∈ℝtel queAM=u si et seulement si il existe∈ℝtel que

{

^{x−xy−yAA==ab}

si et seulement si il existe∈ℝtel que

{

^{x=y=xyAAab.}

D'où D=

{

^{Mx ; y∈P ;}

^{

^{xy==xyAAab ∈ℝ}

}

Théorème 3 : Le système

{

^{x=xy=yAAab ∈ℝ}est appelé système de représentation paramétrique de la droite D passant par Ax_A; y_A et de vecteur directeur u



^ab



^.

2. Dans l'espace :

Un point Mx ; y ; z∈Dsi et seulement si les vecteursAM et_usont colinéaires si et seulement si il existe∈ℝtel queAM=u

si et seulement si il existe∈ℝtel que

{

^{x−zy−−zxyAAA===cab}

si et seulement si il existe∈ℝtel que

{

^{xz=zy==xyAAAcab.}

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D'où D=

{

^{Mx ; y ; z∈E ;}

^{

^{xzy===zxyAAAcab ∈ℝ}

}

Théorème 4

: Le système

{

^{x=xz=zy=yAAAcab ∈ℝ} est appelé système de représentation paramétrique de la droite D passant par Ax_A; y_A; z_A et de vecteur directeur ^u



^abc



^.

Exercices :

a. Déterminer un système de représentation paramétrique de la droite D passant par le point A1;0;−1 de vecteur directeur ^u



⁻¹²¹



^.

b. Déterminer un système de représentation paramétrique de la droite (AB) avec A1;−1;2 et B3;1;−1.

c. Déterminer un système de représentation paramétrique de la droite D passant par le point A2;−1;3 parallèle à la droite D' dont un système de représentation paramétrique est

{

^{xzy=−==−1132 ∈ℝ.}

IV-Équation de cercle dans le plan, de sphère dans l'espace : 1. Cercle dans le plan :

Soit C le cercle de centre Ax_A; y_A et de rayon R, R∈ℝ₊^* Un point Mx ; y∈C si et seulement si AM=R

si et seulement si AM²=R²

si et seulement si _x−x_A²y−y_A²=R² Théorème 5 : Le cercle C de centre Ax_A; y_Aet de rayon R, R∈ℝ+

* admet pour équation cartésienne _x−x_A²y−y_A²=R².

Réciproquement l'ensemble des points Mx ; y vérifiant _x−x_A²y−y_A²=R² oùR∈ℝ+

*

est le cercle C de centre Ax_A; y_A et de rayon R.

Exercices :

a. Déterminer l'équation cartésienne du cercle de centre A−1;2 et de rayon 2.

b. Quel est l'ensemble des points Mx ; y vérifiant x²2xy²−4y=4 2. Sphère dans l'espace :

Soit S la sphère de centre Ax_A; y_A; z_A et de rayon R R∈ℝ₊^* Un point Mx ; y ; z∈S si et seulement si AM=R.

si et seulement si AM²=R²

si et seulement si x−x_A²y−y_A²z−z_A²=R²

Théorème 6 : La sphère S de centre Ax_A; y_A; z_A et de rayon R, R∈ℝ+

* admet pour équation cartésienne _x−x_A²y−y_A²z−z_A²=R².

Réciproquement l'ensemble des points Mx ; y ; zvérifiantx−x_A²y−y_A²z−z_A²=R²

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où R∈ℝ+

* est la sphère S de centre Ax_A; y_A; z_Aet de rayon R.

Exercices :

a. Déterminer l'équation cartésienne de la sphère de centre A−1;2;1 et de rayon 3.

b. Quel est l'ensemble des points Mx ; y ; z vérifiant x²−6xy²z²4 y=12 . c. Soit A−2;1;0, ^u



⁻¹¹¹



^{et 1;0;−1.}

1. Déterminer un système de représentation paramétrique de la droite D passant par A et de vecteur directeur_u.

2. Déterminer une équation cartésienne de la sphère S de centreet de rayon 3.

3. En déduire l'intersection de S avec D.

V- Intersection de plans et de droites : 1. Intersection de deux plans :

Soit P et Q deux plans d'équations cartésiennes respectives : P :a₁xb₁ yc₁zd₁=0 Q :a₂xb₂yc₂zd₂=0

Les deux plans P et Q sont sécants si et seulement si les vecteurs normaux



n₁a₁, b₁, c₁etn₂a₂, b₂, c₂ne sont pas colinéaires. Dans ce cas l'ensemble des solutions est l'ensemble des points M (x, y, z) solutions du système :

{

^{aa2 1 xbxb1 2 ycyc1 2 zdzd12=0=0}

Il s'agit d'une droite.

si les vecteurs normauxn₁a₁, b₁, c₁etn₂a₂, b₂, c₂sont colinéaires, deux cas se présentent : P et Q sont confondus ou strictement parallèles.

2. Intersection d'un plan P et d'une droite D :

P: a xb yc zd=0 na , b , c vecteur normal à P.

D dirigée par_u,,passant par Ax0 , y_{0 ,} z₀.

P et D sont sécantes si et seulement siuetnne sont pas orthogonaux.

Dans le cas oùuetnsont orthogonaux D⊂PouD∩P=∅

Dans le cas oùuetnne sont pas orthogonaux l'ensemble solution est le point I solution du système :

{

^{axxzy===zxy0by00cztttd=0, t∈ℝ}

3. Intersection de trois plans : Cinq configurations possibles

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