CORRECTION DE LEXERCICE 53 PAGE 283. 1. a. Dans le triangle IAE rectangle en A, on a (th de Pythagore) : EI

CORRECTION DE L EXERCICE 53 PAGE 283.

1.

a. Dans le triangle IAE rectangle en A, on a (th de Pythagore) : EI 13 3 . Dans le triangle HEJ rectangle en H, on a (th de Pythagore) : EJ 13

3 EI EJ donc EIJ est iscocèle en E.

Dans le triangle JFG rectangle en F, on a (th de Pythagore) : FJ 10 3 . Dans le triangle IFB rectangle en B, on a (th de Pythagore) : IF 10

3 FJ IF donc IFJ est iscocèle en F.

b. Dans l e tri angle EIJ isocèle en E, K est le milieu de ( IJ) donc (EK ) et ( IJ) sont perpendiculaires (et donc orthogonales).

De même, dans le triangle IFJ, ( FK ) est orthogonale à ( IJ).

(IJ) est orthogonales aux deux droites ( EK ) et (FK) qui sont sécantes dans le plan ( EFK ) donc (IJ ) est perpendiculaire au plan ( EFK).

2. D après la question précédente, ( IJ) est orthogonale à toutes les droites du plan (EFK) et donc en particulier à (EF).

D autre part, ( FP) est perpendiculaire au plan (EIJ) et donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à ( IJ).

(IJ) est orthogonales aux deux droites ( EF ) et (FP) qui sont sécantes dans le plan (EFP ) donc (IJ ) est perpendiculaire au plan ( EFP).

3.

a. Les plans (EKF ) et ( EFP) sont perpendiculaires à la droite (IJ) et contiennet la droite (EF ). Or il existe un unique plan perpendiculaire à un plan donné et contenant une droite donnée.

Ainsi, les plans (EKF ) et (EFP ) sont confondus : E , F , P et K sont coplanaires.

b. (IJ) est perpendiculaire au plan (EPF ) et donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à (EP).

On se place dans le plan (EIJ ), qui contient le point P par construction de P.

Dans ce plan, (IJ ) et ( EK) sont perpendiculaires (voir question 1b), de même que (IJ) et ( EP).

Or, dans un plan, il existe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée (ici ( IJ))

passant par un point donné (ici E). Les droites ( EK) et (EP ) sont donc confondus : E, K et P

sont alignés.